选修45不等式选讲全册教案

第一讲不等式和确定值不等式

课题：第01课时不等式的根本性质

教学目的：

1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式讨论

的根底。

2.驾驭不等式的根本性质，并能加以证明；会用不等式的根本性质推断不

等关系和用比较法，反证法证明简洁的不等式。

教学重点：应用不等式的根本性质推理推断命题的真假；代数证明，特殊是反证

法。

教学难点：敏捷应用不等式的根本性质。

教学过程：

一、引入：

不等关系是自然界中存在着的根本数学关系。列子•汤问中喜闻乐见的“两

小儿辩日”："远者小而近者大〃、“近者热而远者凉〃，就从侧面说明了现实世

界中不等关系的广泛存在；日常生活中休戚相关的问题，如1“自来水管的直截面

为什么做成圆的，而不做成方的呢"、”电灯挂在写字台上方怎样的高度最

亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个

无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？〃等，都

属于不等关系的问题，须要借助不等式的相关学问才能得到解决。而且，不等式

在数学讨论中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式［含有确定值的不等式、柯西不等式、贝努

利不等式、排序不等式等)和它们的证明，数学归纳法和它的简洁应用等。

人及人的年龄大小、高矮胖瘦，物及物的形态构造，事及事成因及结果的不

同等等都表现出不等的关系，这说明现实世界中的量，不等是普遍的、确定的，

而相等那么是部分的、相对的。还可从引言中实际问题动身，说明本章学问的地

位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖

(a>b>0),假设再加m(m>0)克糖，那么糖水更甜了，为什么

分析：起初的糖水浓度为参与m克糖后的糖水浓度为处”，只要证

b+mbaa+m

丝〃>2即可。怎么证呢

a+ma

二、不等式的根本性质：

1、实数的运算性质及大小依次的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴

上的表示可知：

a>b<^>a-b>0

a—b<=>a—b=0

a〈boa—b<6

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的根本性质：

①、假如a>b,那么b<a,假如b<a,那么a>bo(对称性)

②、假如a>b,且b>c,那么a>c,即a>b,b>cna>c。

③、假如a>b,那么a+c>b+c,即a>bna+如b+c。

推论:假如a>b,且c>d,那么a+c〉b+d.即a>b,c>d=>a+c>b+d.

④、假如a>b,且c>0,那么ac>bc；假如a>b,且c<0,那么ac〈bc.

⑤、假如a>b>0,那么屋(neN,且n>l)

⑥、假如a>b>0,那么板>扬(neN,且n>l)。

三、典型例题：

例1、比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小。

分析：通过考察它们的差及0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。

例2、a>b,c<d,求证：a-c>b-d.

例3、a>b>0,c>d>0,求证：卫〉惶。

四、课堂练习：

1：x〉3,比较/+1卜及61+6的大小。

2：a>b>0,c〈d〈0,求证：-<——»

a-cb-d

五、课后作业：

课本与第1、2、3、4题

六、教学后记：

课题：第02课时根本不等式

教学目的：

1.学会推导并驾驭均值不等式定理；

2.可以简洁应用定理证明不等式并解决一些简洁的实际问题。

教学重点：均值不等式定理的证明及应用。

教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

教学过程：

一、学问学习：

定理1：假如a、6WR,那么1十^》2ab〔当且仅当a=A时取"="号)

证明：a2+b2-2ab=(a—8)2

当时，[a-b]2>0,当。=力时，{a-b}2=0

所以，(a—A)220即22ab

由上面的结论，我们又可得到

定理2〔根本不等式)：假如a,6是正数，那么审2，兄(当且仅当a

=♦时取"="

号)

证明：:(④)?+($)2,2VL

'.a+b^2y[ab,即

明显，当且仅当a=b时，’=y[ab

说明：1)我们称史芦为a,6的算术平均数，称，方为a,，的几何平均

数，因此，此定理又可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2)a'+S222a8和手获成立的条件是不同的：前者只要求a,6都

是实数，而后者要求a,8都是正数.

