初中数学因式分解及其应用考点方法考题解析

初中数学因式分解及其应用考点方法考题解析考点·方法·破译1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；2．因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；3．因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；4．竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待定系数法等方法、另外形如的多项式，当p＝a＋b，q＝ab时可分解为（x＋a）（x＋b）的形式；5．利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.经典·考题·赏析【例１】⑴若是完全平方式，则k＝______________⑵若是完全平方式，则k＝______________【解法指导】形如的形式的式子，叫做完全平方式.其特点如下：⑴有三项；⑵有两项是平方和的形式；⑶还有一项是乘积的2倍，符号自由.解：⑴是完全平方式，∴∴；⑵是完全平方式，∴∴【变式题组】01．若是一个完全平方式，则k＝________02．若，求x、y的值.03．若，求a、b的值.04．（四川省初二联赛试题）已知a、b、c满足，求的值.【例2】⑴（北京）把分解因式，结果正确的是（ ）A． B． C． D．⑵（杭州）在实数范围内分解因式＝____________⑶（安徽）因式分解＝_______________【解法指导】分解因式的一般步骤为：一提，二套，三分组，四变形解：⑴⑵⑶【变式题组】⑴ ⑵⑶ ⑷⑸【例3】要使二次三项式在实数范围内能进行因式分解，那么整数P的取值可能有（ ）A．2个B．4个 C．6个 D．无数多个【解法指导】由可知，在整数范围内分解因式，p为的积为整数，∴p有无数多个，因而选D【变式题组】⑴已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（ ）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个⑵在1~100间，若存在整数n，使能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n有__个【例4】分解因式：⑴⑵⑶⑷2121－3－4【解法指导】解：⑴∴⑵⑶设，则原式可变为∴原式＝3－23－2⑷【变式题组】01．分解因式：⑴ ⑵⑶ ⑷⑸【例5】⑴（上海竞赛试题）求方程的整数解；⑵（希望杯）设x、y为正整数，且，求xy的值【解法指导】⑴结合方程的特点对其因式分解，将不定方程转化为方程组求解；⑵将等式左边适当变形后进行配方，利用x、y为正整数的特点，结合不等式求解.解：⑴，，，∴，∵x、y都是整数∴∴，∴方程的整数解为，⑵，，，∵∴∵x为正整数，∴x＝1，2，…，10，又∵是平方数，∴x＝6或8当x＝6时＝64，y＝6，当x＝8时＝36，y＝4，∴xy＝36或32【变式题组】01.设x、y是正整数，并且，则代数式的值是___________02.（第二届宗沪杯）已知a、b为整数，则满足a＋b＋ab＝2008的有序数组（a，b）共有__________03．（北京初二年级竞赛试题）将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（ ）A．16种B．14种 C．12种 D．10种04．方程的正整数解的个数为（ ）A．0个B．1个 C．2个 D．不少于3个05．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数：如果加上168则是另外一个完全平方数，求这个正整数.【例6】已知k、a都是正整数，2004k＋a、2004（k＋1）＋a都是完全平方数⑴请问这样的有序正整数（k、a）共有多少组？⑵试指出a的最小值，并说明理由.解：⑴①②，这里m、n都是正整数，则故注意到，、奇偶性相同，则，解得，当n＝502，m＝500时，由①得2004k＋a＝250000，所以③由于k、a都是正整数，故k可以取值1，2，3，…，124，相应得满足要求的正整数数组（k、a）共124组当n＝170，m＝164时，由①得2004k＋a＝26896所以④由于k、a都是正整数，故k可以取值1，2，3，…，13，相应得满足要求的正整数数组（k、a）共13组从而，满足要求的正整数组（k、a）共有124＋13＝137（组）⑵满足式③的最小正整数a的值为1504