江苏省泰州市兴化市板桥高级中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGE19-江苏省泰州市兴化市板桥高级中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在中，若，则此三角形为（）三角形．A.等腰 B.直角 C.等腰直角 D.等腰或直角【答案】B【解析】【分析】由条件结合正弦定理即可得到，由此可得三角形的形态．【详解】由于在中，有，依据正弦定理可得；所以此三角形为直角三角形；、故答案选B【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．2.在正方体的各条棱中，与直线异面的棱有（）条．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】依据题意画出图形,结合图形写出与直线异面的棱,可得答案.【详解】与棱异面的有：共四条,故选C．【点睛】本题考查了异面直线的应用,考查学生的空间想象实力与推理实力,属于基础题.3.△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由余弦定理有：.所以.考点：余弦定理.4.在正方体中，异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接、，可证四边形为平行四边形，得，得（或补角）就是异面直线与所成角，由正方体的性质即可得到答案．【详解】连接、，如下图：在正方体中，且；四边形为平行四边形，则；（或补角）就是异面直线与所成角；又在正方体中，，为等边三角形，，即异面直线与所成角的大小为；故答案选C【点睛】本题考查正方体中异面直线所成角的大小，属于基础题．5.如图，设点在河的两岸，一测量者在的同侧所在的河岸边选定一点．测出两点间的距离为．，则两点间的距离为（）m．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依据三角形内角和求，再依据正弦定理求解.【详解】在中,，则由正弦定理得，所以m.故选：C.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，属基础题.6.三个平面两两相交，最多可以得到（）条交线.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由三个平面两两相交，可得一条交线或三条交线，即可求解.【详解】由题意，三个平面两两相交，则有一条交线或三条交线，且三条交线两两平行或交于一点，例如：三棱柱的三个侧面两两相交，交线是三棱柱的三条侧棱，相互平行；例如：三棱锥的三个侧面两两相交，交线为三棱锥的三条侧棱，交于一点；所以三个平面两两相交，最多可以得到3条交线.故选：C.【点睛】本题主要考查了两个平面的位置关系，其中解答中仔细审题，熟记平面的基本性质，着重考查空间想象实力，属于基础题.7.江岸边有一炮台高，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台成部连线成30°角，则两条船相距（）A. B. C.20 D.【答案】A【解析】【分析】利用直线与平面所成角及俯角的定义，化为两个特别直角三角形的计算，再在底面中用余弦定理即可求出两船距离．【详解】如图，过炮台顶部作水平面的垂线，垂足为，设处观测小船的俯角为，设处观测小船的俯角为，连接、中，，可得米中，，可得米在中，米，米，，由余弦定理可得：，米（负值舍去）故选：A【点睛】本题着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等学问，属于基础题，娴熟驾驭直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键.8.如图，侧棱长为的正三棱锥中，，过点作截面则截面，则截面的周长的最小值为（）A. B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】沿着侧棱把正三棱锥绽开在一个平面内，则即为截面周长的最小值，且，在中，由余弦定理可得的值.【详解】如图所示：沿着侧棱把正三棱锥绽开在一个平面内，如图（2），则即为截面周长的最小值，且，在中，由余弦定理可得，故选：C.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，棱锥的结构特征，利用棱锥的侧面绽开图探讨几条线段和的最小值问题，属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知分别是三个内角的对边，下列说法正确的有（）A.在中．；B.在中，若，则；C.在中，若，且，则是等边三角形：D.在中，．【答案】ABD【解析】分析】对于A，由正余弦定理推断即可；对于B，利用三角形中，大边对大角和正弦定理即可推断；对于CD选项利用正余弦定理进行推断即可.【详解】解：对于A，由正弦定理，可得，所以A正确；对于B，当时，，由正弦定理得，所以B正确；对于C，由得，由余弦定理得，所以，但三角形不肯定是等边三角形；对于D，由余弦定理得结合正弦定理得，，所以D正确；故选：ABD【点睛】此题考查正余弦定理的应用，属于基础题.10.如图，在正方形中，分别的中点，现在沿着把这个正方形折成一个四面体，使重合，重合后的点记为．给出下列关系，其中成立的为（）A.平面 B.平面C. D.平面【答案】AC【解析】【分析】留意翻折前后的角度的变与不变，依据线面垂直的判定定理、性质定理以及反证的数学思想方法逐一推断即可.【详解】解：对于A，，平面，平面，，平面，故A正确.对于B，若平面，结合选项A，则，明显冲突，故B错误.对于C，，平面，平面，，所以平面，又平面，所以，故C正确.对于D，若平面，因为平面（C项已经证明），则，明显冲突，故D错误.故选：AC.【点睛】考查翻折问题，解决的关键是留意翻折前后的度量关系的改变，属于基础题.11.已知为不重合的三条直线，为平面，则下列四个命题中正确的命题为（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AD【解析】【分析】依据线面垂直的判定及性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，依据垂直与同一平面两直线平行，可得，所以A是正确的；对于B中，由，依据线面垂直判定定理，可知只有当为相交直线时，可得，所以B不正确；对于C中，由，依据线面平行的判定定理，只有当是，可得，所以C不正确；对于D中，由，依据线面垂直的性质，可得，所以D是正确的.故选：AD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证实力，属于中档试题.12.己知分别是三个内角的对边，给出下列四个命题，其中正确的是（）A.在中，若，则是锐角三角形；B.若，则是等腰三角形C.若，则是等腰三角形D.若，则是等边三角形【答案】CD【解析】【分析】对于A，由余弦定理可得,角C为锐角,但不能确定角B和角C,推断选项A错误;对于B，由正弦定理可得,,通过倍角公式，化简为，然后即可推断选项B错误;对于C,通过和差公式和诱导公式即可化简出，，然后即可推断选项C正确;对于D，利用正弦定理，把化简为，即可推断选项D正确.