3)“当且仅当”的含义是充要条件.

4)几何意义.

二、例题讲解：

例1x,y都是正数，求证：

(1)假如积灯是定值只那么当x=y时，和x+y有最小值2、仍；

(2)假如和x+y是定值S,那么当x=y时，积灯有最大值;6

证明：因为x,y都是正数，所以一「

(1)积灯为定值P时，有号:.x+y>2$

上式当x=y时，取"="号，因此，当x=y时，和x+y有最小值2、伊.

(2)和x+y为定值S时，有“a怎•••xjW752

上式当x可时取"=〃号，因此，当x可时，积灯有最大值js)

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应留意三个条件：

i）函数式中各项必需都是正数；

ii）函数式中含变数的各项的和或积必需是常数；

iii）等号成立条件必需存在。

例2:a、b、c、d都是正数，求证：

（ab+cd}（ac+bd]24abcd

分析：此题要求学生留意及均值不等式定理的“形"上发生联络，从而正确

运用，同时加强对均值不等式定理的条件的相识.

证明：由a、b、c、d都是正数，得

ab-\-cd、i-----ac-\-bd、/------

—~—>7ab.cd>0,—~—,bd>0,

4ab+cd）（ac+bd）、?,

-------------------亍abed

4

即（ab-\-cd]（ac+bd]24abcd

例3某工厂要建立一个长方体无盖贮水池，其容积为480（W,深为3m,假

如池底每Im?的造价为150元，池壁每In?的造价为120元，问怎样设计水池能

使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先须要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后

求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.

解：设水池底面一边的长度为加，水池的总造价为占元据题意，得

,1600、/1600

7=240000+7205+——）^240000+720X2AX---------

xNx

=240000+720X2X40=297600

当即*=40时，/有最小值297600

X

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总

造价是297600元.

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应留意数学语言的应用即函数

解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应留意不等式性质的适用条

件.

三、课堂练习：课本Pw练习1,2,3,4.

四、课堂小结：

通过本节学习，要求大家驾驭两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均

数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应留

意定理的适用条件。

五、课后作业

课本Pio习题1.1第5,6,7题

六、教学后记：

课题：第03课时三个正数的算术-几何平

均不等式

教学目的：

1.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简洁的不等式，解决最

值问题；

2.理解根本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简洁的不等式，解决

最值问题

教学过程：

一、学问学习：

定理3：假如4力,，€尺，那么"匕痂。当且仅当时，等号

3

成立。

推广：%+%+…+%》皿2…4。当且仅当q=&=…=4时，等号成立。

n

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思索：类比根本不等式，是否存在：假如a,A,ce/?+，那么a，+/+。3N3a/?c(当

且仅当a=O=c•时，等号成立)呢？试证明。

二、例题分析：

例1：求函数y=2/+-(x>0)的最〃江氢

2X1+->332x2-i--=3V4.\v,=3V4

解一：y=2x2+—=2x2+—in

¥2.2包「2总当2小年即.当时

解二：y=2一

儿曲=2/6・半V12=2^324'"

上述两种做法哪种是错的？错误的缘由是什么？

变式训练1若a,。wR且a>"求。+——-——的最小值。

(a-b)b

由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要

例2:如以下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小一样的小正方

形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是

多少时，才能使盒子的容积最大?

变式训练2:长方体的全面积为定值S,试问这个长方体的长、宽、高各是

多少时，它的体积最大，求出这个最大值.

由例题，我们应当更牢记—二三,三者缺一不行。另

外，由不等号的方向也可以知道：积定,和定.

