中直线与方程知识点解析及经典例题

高中数学必修2知识点——直线及方程一、直线及方程〔1〕直线的倾斜角定义：x轴正向及直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特殊地，当直线及x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°〔2〕直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线及x轴的倾斜程度。当时，；当时，；当时，不存在。②过两点的直线的斜率公式：留意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k及P1、P2的依次无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。xyo12l1l2例.如右图，直线l1的倾斜角=30°，直线l1⊥xyo12l1l2解：k130°=∵l1⊥l2∴k1·k2=—1∴k2=—例：直线的倾斜角是()°°°°〔3〕直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点留意：当直线的斜率为0°时，0，直线的方程是1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是1。②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：〔〕即不包含于平行于x轴或y直线两点轴的直线，直线两点，，当写成的形式时，方程可以表示任何一条直线。④截矩式：其中直线及轴交于点,及轴交于点,即及轴、轴的截距分别为。对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。⑤一般式：〔A，B不全为0〕留意：\o\(○,1)各式的适用范围\o\(○,2)特殊的方程如：平行于x轴的直线：〔b为常数〕；平行于y轴的直线：〔a为常数〕；例题：依据以下各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，经过点A(8，—2)；.(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；.(3)在轴和轴上的截距分别是；.4)经过两点P1(3，—2)、P2(5，—4)；.例1：直线的方程为0，假设直线经过原点且位于第二、四象限，则〔〕A．0，B>0 B．0，B>0，A>0C．0，<0D．0，>0例2：直线的方程为——0，假设A、B、C满意.>0且<0，则l直线不经的象限是〔〕A．第一B．第二C．第三D．第四〔4〕直线系方程：即具有某一共同性质的直线〔一〕平行直线系平行于直线〔是不全为0的常数〕的直线系：〔C为常数〕〔二〕过定点的直线系〔ⅰ〕斜率为k的直线系：，直线过定点；〔ⅱ〕过两条直线，的交点的直线系方程为〔为参数〕，其中直线不在直线系中。〔三〕垂直直线系垂直于直线〔是不全为0的常数〕的直线系：例1：直线l：(21)(1)y—7m—4=0所经过的定点为。(m∈R)〔5〕两直线平行及垂直当，时，〔1〕；〔2〕留意：利用斜率推断直线的平行及垂直时，要留意斜率的存在及否。〔3〕及重合；〔4〕及相交。另外一种形式：一般的，当，及时，〔1〕，或者。〔2〕。〔3〕及重合0。〔4〕及相交。例.设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，1)，当(1)l1//l2(2)l1⊥l1时分别求出m的值l1：(1)y=2—m和l2：2416=0，m为何值时l1及l2①相交②平行例2.两直线l1：(32)(1—4a)y+8=0和l2：(5a—2)(4)y—7=0垂直，求a值〔6〕两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解；方程组有多数解及重合l1：2y+2=0和l2：4y—2=0的交点坐标例4.直线l的方程为，(1)求过点〔2，3〕且垂直于l的直线方程；(2)求过点〔2，3〕且平行于l的直线方程。例2：求满意以下条件的直线方程(1)经过点P(2，3)及两条直线l1：3y—4=0和l2：521=0的交点Q；(2)经过两条直线l1：2—8=0和l2：x—21=0的交点且及直线4x—3y—7=0平行；(3)经过两条直线l1：2x—310=0和l2：34y—2=0的交点且及直线3x—24=0垂直；〔7〕两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则〔8〕点到直线距离公式：一点到直线的距离〔9〕两平行直线距离公式在任始终线上任取一点，再转化为点到直线的距离进展求解。对于来说：。例1：求平行线l1：34y—12=0及l2：811=0之间的距离。例2：平行线l1：32y—6=0及l2：64y—3=0，求及它们距离相等的平行线方程。(10)对称问题中心对称A、假设点及关于对称，则由中点坐标公式得B、直线关于点的对称，主要方法是：在直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们对于点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得出所求直线的方程。轴对称A、点关于直线的对称：假设及关于直线对称，则线段的中点在对称轴上，而且连结的直线垂直于对称轴，由方程组可得到点关于对称的点的坐标〔其中。B、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的点来解决，假设直线及对称轴相交，则交点必在及对称的直线上，然后再求出上任一个点关于对称轴对称的点，则经过交点及点的直线就是；假设直线及对称轴平行，则及对称的直线和到直线的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出的对称直线。例1：直线l：2x—31=0和点P(—1，—2).(1)分别求：点P(—1，—2)关于x轴、y轴、直线、原点O的对称点Q坐标(2)分别求：直线l：2x—31=0关于x轴、y轴、直线、原点O的对称的直线方程.(3)求直线l关于点P(—1，—2)对称的直线方程。(4)求P(—1，—2)关于直线l轴对称的直线方程。例2：点P(—1，—2)关于直线l：—2=0的对称点的坐标为。11.中点坐标公式：两点P1(x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(，)例.点A(7，—4)、B(—5,6),求线段的垂直平分线的方程直线方程练习题1．过点且平行于直线的直线方程为2．假设直线2=0和231=0相互垂直，则3、直线235=0关于直线对称的直线方程为4、及直线236=0关于点(11)对称的直线是5、过点P(41)且及直线346=0垂直的直线方程是6.过点〔1，2〕且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程7两直线23y－0和x－12=0的交点在y轴上，则k的值是8、两平行直线的距离是9、三角形的顶点坐标为A〔-1，5〕、B〔-2，-1〕、C〔4，3〕，M是边上的中点。〔1〕求边所在的直线方程；〔2〕求中线的长〔