本册综合测试（基础）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】本册综合测试（基础）单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2022·福建泉州·高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则公差为（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】B【解析】由，则，∴公差.故选：B.2．（2022·河北·石家庄二中实验学校高二阶段练习）在等比数列中，是方程的根，则的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】因为在等比数列中，是方程的根，所以，所以，由等比数列的性质得，所以，所以，故选：B3．（2022·河南·商水县实验高级中学高二阶段练习（理））已知，是f（x）的导函数，则（

）A．0 B． C． D．1【答案】B【解析】函数的导数为，则.故选：B.4．（2022·全国·高二课时练习）已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数∴f′（x）＝3x2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立．即a≤3x2∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立∴a≤3∴a的最大值是3故选D．5．（2022·河北·石家庄二中实验学校高二阶段练习）已知函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，则a+b的值为（

）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3【答案】A【解析】由f（x）=alnx+bx2，得2bx，∵函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，∴，解得.∴a+b=﹣2.故选：A.6．（2022·全国·高二专题练习）已知等差数列的前项和为满足，则数列的前项和为

A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知可得，即，解得，故的通项公式为，综上所述，答案为，，从而的前项和，所以，，故选B．7．（2022·江苏省）已知和分别是函数的两个极值点，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】定义域为R，，要想函数有两个极值点，则要有两个零点，且在零点两侧，单调性相反，令，得，令，定义域为R，则，当时，，当，，故在上单调递增，在上单调递减，故在取得极大值，也是最大值，，且当时，恒成立，当时，恒成立，画出图象如下：故，即，其中，因为，所以，故，解得：，故，满足要求.故选：C8．（2022·河南商丘）已知函数，是其导函数，，恒成立，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，所以，故A错误；因为，所以，又，所以，故B错误；因为，所以，，即，，因为，所以，，故C错误，D正确．故选：D二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2022·甘肃）若为等差数列，，则下列说法正确的是（

）A．B．是数列中的项C．数列单调递减D．数列前7项和最大【答案】ACD【解析】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，由，得，故B错误，因为，所以数列单调递减，故C正确，由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.故选：ACD10．（2022·江苏连云港）如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（

）A．在上是增函数B．当时，取得极小值C．在上是增函数，在上是减函数D．当时，取得极小值【答案】BC【解析】由图象知，当上，恒成立，即在上单调递减，A项错误；又当时，恒成立，即在上单调递增，所以当时，取得极小值，B项正确；当时，恒成立，即在上单调递减，C项正确；当时，恒成立，即在上单调递减，所以D项错误.故选：BC.11．（2022·黑龙江齐齐哈尔）已知函数的图象在点处的切线的斜率为2，则（

）A． B．有两个极值点C．有2个零点 D．有1个零点【答案】ABD【解析】，由题得，，，故A正确，，，令，或，令，即，，令，则或，在上单调递增，在上单调递减，在取得极大值，在取得极小值，故有两极值点，故B正确，又，，则且在上单调递增，且图像连续不断，故在上有一零点，而，则其无其他零点，大致图像如图所示：故C错误，D正确.故选：ABD.12．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期中）已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（

）A．数列是等比数列 B．数列是等差数列C． D．【答案】ACD【解析】当时，，所以，当时，，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，.故选：ACD.三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（上海市松江区2021-2022学年高二下学期期末数学试题）等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的值为_____.【答案】5或6【解析】设等差数列的公差为，，解得，所以，由，解得，所以取得最大值时的值为5或6.故答案为：5或614．（2022·上海崇明·高二期末）已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数的值等于___________．【答案】【解析】因为，所以，所以，又，所以在处的切线方程为：，又切线方程过原点，把代入得，解得：．故答案为：.15．（2022·广西贵港）若函数的导函数为偶函数，则曲线在点处的切线方程为____________．【答案】（或）【解析】因为为偶函数，所以，解得，则．又，故曲线在点处的切线方程为，即．故答案为：．16．（2022·河南）已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】①当时，，②当时，，∴当时，，数列递减，综上所述，若使为递减数列，只需满足，即，解得，故答案为：.四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022·黑龙江）已知{an}是各项均为正数的等比数列，，．(1)求{an}的通项公式；(2)设，求数列{bn}的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）是各项均为正数的等比数列，设等比数列的公比为，由，，得，即，解得（舍或．；（2），，，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列的前项和．18．（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以当时，，当时，，故，经检验，满足，所以.（2）由（1）得，所以，则，两式相减，得，所以.19．（2023·广东广州）已知函数，其中，若的图象在点处的切线方程为．(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的最值．【答案】(1)(2)最大值为，最小值为.【解析】（1）依题意，，切点在切线上，则，，而的图象在点处的切线斜率为，，解得得，所以函数的解析式为.（2）由（1）知，，由得或，当时，或，有，，有，因此函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，，所以在上的最大值为，最小值为.20．（2022·广东）已知函数，．(1)求函数的单调区间和极值；(2)若函数有2个零点，求实数的取值范围．【答案】(1)函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为，函数的极大值为，函数的极小值为；(2).【解析】（1）由题意，函数可得，

当，时，；当，时，；当时，，所以函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为，

函数的极大值为，函数的极小值为；（2）函数的定义域为，

则，

令，则，所以，函数在上为增函数，且．①当时，即当时，对任意的恒成立，所以函数为上的增函数，则函数在上至多只有一个零点，不合乎题意；

②当时，即当时，则存在使得，当时，，此时，则函数在上单调递减，当时，，此时，则函数在上单调递增，

由于函数有两个零点，当时，；当时，．可得，可得，解得．21．（2022·山东）设正项数列满足，且.(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，求证：数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）因为，所以，又，故，所以是首项为，公差为的等差数列，故，则，因为数列是正项数列，所以.（2）由（1）得，当时，；当时，，所以；综上：.2