三、稳固练习

y=3x+g（x〉0）的最小值是（）

A.6xB.676

y=4一+—,的最小值是

3.函数y=/（2-、2）（0<%<3）的最大值是（）

A.OB.1C.—D.—

27,27

4.（2021浙江自选）正数x,y,z满意x+y+z=l,求4*+4、+4"的最小值。

5（2021,江苏，21）设a,。,c为正实数，求证：一rH—r-H——+cibc>2-\/3

abc

四、课堂小结：

通过本节学习，要求大家驾驭三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均

数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应留

意定理的适用条件。

五、课后作业

Pu）习题1.1第11,12,13题

六、教学后记：

课题：第04课时确定值三角不等式

教学目的:

1:理解确定值三角不等式的含义，理解确定值三角不等式公式及推导方法,

会进展简

单的应用。

2：充分运用视察、类比、揣测、分析证明的数学思维方法，体会转化和数

形结合的数学思想，并能运用确定值三角不等式公式进展推理和证

明。

教学重点：确定值三角不等式的含义，确定值三角不等式的理解和运用。

教学难点：确定值三角不等式的发觉和推导、取等条件。

教学过程：

一、复习引入:

关于含有确定值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类

是证明不等式。本节课讨论不等式证明这类问题。

1.耳剧翎I'勉区CT下确定值的意义。

国="0,如果x—0o

几何&义,：妣鹦由上，一个点到原点的间隔称为这个点所表示的数的确定

值。

2.证明一个含有确定值的不等式成立，除了要应用一般不等式的根本性质

之外，常常还要用到关于确定值的和、差、积、商的性质：

⑴|«|>«,当且仅当a20时等号成立，时2-a.当且仅当a40时等号成

立。

⑵|a|=,⑶同.网=,母，⑷，=口（"力。）

那么时+设=|a+4?时_帆=卜+耳？

二、讲解新课：,„

OAB

探究：|a|，B|,|a+W，|a-4之间的什么关系？~o---a---h—

结论:|a+b|W|a|+「（当且仅当功20时，等号成立.）

是实数，试证明：++网(当且仅当H'O时，等号成立.)

方法一：证明：1°.当a820时，2°.当ab<0时，

ab=-\ab\,

ab=|ah\a^b\=J(a+/7)2

\a+h\=+=\ja24-lab+h2

=-Ja2+2ab+b2

=曲+M

=7l«|2+2\a\\b\+\b\1

<yl\a\2+2\a\\h\+\h^

综合1°,=2物旃丽.

=J(|a|+网>

=\a\+\b\=\a\+\b\

方法二：分析法，两边平方（略）

定理1假如。,8是实数，那么卜+同三同+何（当且仅当时，等号成立.）

（1）假设把匕换为向量瓦B情形又怎样呢？

a+b

根据定理1,有,+4+|-42,+。-可，就是，1+苗+|月>|4。所以，

,+4之同一|4。

定理（确定值三角形不等式）

假如”,〃是实数，那么|同一例W|a土耳W|a|十向

注：当。力为复数或向量时结论也成立.

推论1：k+4+…+aj・,]|+同|+~+|。"|

推论2：假如a、）、c是实数，那么c|W|a-N+M-c|,当且仅当

（a-b）（b一c）》0时,等号成立.

思索：如何利用数轴给出推论2的几何说明？

（设A,B,C为数轴上的3个点，分别表示数a,b,c,那么线段AB<AC+CB.

当且仅当C在A,B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特殊的，取c=0（即

C为原点），就得到例2的后半部分。）

三、典型例题：

例1、|x-«|<,求证|(x+y)-(a+Z?)|<c.

证明|(x+y)—(a+Z?)|=|(x—«)+(y—A>)|<|x—«|+|y—£»|(1)

