2025届高考数学一轮复习单元双优测评卷-第一单元集合与常用逻辑用语B卷含解析

PAGEPAGE18第一单元集合与常用逻辑用语B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则（）A． B． C． D．2．已知集合，，则（）A． B． C． D．3．设集合，，则（）A． B． C． D．4．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．已知集合，则中元素的个数为（）A． B． C． D．6．已知，，，则（）A．或 B．C．或 D．7．下列说法错误的是（）A．“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”B．“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”C．“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的必要不充分条件D．“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件8．命题对随意，，则命题的否定是（）A．当时，B．存在，使得C．存在，使得D．当时，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若非空集合G和G上的二元运算“”满意：①，；②，对，：③，使，，有；④，，则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是（）A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算C．集合(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算D．集合，“”为求两整数之和被7除的余数10．已知集合，，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或11．下列叙述中正确的是（）A．若则“"的充要条件是“”B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件C．若则“对恒成立"的充要条件是“”D．“”是“”的充分不必要条件12．设集合，则对随意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是________．14．已知集合U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={1，2}，则∁U(A∪B)=___________.15．已知集合，集合，若，则=_______16．设A是非空数集，若对随意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：①若A具有性质P，则A可以是有限集；②若具有性质P，且，则具有性质P；③若具有性质P，则具有性质P；④若A具有性质P，且，则不具有性质P.其中全部真命题的序号是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知，，，记，用表示有限集合的元素个数.（I）若，，，求；（II）若，，则对于随意的，是否都存在，使得？说明理由；（III）若，对于随意的，都存在，使得，求的最小值.18．已知，，其中.（1）若，则是的什么条件?（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.19．在①，②函数的图象经过点，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题：已知集合，，且_________，求.20．已知集合，，.（1）求，：（2）若，求实数m的取值范围.21．设为正整数，若满意：①；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合.（1）设，若具有性质，写出一个及相应的；（2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不行能，说明理由；（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满意的有偶数个.22．已知数集.假如对随意的i，j(且)，与两数中至少有一个属于A.则称数集A具有性质P.（1）分别推断数集是否具有性质P，并说明理由：（2）设数集具有性质P.①若，证明：对随意都有是的因数；②证明：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设可得，故，故选：B.2．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得：，即.故选：B.3．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由交集的定义结合题意可得：.故选：D.4．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】由题，当数列为时，满意，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的状况，是冲突的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．5．已知集合，则中元素的个数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，集合中的元素有：、、、、、、、、、、、、，共个.故选：D.6．已知，，，则（）A．或 B．C．或 D．【答案】A【解析】因为或，所以或.故选：A.7．下列说法错误的是（）A．“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”B．“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”C．“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的必要不充分条件D．“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件【答案】C【解析】依据命题“若p则q”的逆否命题为“若则”，可知“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”，即A正确；依据全称命题的否定是特称命题可知，“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0，即B正确；不等式x2﹣2x﹣3＞0的解为x＜﹣1或x＞3，故“x＞3”可推出“x2﹣2x﹣3＞0”，但“x2﹣2x﹣3＞0”推不出“x＞3”，即“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，C错误，“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件，D正确.故选：C.8．命题对随意，，则命题的否定是（）A．当时，B．存在，使得C．存在，使得D．当时，【答案】B【解析】由全称命题的否定可知，命题的否定为：存在，使得.