2023-2024学年北京西城区师范大学第二附属中学高一（上）期中数学试题及答案

2023北京北师大二附中高一（上）期中数学一、单选题（共10小题，每题4分，共40分），B={x=2k−k}，那么A（）A=−1,0,2,31.已知集合−−0,3−3D.1,01,2A.B.C.2.命题“xR，x2−2x+30的否定为（）A.xR，xC.xR，x2−2x+30−2x+30B.xR，xD.xR，x2−2x+30−2x+30223.已知ab0，则下列不等式中成立的是（）1a1babab0A.B.C.D.abb2114.函数y=A.奇函数−的奇偶性是（）1+x1−xB.偶函数D.既是奇函数，又是偶函数C.非奇非偶函数()=x3−x−5的零点所在的区间是（fx）5.函数()()1,2A.C.B.D.(2,3)(4)16.“m”是“一元二次方程x+x+m=0”有实数解的24A.充分非必要条件C.必要非充分条件B.充分必要条件D.非充分非必要条件7.下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A.B.C.D.2xx+12()=8.函数fx的图象大致为（）A.B.D.C.9.设f（xR上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x0且x+x0，则（）112A.f（﹣xf（﹣x）B.fxf（﹣x）1212C.f（﹣xf（﹣x）D.f（﹣xf（﹣x）大小不确定12121x+2()=10.已知函数fx−mx有三个零点，则实数m的取值范围为（）10m1A.mB.D.C.1m2m−1二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）1()=fx函数的定义域是______.1−x112.函数y=的值域是________．x+2x+22x,yx+3y=1xy13.若正实数满足：，则的最大值为________.2−2x+x1x()=fx，则((−))=；若关于的方程()=恰有两个不fxff1k14.已知函数1x______x−x1同的解，则实数k的取值范围是______.−6)(x−4)0,xZ中元素个数最少，则实数的取值范围是(k)=x(−k215.若使集合k________.三、解答题（共6小题，共85分）−2x−3B=x0x，.=RA=xx216.已知全集U（1）求(，集合；Dx2aa=xa+，若DA，求实数的取值范围.Ua（2）设非空集合1()=17.已知函数fxx5.，2x+1（1）判断函数()的单调性，并用定义证明你的结论；fxfm+1f2m−1（2）求不等式()()的解集..(−)y2，且x18.已知（1）求实数y的取值集合M；（2）设不等式(x−ax+a−20)()的解集为N，若xN是xM的必要条件，求a的取值范围.19.近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另2+10x100x,0x40R(x)R(x)=投入成本万元，且10000，由市场调研知，每部手机售价0.7x+−x40x且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润W()（万元）关于年产量销售额—x=（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？1()为二次函数，()的图象过点()，对称轴为=−，函数()在R上最小值为fxfx0,2xfx20.已知函数27.4（1）求()的解析式；fxf(x)，mR时，求函数的最小值（用mxmm−（2）当Fx=fx−ax−1（3）若函数()()(3)上只有一个零点，求a的取值范围.在A=a,a,,a1aaa20521.设整数集合，其中，且对于任意1210012100(i,j1ij100)，若++ijA，则ia.j（1）请写出一个满足条件的集合A;x,200,xA;（2）证明:a=205,求满足条件的集合A的个数.（3）若参考答案一、单选题（共10小题，每题4分，共40分）1.【答案】D【分析】根据交集的定义可求AB.【详解】因为B={x=2k−k}，故B中的元素为大于或等于1的奇数，AB=−3，故故选：D.2.【答案】D【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.【详解】因为命题“xR，x2−2x+30，则其否定为“xR，x2−2x+30”故选：D3.【答案】D【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案．【详解】解：0，ab0，故C错误；11两边同除得：，故A错误；abab，故B错误；两边同乘b得：abb2，故D正确；故选D．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质等知识点，难度中档．4.【答案】A【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可.【详解】由函数解析式可知xxxR，即定义域关于原点对称，1111()=fx−(−)=−fx=−()，fx又1+x1−x1−x1+x11y=−所以函数是奇函数.1+x1−x故选：A5.