**|x—(M+|y-Z?|<-+-=c

⑵

得：|(x+y)-(«+/?)!<c

。

。

例JN

2用<<

4--a6-.求证：\lx-3y|<ao

明

.正M<:TN

111

―62­'2aa

由例1及上式，|2x-3y|w|2%|+|3y|<—+-=a。

留意：在推理比较简洁时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写

法，只能用于不等号方向一样的不等式。

例3两个施工队分别被支配在马路沿线的两个地点施工，这两个地点分别

位于马路路碑的第10公里和第20公里处.现要在马路沿线建两个施工队的共同

临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间来回一次，要使两个施工

队每天来回的路程之和最小,生活区应当建于何处

解：假如生活区建于马路路碑的第xkm处，两施工队每天来回的路程之和为

S(x)km——•-----------------------------•-----------------------•-----------------

那么S(x)f0(|x-lO|+|x-2O|)x20

四、课堂练习：

1.(课本乙。习题1.2第1题)求证：

(l)|a+6|+|a-Z>|2|a|;(2)|a+Z>|—|a-Z>|W2\b\

2.(课本已习题1.2第3题)求证：

(D|x—a|+|x-Z>|^\a—b\;(2)|x—a|—|x—Z>|^|a—

3.(1)、|A—tz|<—,|—Z?|<一.求证：|(A—B)—(iz—Z?)|<co

⑵、卜一《<±,仅一.<二求证：\lx-3y-2tz+3Z?|<co

五、课堂小结：

1.实邪取确痈值的意义：

⑴同=.0(a=0);1定义)

⑵同的k何噫契)

2.定理(确定值三角形不等式)

假如a,b是实数，那么|同一恍W|a土耳W\a\+\b\留意取等的条件。

六、课后作业：课本P”,第2,4,5题

七.教学后记:

课题：第05课时确定值不等式的解法

教学目的：

1：理解并驾驭凶＜。与凶＞。（。＞0）型不等式的解法.

2：驾驭版+4＜c与麻+4＞c（c＞0）型不等式的解法.

教学重点：与国＞。（。＞0）型不等式的解法.

教学难点：把确定值不等式转化为一次不等式（组）来求解.

教学过程：

一、复习引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和确定值的一些根本学问有了确定

的理解。

请同学们回忆一下确定值的意义。

在数轴月”,如漏到想点的间隔称为这个点所表示的数的确定值。即

w=<0,如果x=0o

在此根耐土不,放碗论含有确定值的不等式。

二、新课学习：

关于含有确定值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类

是证明不等式。下面分别就这两类问题绽开讨论。

1、解在确定值符号内含有未知数的不等式（也称确定值不等式），关键在于

去掉确定值符号，化成一般的不等式。主要的根据是确定值的几何意义.

2、含有确定值的不等式有两种根本的类型。

第一种类型：设a为正数。根据确定值的意义，不等式凶＜。的解集是

{x|-a＜x＜。},它的几何意义就是数轴上到原点的间隔小于a的点的集合是开

区间（-a,a）,如下图。

图1-1

假如给定的不等式符合上述形式，就可以干脆利用它的结果来解。

第二种类型：设a为正数。根据确定值的意义，不等式W＞a的解集是

{x[x＞。或x〈-a}，它的几何意义就是数轴上到原点的间隔大于a的点的集合

是两个开区间（-8,-a）,3,8）的并集。如图1-2所示。

aa

图1-2

同样，假如给定的不等式符合这种类型，就可以干脆利用它的结果来解。

3、麻Wc和麻+q2c型不等式的解法。

\ax+t\<c<^>-c<ax+b<c

版+可>c<4>ax+b<—c^ax+b>c

4、忖-。|+卜-4Wc和卜-《+卜-4型不等式的解法。(三种思路)

三、典型例题：

例1、解不等式|3x—1|<%+2。

例2、解不等式1|>2-％。

方法1：分类讨论。

方法2：依题意，原不等式等价于3x—1>2-x或3x—l<x—2,然后去解。

例3、解不等式|2x+l|+|3x—2|之5。

例4、解不等式卜―2|+|x—125。

解：此题可以根据例3的方法解，但更简洁的解法是利用几何意义。原不等

式即数轴上的点x到1,2的间隔的和大于等于5。因为1,2的间隔为1,所

以x在2的右边，及2的间隔大于等于2(=(5-1)+2)；或者x在1的左

边，及1的间隔大于等于2。这就是说，xN4或xW-L

例5、不等式|x-l|+|x+3|>a,对一实在数x都成立,务实数〃的取值范围。

四、课堂练习：解以下不等式:

1、2|2x-l|>l.2、4|1-3A(-1<03、|3-2A|<x+4.