【详解】对于A，即,可得,即只知C为锐角,故A不正确;对于B，若，则，则，则，则或，是等腰三角形或直角三角形,故B错误;对于C,，，即，则是等腰三角形，故C正确;对于D，若，则，则，，即是等边三角形，故D正确;故选：CD【点睛】本题考查命题的推断,考查倍角公式、和差公式以及正弦定理的运用，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为，则AB的长为________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，，代入三角形的面积公式可求，，然后由余弦定理可求．【详解】解：，由正弦定理可得，，，，，由余弦定理可得，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的简洁应用，属于基础题．14.如图，在体积为的圆柱中挖去以圆柱上、下底面为底面，共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为，则________【答案】【解析】【分析】设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高为,然后依据锥体体积以及柱体体积可得，再求即可【详解】设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高为,则故答案为：.【点睛】本题主要考查圆锥、圆柱体积的计算，意在考查学生对这些学问的驾驭水平，属基础题.15.在中，，则________，的面积等于________【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值，进而可求得角的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】由正弦定理，得，，，则，因此，的面积为.故答案为：；.【点睛】本题考查利用正弦定理求角，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算实力，属于基础题.16.棱长为的正方体的8个顶点在同一个球面上，则这个球的体积与表面积的比值为________【答案】1【解析】【分析】正方体的外接球的直径就是其对角线，用求球半径即可求解.【详解】解：该球的直径就是正方体的对角线，设球的半径为，则，故答案为：1【点睛】考查正方体的外接球体积和表面积的求法，基础题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤．17.在中，角所对应的边分别为，已知，（1）求的周长（2）求的面积【答案】（1）5；（2）．【解析】【分析】（1）由余弦定理，列出方程，即可求得的周长；（2）由三角函数的基本关系式，求得的值，结合的面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，，由余弦定理得，解得，则的周长为．（2）由，可得，则的面积为．【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题．18.如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面.求证：（1）∥平面；（2）平面平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）证得MN∥BC，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得平面.由面面垂直的判定定理证明即可【详解】（1）∵分别为棱的中点，∴MN∥BC又平面，∴∥平面.（2）∵，点为棱的中点，∴，又平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴平面平面【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查定理，是基础题19.如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点，分别为，的中点.求证：（1）；（2）平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）推导出，从而平面.由此能证明.（2）取的中点，连结，.推导出四边形为平行四边形，.由此能证明平面.【详解】证明：（1）因为侧面是矩形，所以，因为平面平面，平面平面，在平面内，所以平面.因为在平面内，所以.（2）取的中点，连结，.在△中，，分别是，的中点，所以，且.在矩形中，是中点，所以，且.所以，且.所以四边形为平行四边形，所以.又因为在平面外，在平面内，所以平面.【点睛】本题考查线线平行、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查推理论证实力，是中档题.20.如图，已知四边形中，，，，.（1）求长；（2）求四边形的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）分别在和中利用余弦定理得出关于和的方程组，即可解得边的长；（2）求得和的值，然后利用三角形的面积公式可求得四边形的面积.【详解】（1）在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②又，所以．所以，，解得，；（2）所以．则四边形的面积为．【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了利用三角形的面积公式计算四边形的面积，考查计算实力，属于中等题.21.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的推断定理可得面面垂直；(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满意题意的点.【详解】（Ⅰ）证明：因为平面,所以；因为底面是菱形，所以;因为,平面,所以平面.（Ⅱ）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,因为,所以；因为平面，平面,所以；因为所以平面，平面,所以平面平面.（Ⅲ）存在点为中点时，满意平面；理由如下:分别取的中点，连接,在三角形中，且；在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;又平面，平面，所以平面.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探究问题等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.22.某海疆的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号