【答案】B【分析】利用转化法，结合数形结合思想进行判断即可.【详解】f(x)=x3−x−5=0x=x+53y=x3和函数yx5在同一直角坐标系内图象如下图所示：=+函数f0=f)=f(2)=f3)=f(4)=55一方面()()()，f1f20另一方面根据数形结合思想可以判断两个函数图象的交点只有一个，故选：B6.【答案】A141414+x+m0有解，则==1−4m0mmm是【详解】试题分析：方程x2．的充分不必要条件．故A正确．考点：充分必要条件7.【答案】C.【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，所以A、B、D三个选项均不符合，只有选项C符合题意.故选：C.8.【答案】D【分析】先求出函数的定义域和奇偶性排除选项A和B，再利用特殊值即可排除选项C，进而求解.2xf(x)=【详解】由题意可知：函数+1的定义域为xR，22x2xx+12f(−x)==−=−f(x)，又因为x2+1所以函数f(x)为R上的奇函数，故排除选项A和B；2xx+12=0，故排除选项又因为当x0时，函数f(x)C，故选：D.9.【答案】A【分析】由条件可得()在(,0)上是增函数，根据条件可得01−x，所以()(−)，从而得出答f1fx2fx2案.【详解】()是R上的偶函数，且在()上是减函数fx故()在(,0)上是增函数fxx0x+x001−x；2因为且，故112fxf−x所以有()()，又因为f(−)()xfx1112f−x)f(−x)所以有(12故选：A.10.【答案】A【分析】利用常变量分离法，结合数形给思想进行判断即可.1x+21x+2()=fx−=0=x2且m0，mxmxx0【详解】令，显然有且(+)xx2,x01xx2=(+)=于是有，−(+)(−)(−0)mxx2,x,2(+)xx2,x0()=(+)=gxxx2设，它的图象如下图所示：,2−(+)(−)(−0)xx2,x1x+21()=fx−m1mx01因此要想函数有三个零点，只需，m故选：A【点睛】方法点睛：解决函数零点个数问题一般的方法就是让函数值为零，然后进行常变量分离，利用数形结合思想进行求解.二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）(−),1【答案】【分析】利用二次根式的意义计算即可.【详解】由题意可知1−x0x1，即函数的定义域为(−,1).故答案为：(−,1)12.【答案】1f(x)=x+2x+2=(x+(02+2x+2的范围可得函数y=的值域【分析】根据二次函数的性质求解x2+2x+2f(x)=x22+1，可得f(x)的最小值为，【详解】解：由1y=的值域为，．x+2x+22故答案为：，(0．【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；、换元法，、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，、单调性法，10、利用导数求函数的值域，、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．113.【答案】1x+3y=123【分析】运用基本不等式得出，化简求得即可.12x,y+=，x3y1【详解】正实数x+3y=1231满足：，化简得出11，12x=y=.当且仅当，时等号成立261故答案为【点睛】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件，属于容易题.314.【答案】①.−.()4【分析】利用分段函数代入解析式求函数值即可得第一空，利用函数的单调性结合图象得第二空.3(−)=((−)=()=−f14ff1f4【详解】易知，4又x1时，y=x2−2x+1=(x−2单调递减，且ymin0，=11x10y=−1单调递减，且1y0−时，，xxy=f(x)的图象如下：作出函数所以方程f(x)=k有两个不同解即函数=()y=kyfx与有两个不同交点，k0,1().显然34−；()故答案为：(−−)215.【答案】【分析】首先讨论k的取值，解不等式；再由集合A的元素个数最少，推出只有k0满足，若集合A的66元素个数最少，由k0，集合A=xZk+x4，只需求k+的最大值即可，再由集合A中kk6xZ，只需5k−+−4即可求解.k(−k2−6)(x−4)xZ，故【详解】由题知集合A内的不等式为；当k=0时，可得A=xZx4当k0时，x−40(−k2−6)(x−4)0可转化为x−4064k+或，因为，kx−k2−60kx−k2−60k6k6k所以不等式的解集为xx4xk+A=xZx4xk+或或，所以66当k0时，由k+4，所以不等式的解集为xk+x4，kk6=xZk+x4所以A，此时集合A的元素个数为有限个.k综上所述，当k0时，集合A的元素个数为无限个，6当k0时，集合A的元素个数为有限个，故当k0时，集合A的元素个数最少，且当k+k的值越大，集合A的元素个数越少，66(6)内f(k)=k+k0f(k)=1−f(k)=0k=−6f(k)−,−在令（，令解得，所以kk2单调递增，在−6,0−5−26−4)f(k)f(6)=−=−26xZ，内单调递减，所以，又因为65k+−4，即3k−2时，，所以当k6=xZk+x4中元素的个数最少，故3k−2集合Ak故答案为:(−−2)【点睛】本题主要考查集合的运算和解不等式，综合性比较强.