4、|x+l|>2-x.5、|%2-2x-4j<16、|%2-1|>x+2.

7、|A|+|X-2|>48、|x—1|+|x+3|>6.9、|JC|+|x+1|<2

10、||x|-|x-4||>2.

五、课后作业：课本20第6、7、8、9题。

六、教学后记:

第二讲证明不等式的根本方法

课题：第01课时不等式的证明方法之一：

比较法

教学目的：能娴熟地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学重、难点：能娴熟地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学过程：

一、新课学习：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性

质：

a>b<^>a—b>0

a=b<=>a—b=Q

a<h<^>a—h<0

二、典型例题：

例1、设a,b都是正数，且aw。，求证：«3+Z?3>a2b+ab2=

例2、假设实数xwl,求证：3(l+x2+x4)>(1+x+x2)2.

证明：采纳差值比较法：

3(1+x2+x4)-(l+x+x2)2

=3+3x"+3x"—1—x"—x4—2x—2x"—2/

=2(/_*3—x+1)

=2(x-l)2(x2+x+l)

,1,3

=2(x—l)-[(x+—)-+—].

24i3

•••%力1,从而“一1)2>0,且。+—)2+->O,

1324

2(X-1)2[(X+-)2+-]>0,

24

3(1+x~+/)>(1+x+x~)".

讨论：假设题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换?

例3、a,bGR*,求证。"束止abba.

此题可以尝试运用差值比较和商值比较两种方法进展。

证明:1)差值比较法：留意到要证的不等式关于对称，不妨设。2匕>0.

a-b>Q

从而原不等式得证。

2)濡矗矗磁筑/»鼠

■-->l,a-b>o,*=(-)a-b>1.故原不等式得证。

bahab

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路途走到同一地点。甲有一半时间以速度加行

走，另一半时间以速度〃行走；乙有一半路程以速度〃，行走，另一半路程以速度

〃行走。假如加。〃，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从动身地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的

时间分别为。小。要答复题目中的问题，只要比较九G的大小就可以了。

解：设从动身地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的

时间分别为小根据题意有乙机+=S,—+—=可得:=至~,

S(m+n)222m2nm十几

t2=-------,

[[由21nH2SS(m+n)S[4mn-(m+n)2]S(m-n)2

zA.nrjZj-t〜=---------------=----------------=------------,

-m+n2mn2(m+n)mn2(m+n)mn

其中〃都是定数，o于是。一，2<0，即乙<，2。

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：假如〃7=〃，甲、乙两人谁先到达指定地点？

三、课堂练习：

1.比较下面各题中两个代数式值的大小：

(1)/及%2一%+[；(2)/+X+1及(x+])2.

2.awl.求证：(1)a2>2a-l;(2)--<1.

3.假设aN。2c>0,求证aubcc>(abc)3.

四、课时小结：

比较法是证明不等式的一种最根本、最重要的方法。用比较法证明不等式的

步骤是：作差(或作商)、变形、推断符号。“变形〃是解题的关键，是最重一步。

因式分解、配方、凑成假设干个平方和等是“变形”的常用方法。

五、课后作业：

课本23页第1、2、3、4题。

六、教学后记：

课题：第02课时不等式的证明方法之二：

综合法及分析法

教学目的：

1、结合已经学过的数学实例，理解干脆证明的两种根本方法：分析法和综

合法。

2、理解分析法和综合法的思索过程。

教学重点：会用综合法证明问题；理解综合法的思索过程。

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思索过程、特点，选择适当的证明方

法。

教学过程：

一、引入：

综合法和分析法是数学中常用的两种干脆证明方法，也是不等式证明中的根

本方法。由

于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以相识、学习，

以便于比照讨论两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从条件动身，根据不等式的性质或的不等式，逐步推导出要

