2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份） （含解析）

-2024学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、填空题（共有12题，满分42分，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分）.1．（3分）方程组的解集是．2．（3分）“如果，那么”是命题（填“真”或“假”．3．（3分）下列表达式中正确的序号是．①；②；③，2，3，；④4．（3分）命题“，是实数，若，则”，用反证法证明时，应先假设．5．（3分）若，，，则实数．6．（3分）已知等式恒成立，则常数．7．（4分）设集合，则．8．（4分）已知全集，集合且，则．9．（4分）“集合至多含有一个元素”的一个充分非必要条件是．10．（4分）已知集合，，且，则实数的取值范围是．11．（4分）设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为．12．（4分）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算．二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分）13．（4分）若，则下列不等式中不能成立的是A． B． C． D．14．（4分）设，命题“存在，使方程有实根”的否定是A．对任意，方程无实根 B．对任意，方程无实根 C．对任意，方程有实根 D．对任意，方程有实根15．（4分）设为全集，，是的子集，则“存在集合使得，”是“”的条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要16．（4分）若且，则称集合为“和谐集”，已知集合，，0，1，，，则集合的子集中“和谐集”的个数为A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有4题，满分42分）17．（8分）设集合，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．18．（10分）已知集合，，．（1）判断8、9、10是否属于集合；（2）已知，，证明：“”的充分非必要条件是“”．19．（10分）（1）当时，求证：；（2）已知，，，．试证明，，至少有一个不小于1．20．（14分）已知集合，，，，，具有性质：对任意，，与至少一个属于．（1）分别判断集合，2，与，2，是否具有性质，并说明理由；（2），，具有性质，当时，求集合；（3）记，求．

参考答案一、填空题（共有12题，满分42分，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分）1．（3分）方程组的解集是．【答案】．解：根据题意，方程组，利用代入消元法，可得，故答案为：．2．（3分）“如果，那么”是真命题（填“真”或“假”．【答案】真．解：，，由不等式性质可得两边同时除以，不等号方向不变，即，故答案为：真．3．（3分）下列表达式中正确的序号是②④．①；②；③，2，3，；④【答案】②④．解：根据题意，①，故①错，②空集是任何集合的子集，故，故②对，③，2，3，，故③错，④由表示自然数集，表示整数集可得，，故④正确，故答案为：②④．4．（3分）命题“，是实数，若，则”，用反证法证明时，应先假设，不都等于1．解：由题意，即考虑的否定，由于，都等于1，故否定为，不都等于1，故答案为：，不都等于1．5．（3分）若，，，则实数或4．【答案】或4．解：因为，，，所以①若，则，，，，满足集合元素的互异性；②若，则或2（舍，此时，，，，，满足集合元素的互异性；综上可知：或4．故答案为：或4．6．（3分）已知等式恒成立，则常数4．【答案】4．解：等式恒成立，，，解得，，故答案为：4．7．（4分）设集合，则，．解：，，则，．故答案为：，．8．（4分）已知全集，集合且，则或．【答案】或．解：，，．故答案为：或．9．（4分）“集合至多含有一个元素”的一个充分非必要条件是（答案不唯一）．【答案】（答案不唯一）．解：由方程，当时，即为，解得，此时满足题意；当时，要使得集合中至多含有一个元素，则满足△，解得，综上可得，方程至多一个解时，实数的取值范围为，所以集合中至多含有一个元素的一个充分不必要条件为．故答案为：（答案不唯一）．10．（4分）已知集合，，且，则实数的取值范围是．【答案】．解：集合或，因为，所以，解得，实数的取值范围是．故答案为：．11．（4分）设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为．【答案】．解：因为、是关于的方程的两个实数根，所以，且△，所以，，结合二次函数的性质可知，当时取得最小值．故答案为：．12．（4分）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算或．【答案】或．解：因为，，，所以，所以，因为，所以，所以，所以；同理，，所以；由（1），；；（2）；（3）；所以；所以，，；所以或．故答案为：或．二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分）13．（4分）若，则下列不等式中不能成立的是A． B． C． D．【答案】解：对于选项，，，，即，故不等式成立；对于选项，，，故不等式成立；对于选项，，，即，故不等式成立；对于选项，，，故不等式不成立；故选：．14．（4分）设，命题“存在，使方程有实根”的否定是A．对任意，方程无实根 B．对任意，方程无实根 C．对任意，方程有实根 D．对任意，方程有实根【答案】解：因为命题“存在，使方程有实根”为特称命题，则其否定为全称命题，即为“任意，方程无实根”，故选：．15．（4分）设为全集，，是的子集，则“存在集合使得，”是“”的条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要【答案】解：若“存在集合使得，”，如图所示，推不出“”，故充分性不满足；反之，若“”，如图所示，推不出“存在集合使得，”，故必要性不满足；所以“存在集合使得，”是“”的既非充分又非必要条件．故选：．16．（4分）若且，则称集合为“和谐集”，已知集合，，0，1，，，则集合的子集中“和谐集”的个数为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】解：由且，若，则；若，则，，；若，则，但，不存在；所以集合的子集中“和谐集”只有，，，故选：．三、解答题（本大题共有4题，满分42分）17．（8分）设集合，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】，．解：由得或，故集合，（1），，代入中的方程，得或；当时，，，满足条件；当时，，满足条件；综上，的值为或；（2）对于集合，△．，，①当△，即时，满足条件；②当△，即时，，满足条件；③当△，即时，，才能满足条件，则由根与系数的关系得矛盾；综上，的取值范围是，．18．（10分）已知集合，，．（1）判断8、9、10是否属于集合；（2）已知，，证明：“”的充分非必要条件是“”．【答案】（1），，；（2）证明见解析．解：（1），，，，假设，，，则，且，，或，显然均无整数解，，，，．（2）集合，，则恒有，，即一切奇数都属于，又，，“”的充分不必要条件是“”．19．（10分）（1）当时，求证：；（2）已知，，，．试证明，，至少有一个不小于1．【解答】证明：（1），，，（2）假设，，都小于1，即，，则有①而②①与②矛盾故，，至少有一个不小于1．20．（14分）已知集合，，，，，具有性质：对任意，，与至少一个属于．（1）分别判断集合，2，与，2，是否具有性质，并说明理由；（2），，具有性质，当时，求集合；（3）记，求．【答案】（1）具有性质，不具有