三、解答题（共6小题，共85分）16.1）x3x4()−2（2））利用一元二次不等式解法化简集合A，然后利用补集和交集运算求解即可；（2）根据集合关系列不等式组求解即可.【小问1−2x−3A=x−1xA=xx2因为所以因为，所以，x−x，B=x0x，所以(x3x4=.【小问2x−x因为，a2a+3a2a+3a3，解得3a−2或a3.由题意得或2a+3−1(+).−2a所以实数的取值范围是()在5单调递减，证明见解析fxx17.1）3mm2（2）2）根据函数单调性的定义即可作差求解，（2）由函数的单调性即可求解.【小问1()在5单调递减，证明如下：fxx(−)(+)11xxxx()−()=−=21212xx5fxfx设，则，1212x2+1x2+1(++)x1x1122212(x−xx+xx1)+12+10，2xx522由于，所以122121fx−fx0因此()()f1()()，所以()在5单调递减，f2fxx，故12【小问2由（1）知()在x5单调递减，fx32fm+1f2m−1所以由()()得5m+12m−12，解得m2，3mm2故不等式的解集为21M=y−y218.1）4194a−a或（2）4）根据二次函数的性质即可求解集合M．（2）xN是xM的必要条件，即MNa，对分类讨论，解出不等式(xa)(x+a−2)0−的解集，a可得的取值范围．【小问112214y=x2−x=x−−，1212−故函数在单调递减，在,1，1214x=y=−x=−1时，y=2，当，x=1时，y=0故当时取最小值，当11−y2M=y−y2故，所以，44【小问2xN是xM的必要条件，即MN．N=(2−a,a),当a1时，a2−a，此时12−a−9a4，解得所以；4a2当a=1时，N为空集，不适合题意，所以a=1舍去；N=(a,2−a)，1时，a2−a，此时当a1a−14a−4，解得所以2−a21494a综上可得的取值范围是a−a或−2+600x0x40−10xW(x)=19.1）10000；−(x+)+x40x（2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【小问12+10x100x,0x40R(x)=依题意，销售收入700x万元，固定成本250万元，另投入成本万10000x+−x40x元，−2+600x−0x4010x因此W(x)=700x−R(x)−250=，10000−(x+)+x40x所以2020年的利润W()（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是−2+600x−0x4010xW(x)=10000.−(x+)+x40x【小问2由（1）知，当0x40时，W(x)=10(x−30)2+87508750，当且仅当x=30时取等号，1000010000当x40时，W(x)=−(x+)+9200−2x+92009000，当且仅当x==，即xxxx=100时取等号，而87509000，因此当x=100时，W(x)=9000，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.127420.1）f(x)(x=+2)+1712(m+)+,m−2214732f(x)=,−m（2）423732(m−)+,m224133)3．（3）[,【分析】（）设出函数的解析式，结合函数的对称轴以及函数最值，求出函数的解析式即可；m（2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；a（3）根据一元二次方程根的分布，结合零点存在性定理得到关于的不等式，解出即可．【小问1设函数f(x)a(xh)+k，=−2127x=−由对称轴为，函数f(x)在R上最小值为可得417f(x)=a(x+)2+，将代入f(x)得：a=1，得故2417f(x)=(x+)2+；24【小问2f(x)的对称轴为x12=−，1m−f(x)[m−2,m]在递减，时，2174f(x)min=f(m)=(m+)2+，2132121−m[m−2,−−,m]时，f(x)在)递减，在(递增，221274故f(x)minf(=−)=，3mf(x)[m−2,m]在递增，时，237f(x)min=f(m−2)=(m−)2+故；241712(m+)+,m−2214732f(x)=,−m综上，；423732(m−)+,m224【小问317F(x)=f(x)−ax−1=(x+)2+−ax−1=x2+−a)x+1在(0,3)上只有一个零点，或=−24当Δ=0时，即1a=(−)2−4=0，解得=a3a1当a=−1时，x2+2x+1=0，x=−1不满足题意，舍去，当a=3时，x2−2x+1=0，x=1满足题意，13当0时，当()F(0)F30，解得a，此时F(x)在上只有一个零点，31310F(0)=1，当F313a0()=−=时，此时=F(x)=+=−a2x10，由于解得，此时331x=x=3或313a综上可得，3133a综上：