证

的不等式。而分析法，那么是由结果开始，倒过来找寻缘由，直至缘由成为明显

的或者在中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因〃。打一个比方：张

三在山里迷了路，救援人员从驻地动身，逐步找寻，直至找到他，这是“综合法”；

而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。

二、典型例题：

例1、a,b,c>0,且不全相等。求证：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

分析：用综合法。

例2、设。>0,8〉0,求证/

证法一分析法

要证a3+by>a2b+ah2成立.

只需证(4+6)(/-。6+〃)2。人(4+勿成立，又因。+。>0,

只需证/一池+〃>此成立，又需证a2-2ab+NO成立，

即需证(a-。)？>0(a-b)2〉0明显成立.由此命题得证。

证法二综合法

(a—b)->0ci~—2ab+b~>0=>—ab+b~2ab

留意至Ua>0,b>0,即a+b>0,

由上式即得3+0)(/-ab+b2)>ab(a+b),从而/+/>a2h+ab2成立。

议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？

例3、a,b,m都是正数，并且。<b.求证：竺竺>@.(1)

b+mb

证法一要证(1),只需证"a+〃?)>aS+/n)(2)

要证［2),只需证力篦>4"九(3)

要证(3),只需证b>a(4)

(4)成立，所以(1)成立。

上面的证明用的是分析法。下面的证法二采纳综合法。

证法二因为机是正数，所以/wz>am

两边同时加上ab得伙a+〃?)>aS+m)两边同时除以正数力(〃+/〃)

得⑴。

例4、证明：通过水管放水，当流速一样时，假如水管横截面的周长相等，

那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

分析：当水的流速一样时，水管的流量取决于水管横截面面程的大小。设截

面的周长为L,那么周长为m的圆的半径为《，截面积为万伊［；周长为L的

正方形为《，截面积为。所以此题只赢E明"2

证明J设截面的周昌九，那么菖面是圆的水春翻着叫鼠沟万(-1，截

面是正方形的水管的截面面积为12：。只袁证明：乃(三)>f-Yo〃

为了证明上式成立，只需证加丝〉£⑷

414rr~16

两边同乘以正数亳，得：^>-o用此，只需证明4>7。

上式明显成立，源以乃H>g)O

这就证明了：通过水般梨，金输一样时，假如水管横截面的周长相等，

那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

22

例5、证明：a+b'+c>ab+bc+cao

证法一：因为a2+b2>2ah⑵

b2+c2>2bc⑶

c2+a2>2ca(4)

所以三式相加得2(/+b2+c2)>2(.ab+bc+cd)(5)

两边同时除以2即得(Do

证法二：

u~+b~+c~—(ab+he+ca)——(a—b)~H—(b—c)~H—(c—ci)~>0,

222

所以(1)成立。

例6、证明：(。2+匕2)(。2+12)2("+9)2.⑴

证明(1)<=>(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2>0(2)

oa2c2+b2c2+a2d2+b2d~~(a2c2+2abcd+b2d2)>0(3)

b2c2+a2d2-2abcd>0(4)

O(be-ad)2>0(5)

(5)明显成立。因此(1)成立。

例7、a,"c都是正数，求证加+/+/23aoe.并指出等号在什么时候成立？

分析：此题可以考虑利用因式分解公式

a2,+Z>3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b~+c2-ab-be-cd)o

证明：a3+b^+c3-3abe

=(a+Z>+c)(a~+h~+c~-ab—be—cct)

Ta+"c)[3-4+S-c)2+(r)2].

由于a,b,c都是正数，所以a+b+c>0.而

(a—b)~+(b-c)2+(c—a)2>0,

可矢口a'+b3+c3-3abc>0

BPa3+b3+c3>3abc(等号在a=b=c时成立)

探究：假如将不等式/+〃+c323/c中的/方,03分别用。，仇C来代替，

并在两边同除以3,会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：

(l+a+b)(l+b+c)(l+c+a)>27,其中a,。,c是互不相等的正数，且

abc=1.

