吉林省通榆县一中2025届高三数学上学期期中试题理

PAGEPAGE12吉林省通榆县一中2025届高三数学上学期期中试题理考生留意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清晰.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、复数、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面对量、数列、立体几何.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是虚数单位，，则复数的共轭复数的模是（）A.5 B. C. D.33.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次削减相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（）A.两 B.两 C.两 D.两5.若函数的图象关于点对称，则的最小值是（）A. B. C. D.6.已知等比数列中，，公比，则（）A.32 B.16 C.-16 D.-327.已知数列满意，，则（）A. B. C. D.8.在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是的重心，且，则的面积为（）A. B. C.或 D.或9.已知函数，则（）A.是奇函数，且在上单调递增B.是奇函数，且在上单调递减C.是偶函数，且在上单调递增D.是偶函数，且在上单调递减10.如图，在三棱柱中，底面，为等边三角形，，，，分别为，，的中点，是线段上的一点，则直线与直线的位置关系可能是（）①相交②垂直③异面④平行A.①② B.①②③C.①③④ D.②③④11.如图，在正方形中，是线段上的一动点，交于点，若，，则（）A. B.1C. D.212.已知数列中，其前项和为，且满意，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，，且向量，的夹角是，则_______.14.已知等差数列的前项和为，若，，则_______.15.若，，则_______.16.已知半径为4的球面上有两点，，且，球心为，若球面上的动点满意：与所在截面所成角为，则四面体的体积的最大值为_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的公差为，前项和为，且满意，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18.如图，在直三棱柱中，，，，，为的中点，为的中点，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.19.已知中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.20.如图，在四棱锥中，平面，，，，为线段的中点，交于点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21.已知数列，，满意，.（1）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，证明：.22.已知函数在点处的切线方程为.（1）求实数，的值﹔（2）若函数，试探讨函数的零点个数.通榆一中高三期中考试试题·数学（理科）参考答案、提示及评分细则一、选择题1-5：BCBCA 6-10：ABDDB 11-12：BD1.B由题意知，，所以.故选B2.C据题意，得，所以的共轭复数是，所以.故选C.3.B由，得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.4.C设10个兄弟由大到小依次分得两银子，设数列的公差为，其前项和为，则由题意得，即，解得.所以长兄分得两银子.故选C.5.A，由其图象关于点对称，得，即，所以的最小值是，故选A.6.A由.故选A.7.B由，得，所以，所以.故选B.8.D由题可知，，则，或.又，延长交于点，所以.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为.9.D函数的定义域为，，即，所以是偶函数.当时，，为减函数，为增函数，所以在上单调递减.故选D.10.B当点与点重合时，直线与直线相交，连接，，，，由题意，可得，，，，，在中，，同理，，，所以，，所以.又，平面，所以平面，又平面，所以，当点不与点重合时，直线与直线异面.故选B.11.B取向量，作为一组基底，则有，.因为向量与共线，所以，即.故选B.12.D当时，，得；当时，，，两式相减得，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.因为，所以.又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，，由，得，所以，所以.又，所以，所以，即对恒成立，当为偶数时，，所以，令，则数列是递增数列，所以；当为奇数时，，所以，所以，所以.综上，实数的取值范围是.故选D.二、填空题13.214.10815.16.613.2因为，所以.14.108由题意，，，，成等差数列，即18，24，30，36，故.15.因为，所以.因为，所以，所以.16.6设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，，，则为与所在截面所成角，即，得，，由，所以，同理.因为，，所以.在中，得，因为四面体的体积为，连接，当过时，且最大，所以四面体的体积的最大值.三、解答题17.解：（1）由，得；由，，成等比数列，得，，即，解得，，即.（2）由（1）得，则，即.18.证明：（1）取的中点，分别连接，.又∵为的中点，∴，且.又∵为的中点，据三棱柱性质知，，，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.解：（2）如图，过点作直线的垂线，且交于点.以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则有，，，，，，∴，，.设平面的一个法向量，有，取，，，∴.∴，∴直线与平面所成角的余弦值为.19.解：（1）因为，由正弦定理得，所以，所以.因为，所以，所以，所以，所以，所以.（2）由（1）得，所以的面积，得.由余弦定理得.又因为，，所以，解得，所以的周长为.20.证明：（1）因为平面，平面，所以.因为，，为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.所以.又因为，，为的中点，所以四边形为正方形，所以.又，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.因为平面，平面，所以.又，所以为等腰直角三角形.又因为为斜边的中点，所以.又，平面，平面，所以平面.解：（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设，则有点，，，，所以，，.设平面的一个法向量，则，即.令，得.所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.21.证明：（1）因为，所以.又因为，所以，即，所以是公差为2的等差数列.又，所以.（2）由（1），所以，则，①，②由①-②，得，所以.因为，所以，即.22.解：（1）因为函数，所以.由题意知，得，解得.（2）由题意知，所以.令，解得，.（i）当时，函数的定义域为，此时，，明显在上恒成立，所以在上单调递增.因为，故函数在上有且只有一个零点.（ii）当时，函数的