2024-2025学年新教材高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1.2.2排列数的应用课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第二册

PAGE课时素养检测三排列数的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1.6个停车位置，有3辆汽车须要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法种数为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.将3个空位看成一个整体，问题转化为4个元素全排列问题，即QUOTE.2.正方体的8个顶点可以确定的不同的空间向量的个数是 ()A.64 B.56 C.512 D.16【解析】选B.因为向量有方向，所以从8个顶点中选取2个顶点的排列数QUOTE=8×7=56就是所求.3.某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出依次有如下要求：节目甲必需排在乙的前面，丙不能排在最终一位，该晚会节目演出依次的编排方案共有()A.720种 B.360种 C.300种 D.600种【解析】选C.先支配好除丙之外的5个节目，有QUOTE=60种可能，再支配丙，有5种可能，共300种方案.4.由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数中是5的倍数的有()A.120个 B.30个 C.36个 D.48个【解析】选C.因为5的倍数的特征是个位数字为5或0，所以依据个位数字分为两类：当个位数字为5时，首位数字从1，2，3，4中选一个，十位数字从0及余下的3个数字中选一个，所以有4×4=16个；当个位数字为0时，前面两位数字从1，2，3，4，5中选2个排列，所以有QUOTE=5×4=20个，所以所求的三位数有16+20=36个.5.假如在一周内(周一至周日)支配三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只支配一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的支配方法有 ()A.50种 B.60种 C.120种 D.210种【解析】选C.先支配甲学校的参观时间，因为甲学校连续参观两天，可以是周一周二，可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日，所以共有QUOTE种方法，然后在剩下的5天中任选两天有序地支配其余两校参观，支配方法有QUOTE种，依据分步乘法计数原理可知共有QUOTE=120种不同的支配方法.6.(多选题)一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有 ()A.240种 B.QUOTE种 C.QUOTE·QUOTE种 D.480种【解析】选CD.将四人排成一排共QUOTE种排法，产生5个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共QUOTE种放法.由分步乘法计数原理知满意条件的坐法共QUOTE·QUOTE=480(种).二、填空题(每小题5分，共10分)7.在学校国庆文艺晚会上，有三对老师夫妇参与表演节目，要求每人只能参与一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男老师的节目不能相邻，且夫妻老师的节目也不能相邻，则该6名老师表演的节目的不同编排依次共有________种.(用数字填写答案)

【解析】把6个节目依据先后出场依次依次记为编号1，2，3，4，5，6，则3名男老师只有(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，6)，(2，4，6)共4种位置支配，由于夫妻老师的节目又不能相邻，可得以上4种支配的每种支配里，3名女老师的支配均是1种，故该6名老师的节目不同的编排依次共有4QUOTE=24种.答案：248.三个女生和五个男生排成一排.(1)假如女生必需全排在一起，可有_______种不同的排法.

(2)假如女生必需全分开，有_______种不同的排法.

【解析】(1)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有六个元素，排成一排有QUOTE种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有QUOTE种排法，因此共有QUOTE·QUOTE=4320种不同排法.(2)先排5个男生，有QUOTE种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有QUOTE种排法，因此共有QUOTE·QUOTE=14400种不同排法.答案：(1)4320(2)14400三、解答题(每小题10分，共20分)9.由0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的自然数.(1)有多少个含2，3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个含数字1，2，3，且必需按由大到小依次排列的六位数？【解析】(1)先不考虑0是否在首位，0，1，4，5先排三个位置，则有QUOTE个，2，3去排四个空档，有QUOTE个，即有QUOTE个；而0在首位时，有QUOTE个，即有QUOTE-QUOTE=252个含有2，3，但它们不相邻的五位数.(2)在六个位置先排0，4，5，先不考虑0是否在首位，则有QUOTE个，去掉0在首位，即有QUOTE-QUOTE个，0，4，5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1，2，3必需由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有QUOTE-QUOTE=100个六位数.10.七名班委中有A，B，C三人，有七种不同的职务，现对七名班委进行职务详细分工.(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担当，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担当，有多少种分工方案？【解析】(1)先排正、副班长有QUOTE种方案，再支配其余职务有QUOTE种方案，依分步乘法计数原理知，共有QUOTE=720种分工方案.(2)七人中随意分工方案有QUOTE种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有QUOTE种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的分工方案有QUOTE-QUOTE=3600(种).(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.3个老师和5个同学照相，老师不能在最左端，任何两位老师不能相邻，则不同的排法种数是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.先排学生，有QUOTE种排法，再排老师，在学生之间去掉最左端的5个间隔中选3个排列，有QUOTE种排法，故共有QUOTE种排法.2.《中国诗词大会》(其次季)亮点颇多，十场竞赛每场都有一首特殊设计的开场诗词.在声光舞美的协作下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最终，则后六场的排法有 ()A.288种 B.144种 C.720种 D.360种【解析】选B.依据题意分2步进行分析：①将《将进酒》《望岳》和另外两首诗词全排列，则有QUOTE=24种依次，因为《将进酒》排在《望岳》的前面，所以这4首诗词的排法有QUOTE=12种.②这4首诗词排好后，不含最终，有4个空位，在4个空位中任选2个，支配《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有QUOTE=12种支配方法，则后六场的排法有12×12=144种.3.从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程QUOTE+QUOTE=1中的a和b，则能组成落在矩形区域B={(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为()A.43 B.72 C.863 D.90【解析】选B.在1，2，3，…，8中任取两个作为a和b，共有QUOTE=56个椭圆；在9，10中取一个作为a，在1，2，3，…，8中取一个作为b，共有QUOTE=16个椭圆，由分类加法计数原理，知满意条件的椭圆的个数为56+16=72.4.在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最终一步，程序B，C实施时必需相邻，则试验依次的编排方法共有 ()A.24种 B.96种 C.120种 D.144种【解析】选B.先支配程序A，从第一步或最终一步选一个，有QUOTE种，再把B，C看成一个整体和其余三个程序编排，有QUOTE种，最终B，C排序，有QUOTE种，故共有QUOTE=96种.二、填空题(每小题5分，共20分)5.从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条.