三、课堂小结：

解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上

（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正

数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利

用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。

四、课堂练习:

1、x>0,求证：x+—>2.

x、、1J4

2、x〉0,y>0,x¥y,求证—+—>----

)

3、a>b>Q,5RijE-Ja-b>4a'~\[b.

4、a>0,/?>0.求证：

(1)(<2+Z?)(a-1+b~')>4.(2)(a+b)(a2+b2)(a3+Z?3)>8a3/?3.

5、a,/c,d都是正数。求证：

a+b+c+d

m+闻)>^M.

24

6、a,"c都是互不相等的正数，J^iiE(a+b+c)(ab+bc+cd)>9abc.

五、课后作业：

课本25页第1、2、3、4题。

六、教学后记：

课题：第03课时不等式的证明方法之三：

反证法

教学目的：

通过实例，体会反证法的含义、过程及方法，理解反证法的根本步骤，会用反证法证

明简洁的命题。

教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简洁的命题。

教学难点：会用反证法证明简洁的命题。

教学过程：

一、引入：

前面所讲的几种方法，属于不等式的干脆证法。也就是说，干脆从题设动身，经过一系

列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较困难的不等式，有时很难干脆入手求证，这

时可考虑采纳间接证明的方法。所谓间接证明即是指不干脆从正面确定论题的真实性，而是

证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地到达目的。其中，反证法是

间接证明的一种根本方法。

反证法在于说明：假设确定命题的条件而否认其结论，就会导致冲突。详细地说，反

证法不干脆证明命题“假设p那么q",而是先确定命题的条件p,并否认命题的结论q,

然后通过合理的逻辑推理，而得到冲突，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出及所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定动身，应用证确的推理方法，推出冲突结果；

第四步断定产生冲突结果的缘由，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、典型例题：

例1、a>b>0,求证：'^a>'4b]〃€?/且〃>1)

例1、设。3+/=2,求证a+Z?W2.

证明：假设a+力>2,那么有a>2—力，从而

>8—⑵+6/—

a3+b3>6b2-Ub+S=6(b-\)2+2.

因为6s-+2N2,所以^+尸>2,这及题设条件/+〃=2冲突，所以，

原不等式成立。

例2、设二次函数/(x)=x2+a+q,求证：|/(1川/(2)|,|/(3)］中至少有一个不小

于L

2

证明：假设/⑴|,|/(2川/创都小于;，那么

|/(l)|+^/(2)|+|/(3)|<2.(1)

另一方面，由确定值不等式的性质，有

|/(1)|+2|/(2)|+1/(3)|>|/(1)-2/(2)+/(3)|(2)

=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2

(1)、(2)两式的结果冲突，所以假设不成立，原来的结论正确。

留意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满意某个不等式时，通

常采纳反证法进展。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的冲突结果，通常是指所推

出的结果及公理、定义、定理或条件、已证不等式，以及及临时假定冲突等各种状况。试根

据上述两例，讨论找寻冲突的手段、方法有什么特点？

例3、设0<“,人,c<l,求证：(1-a)仇(1-6)c,(1-c)a,不行能同时大于1

4

、/、几II1

证：设(1—a)b>—,(1—b)c>—,(1—c)a>一,

444

那么三式相乘：ab<(\-a)b*(1--c)a<—①

64

一"i2

又0<a,8,c<10<(1—a)a<—~♦"=—

_2J4

同理：(1-/?)/?<-,(l-c)c<-

44

以上三式相乘：(1-a)a*(l-*)&*(!-c)c<—及①冲突.•.原式成立

64

例4、a+/?+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证：a,b,c>0

证：设a<0,*.*abc>0,be<0又由。+/?+c>0,那么b+c=-a>0

ab+be+ca=a（b+c）+be<0及题设冲突又：假设a=0,那么及“Ac>0

冲突，，必有〃>0

同理可证：/?>0,c>0

三、课堂练习：

n4-iria

1、利用反证法证明：假设a,b,m都是正数，并且。<人，那么-->-.