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若非空集合G和G上的二元运算“”满意：①，；②，对，：③，使，，有；④，，则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是（）A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算C．集合(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算D．集合，“”为求两整数之和被7除的余数【答案】BCD【解析】A．时，不满意③，若，则由得，若，则在中设，由得，所以不能构成群；B．G为正有理数集，①随意两个正有理数的积仍旧为正有理数，②明显，对随意，，③对随意正有理数，也是正有理数，且，即，④有理数的乘数满意结合律，B中可构造群；C．(i为虚数单位)，①可验证中随意两数（可相等）的乘积仍旧属于；②，满意随意，有；③，满意随意，存在，有，实质上有；④复数的乘法运算满意结合律，C中可构造群；D．，①随意两个整数的和不是整数，它除以7的余数肯定属于，②，满意对随意，，③，，，除以7余数为0；④加法满意交换律，又除以7的余数等于除以7的余数加除以7的余数的和再除以7所得余数，因此，，D中可构造群；故选：BCD．10．已知集合，，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或【答案】ABC【解析】，若，则，且，故A正确.时，，故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．11．下列叙述中正确的是（）A．若则“"的充要条件是“”B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件C．若则“对恒成立"的充要条件是“”D．“”是“”的充分不必要条件【答案】BD【解析】对于A，因为可得，当，时，有，所以若则“"是“”的充分不必要条件，故A错；对于B，方程有一个正根和一个负根，则，整理得，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；对于C，当时，“对恒成立"的充要条件是“”，故C错；对于D，当“”是“”成立，当“”得“或”，故“”是“”的充分不必要条件，D正确．故选：BD12．设集合，则对随意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有A． B． C． D．【答案】ABD【解析】∵，∴.∵，∴.∵，∴.若，则存在使得，则和的奇偶性相同.若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.故选ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】由题意知“”为真命题，所以，解得0＜a＜3．故答案为：.14．已知集合U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={1，2}，则∁U(A∪B)=___________.【答案】{﹣2，3}【解析】解：∵U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={1，2}，∴A∪B={﹣1，0，1，2}，∁U(A∪B)={﹣2，3}.故答案为：{﹣2，3}.15．已知集合，集合，若，则=_______【答案】4；【解析】因为，所以，因为集合，集合，所以，故答案为：4.16．设A是非空数集，若对随意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：①若A具有性质P，则A可以是有限集；②若具有性质P，且，则具有性质P；③若具有性质P，则具有性质P；④若A具有性质P，且，则不具有性质P.其中全部真命题的序号是___________.【答案】①②④【解析】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确；对于②，取，则，，，，又具有性质P，，，，所以具有性质P，故②正确；对于③，取，，，，但，故③错误；对于④，假设具有性质P，即对随意，都有，即对随意，都有，举反例，取，，但，故假设不成立，故④正确；故答案为：①②④四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知，，，记，用表示有限集合的元素个数.（I）若，，，求；（II）若，，则对于随意的，是否都存在，使得？说明理由；（III）若，对于随意的，都存在，使得，求的最小值.【答案】（I），或，或；（II）不肯定存在，见解析；（III）11.【解析】（I）若，则，其中，否则，又，，，则相差2，所以，或，或；（II）不肯定存在，当时，，则相差不行能1，2，3，4，5，6，这与冲突，故不都存在T.（III）因为，故集合A中的元素的差的肯定值至多有10种，当时，结论都成立；当时，不存在，，使得A中随意两个元素差不同，所以当时，结论成立；当时，若，则不存在T，所以的最小值为11.18．已知，，其中.（1）若，则是的什么条件?（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）充分不必要条件；（2）.【解析】关于由，解得，关于由，，解得，（1）当时，,则，，是的充分不必要条件；（2）是的充分不必要条件，是的充分不必要条件由（1），，则或或故实数的取值范围.19．在①，②函数的图象经过点，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题：已知集合，，且_________，求.【答案】选择见解析；.【解析】选择①，因为，所以，又因为，所以.因为，所以.选择②，将的坐标代入，解得，故，因为，所以.选择③，且，解得或（舍去），故.因为，所以.20．已知集合，，.（1）求，：（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）；（2）因为，所以.当时，，即；当时，，即综上，21．设为正整数，若满意：①；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合.（1）设，若具有性质，写出一个及相应的；（2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不行能，说明理由；（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满意的有偶数个.【答案】（1）答案见解析（2）不存在，理由见解析（3）证明见解析【解析】（1），；，；，；；，.（2）假设存在和均具有性质，且，则，因为与同奇同偶，所以与同奇同偶，又因为为奇数，为偶数，这与与同奇同偶冲突，所以假设不成立.综上所述：不存在具有性质的和，满意.（3）不妨设与构成一个数表，交换数表中的两行，可得数表，调整数表各列的依次，使第一行变为，设其次行变为，令，则具有性质，且，假设与相同，则，不妨设，，则有，故，因为，所以，因为，所以，与冲突.故对于具有性质的，若具有性质，且，则存在一个具有性质的，使得，且与不同，并且由的构造过程可以知道，当，确定时，唯一确定，由也仅能构造出.所以满意的有偶数个.22．已知数集.假如对随意的i，j(且)，与两数中至少有一个属于A.则称数集A具有性质P.