【解析】易知过原点的直线方程的常数项为0，则C=0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有QUOTE种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有QUOTE=30(条).答案：306.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种.(用数字作答)

【解析】不考虑A，B，C的位置限定时有QUOTE=720种，只考虑A，B，C三个字母的依次有QUOTE=6种，而A，B在C的同侧有2QUOTE=4(种)，故满意条件的排法有QUOTE×QUOTE=480(种).答案：4807.3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有________种排法.(用数字作答)

【解析】第1步，3名男生站成一排，有QUOTE种排法；第2步，插入女生，女生只能插入3名男生形成的前3个空档或后3个空档中，有2QUOTE种插法.由分步乘法计数原理可知，共有2QUOTE·QUOTE=72种排法.答案：728.5位同学排队演出，其中3位女生，2位男生.假如2位男生不能相邻，且女生甲不能排在第一位，则排法种数为________.

【解析】若第一个出场的是男生，则其次个出场的是女生，以后的依次随意排，有2×3×QUOTE=36种排法；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2位女生排列好，2位男生插空，有2×QUOTE×QUOTE=24种排法.故全部的排法种数为36+24=60.答案：60三、解答题(每小题10分，共30分)9.用1，2，3，4，5，6，7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数肯定在奇数位上；(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；(4)三个偶数从左到右按从小到大的依次排列.【解析】(1)用插空法，共有QUOTE=1440(个).(2)先把偶数排在奇数位上有QUOTE种排法，再排奇数有QUOTE种排法，所以共有QUOTE=576(个).(3)在1和2之间放一个奇数有QUOTE种方法，把1，2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有QUOTE种排法，所以共有QUOTE=720(个).(4)七个数的全排列为QUOTE，三个偶数的全排列为QUOTE，所以满意要求的七位数有QUOTE=840(个).10.5男5女共10名同学排成一行.(1)女生都排在一起，有几种排法？(2)女生与男生相间，有几种排法？(3)任何两个男生都不相邻，有几种排法？(4)5名男生不排在一起，有几种排法？(5)男生甲与男生乙中间必需排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？【解析】(1)将5名女生看作一人，就是6个元素的全排列，有QUOTE种排法，又5名女生内部有QUOTE种排法，所以共有QUOTE·QUOTE=86400种排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2QUOTE·QUOTE=28800种排法.(3)女生先排，女生之间及首尾共有6个空.任取其中5个安插男生即可，因而任何男生都不相邻共有QUOTE·QUOTE=86400种排法.(4)干脆分类较困难，可用间接法.即从10个人的排列总数中减去5名男生排在一起的排法数，得5名男生不排在一起的排法数为QUOTE-QUOTE=3542400.(5)先支配2个女生排在男生甲、乙之间，有QUOTE种方法；又甲、乙之间还有QUOTE种排法，这样就有QUOTE·QUOTE种排法，然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，再从这一元素及另3名男生中，任选2人排在首尾，有QUOTE种排法，最终再将余下的2名“男生”、3名女生排在中间，有QUOTE种排法.故总排法数为QUOTE=57600.11.从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？【解析】(1)方法一：把元素作为探讨对象.第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有QUOTE种排法.其次类，含有甲，甲不在首位.先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有QUOTE种排法.依据分步乘法计数原理，有4×QUOTE种排法.由分类加法计数原理知，共有QUOTE+4×QUOTE=2160(种)排法.方法二：把位置作为探讨对象.第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有QUOTE种方法；其次步，从占据首位