b+mb

2、设0<〃,b,c<2,求证：（2-〃）c,（2-（2-c）b,不行能同时大于1

3、假设x,y>0,且x+y>2,那么上上和匕工中至少有一个小于2。

%y

提示：反设史上22,H二22-：x,y>0,可得x+yW2及x+y>2冲突。

xy

四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出及所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定动身，应用证确的推理方法，推出冲突结果；

第四步断定产生冲突结果的缘由，在于开始所作的假定不正确,于是原证不等式成立.

五、课后作业：

课本29页第1,4题。

六、教学后记：

课题：第04课时不等式的证明方法之四:

放缩法

教学目的：

i.感受在什么状况下，须要用放缩法证明不等式。

2.探究用放缩法证明不等式的理论根据和技巧。

教学重、难点：

1.驾驭证明不等式的两种放缩技巧。

2.体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度〃。

教学过程：

一、引入：

所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明

显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方

法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用途更为

广泛。

下面我们通过一些简洁例证体会这种方法的根本思想。

二、典型例题：

例1、假设〃是自然数，求证1+2+-1+…+!<2.

1111212232

证明：•••二<---=」――上次=2,3,4,…，儿

9式A—）"I[g]]1

H--74--7H---1--7<―­1----1-----1---1--------

I22232〃211.2.2-I3I(n-l)-nii

=-+(----)+(----)+-••+(------)

1il223n-ln

=2--<2.

ii\ni

留意：事实上，我们在证明=+…+与<2的过程中，已经得到一

个更强的结论3+3+3+…+3<2-士，这恰恰在确定程度上表达了放缩法

222

I23n

的根本思想。

例2、求证：1+-+-^—+——-——+•••+------1-----<3.

111x21x2xi3lx]2x3x…

证明：由------i-----<————=4-,S是大于2的自然数)

l1x2xpx.--xAi1-2-2…一2

得1+-+---+------+…+-------i——L

114211x2x31]X2X3XLT可i

<14-1+-+—+—+•••+——-=1+——==3-----<3.

22223n-\]2“一[

例3、假设&b,J1]dwR,求证

1abcd

I<--------1--------1---------1--------<2

a+h+db+笈+ac+g+bd+cj

llEsI己m--------1---------1---------1--------•a,b,c,deR

a+b%dZ?+c+。/7c+d+bd^t-a+cd

..m>-----------1-----------1-----------1-----------1

a古b+ca-^b+c-^fic+d+a+bd+a+Z?+c

m<-----1------1------1-----=2「・]<m<2即原式成

a+ba+hc+dd+c

立。

例4、当〃>2时，求证：log„(H-l)log„(n+l)<1

证：>2/.log„(n-l)>0,log„(n+l)>022

,,/八1/,八，log„(n-l)+log,,(n+l)Tlog„(n2-1)

..10g„(»-l)10g„(/?+l)<—j——-7T—2-----=—箕----

乜iog“〃-z=]JL2J

2—

:・n>2时，log„(n-l)log„(n+l)<1

三、课堂练习：

1、设〃为大于1的自然数，求证」一+—」一+」一+—+，>」.

1〃饵1〃42〃+2〃2

2、设〃为自然数，求证(2—上)(2—3)(2—三)…(2—~

nnnnw!

四、课时小结：

常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，

(I)假如分子不变，分母缩小(分母仍为正数)，那么分式的值放大;

(II)假如分子不变，分母放大，那么分式的值缩小。

五、课后作业：课本29页第2、3题。

第三讲柯西不等式及排序不等式

课题:第1课时二维形式的柯西不等式〔-〕

教学目的：相识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明

二维柯西不等式及向量