第5讲复数原卷版

第5讲复数【复习目录】一、复数的四则运算二、共轭复数三、求复数的模四、求复数的实部与虚部五、复数的相等六、已知复数的类型求参数七、判断复数对应的点所在象限八、根据复数的坐标写出对应的复数九、根据复数对应坐标的特点求参数十、由复数模求参数十一：复数的综合问题【知识归纳】1．复数的有关概念(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).【题型归纳】题型一、复数的四则运算1．（2223高一下·湖北恩施·期末）已知复数满足（是虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．（2223高一下·安徽亳州·期末）已知为虚数单位，复数满足，则（

）A． B． C． D．3．（2223高一下·广西北海·期末）已知复数满足（是虚数单位），则（

）A． B． C． D．题型二、共轭复数4．（2223高一下·湖南长沙·期末）已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部是（

）A．1 B． C． D．5．（2223高一下·广东阳江·期末）设，是虚数单位，若复数与互为共轭复数，则复数的模等于（

）A． B． C． D．6．（2223高一下·内蒙古包头·期末）已知复数z满足，则z的共轭复数（

）A． B． C． D．题型三、求复数的模7．（2223高一下·福建三明·期末）已知为虚数单位，复数z满足，则（

）A． B．2 C． D．18．（2223高一下·浙江金华·期末）已知是虚数单位，复数与的模相等，则实数的值为（

）A． B． C．±11 D．119．（2223高一下·江苏南京·期末）已知复数z满足,则复数z的实部为（

）A． B． C． D．题型四、求复数的实部与虚部10．（2223高一下·云南大理·期末）若复数满足，则关于复数的说法正确的是（

）A．复数的实部为 B．复数的虚部为C．复数的模长为 D．复数对应的复平面上的点在第一象限11．（2223高一下·重庆沙坪坝·期末）若复数（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．112．（2022·广东梅州·二模）复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．题型五、复数的相等13．（2223高一下·河南开封·期末）已知复数，且，其中为虚数单位，则（

）A． B． C． D．14．（2223高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内（1）如果，则；（2）若，则；（3）；

（4）；正确的命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．315．（2223高一下·山西阳泉·期末）已知复数，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型六、已知复数的类型求参数16．（2223高一下·新疆省直辖县级单位·期末）若复数为纯虚数，则实数（

）A．1 B．2 C． D．17．（2223高一下·重庆沙坪坝·期末）已知为虚数单位，复数为纯虚数，则（

）A． B．2 C． D．418．（2223高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．题型七、判断复数对应的点所在象限19．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知复数，为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限20．（2223高一下·黑龙江大庆·期末）已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限21．（2223高一下·辽宁·期末）棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：．根据复数乘方公式，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型八、根据复数的坐标写出对应的复数22．（2223高一下·重庆渝中·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是坐标原点，则向量对应的复数为．23．（2122高一下·上海浦东新·期末）在复平面内，复数对应点的坐标为，则.24．（1920高一·全国）已知i是虚数单位，设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是，，则点C对应的复数是.题型九、根据复数对应坐标的特点求参数25．（2223高一下·贵州安顺·期末）若复数（为虚数单位，）对应的点在第二象限，则的取值范围是.26．（2223高一下·江西九江·期末）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是．27．（2122高一下·甘肃兰州·期末）在复平面内，复数对应的点位于直线上，则.题型十：由复数模求参数28．（2223高一下·上海长宁·期末）已知复数的模为，则实数．29．（2223高一下·广东佛山·期末）设复数、，满足，，则．30．（2223高一下·北京东城·期末）已知为复数，且，写出满足上述条件的一个复数；的最大值为．题型十一：复数的综合问题31．（2223高一下·天津·期末）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.(1)求实数的值；(2)设复数，求；(3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.32．（2223高一下·福建福州·期末）已知复数．(1)若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；(2)若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为A，B，求线段AB的长度．33．（2223高一下·江苏南京·期末）若定义一种运算：.已知为复数，且.(1)求复数；(2)设为实数，若为纯虚数，求的最大值.【专题强化】一、单选题34．（2223高一下·上海奉贤·期末）是复数为纯虚数的（

）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件35．（2223高一下·山西大同·期末）已知复数满足，则（

）A． B． C． D．36．（2223高一下·新疆喀什·期末）设复数，则的共轭复数的模为（

）A．7 B．1 C．5 D．2537．（2223高一下·天津红桥·期末）是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为（

）A． B． C． D．38．（2223高一下·辽宁葫芦岛·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限C． D．的最大值为139．（2223高一下·黑龙江·期末）设复数z满足，则（

）．A． B． C． D．40．（2223高一下·山东青岛·期末）对于下列四个命题：①满足的复数只有、；②若、，且，则是纯虚数；③复数的充要条件是；④在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．其中真命题的个数为（

）A． B． C． D．41．（2024·江苏·模拟预测）若复数，则的最大值是（

）A． B． C． D．42．（2324高一下·福建福州·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．复数为实数B．对应的点位于第二象限C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为D．二、多选题43．（2324高一下·福建莆田·期中）设，，为复数，，下列命题中正确的是（

）A．若则 B．若则C．若则 D．44．（2324高一下·吉林长春·期中）设，，为复数，下列命题中正确的是（

）A．若，则且B．若，则的最小值为C．若，则D．若，则45．（2324高一下·重庆·期中）已知复数的共轭复数记为，对于任意的两个复数，，与下列结论错误的是（

）A．若复数，则其对应复平面上的点在第二象限B．若复数满足，则C．D．46．（2223高一上·湖南长沙·期末）已知i为虚数单位，，.则下列选项中正确的有（）A．B．C．D．在复数范围内为方程的根47．（2223高一下·湖南湘西·期末）已知是虚数单位，若，则（

）A．复数的虚部为； B．复数对应的点在第二象限；C．； D．复数是关于的方程的一个根.三、填空题48．（2024·山西临汾·三模）已知复数满足：，则．49．（2324高一下·河南郑州·期中）已知复数，，并且，则．50．（2122高一下·全国·期末）若复数为纯虚数，则实数.51．（2223高一下·河南郑州·期中）已知复数和满足，且，则的最小值是．四、解答题52．（2324高一下·浙江宁波·期中）已知复数，，（，是虚数单位）．(1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；(2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值；(3)若，且是实数，求实数的值．53．（2223高一下·贵州黔东南·期末）已知复数，．(1)若，求；(2)若是纯虚数，求的值．54．（2223高一下·河北石家庄·期末）已知复数，，其中是实数.(1)若，求实数的值；(2)若是纯虚数，求.55．（2223高一下·江西抚州·期末）已知复数是方程的一个虚根（是虚数单位，）．(1)求；(2)复数，若为纯虚数，求实数的值．56．（2223高一下·辽宁锦州·期末）已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且.(1)若为纯虚数，求；(2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；②若O，A，B三点不共线