第二章电阻电路分析的基本方法

第二章电阻电路分析的基本方法本章以直流电路为研究对象，讨论电路的几种普遍的分析、计算方法。包括等效变换、支路电流法、结点电位法、叠加原理和戴维南定理等。这些方法可统称为网络方程法；它是以电路元件的伏安关系和基尔霍夫定律为基础的，选择适当的未知变量，建立一组独立这些电阻电路的分析计算方法只要稍加扩展，即可用于交流电路的分析计算，所以本如果电路只有一个输入端口或输出端口，则这个电路称为单口网络或二端网络。若二端网络内部含有电源，则称为有源二端网络。若内部不含电源，则称为无源二端网络。如图2-1(a)所示为一个有源二端网络，a、b为此网络的输出端点。图2-1(b)所示为无源二端网络是由电阻元件组成的。在它内部，电阻的连接可能很复杂，但对外部电路来说，可以用一个等效电阻来代替它。这个电阻就称为这一无源二端网络的等效电阻。这里，“等效”是对外部电路来说。如图2-1(b)中虚线框内的四个电阻，可以用一个等效电阻来代替它们，只要端口上的U、I不变，则对虚线以外的电路来说是等效的，因为它不影响虚线以外的任何电路。但对虚线框内部，也就是说对无源二端网络内部并不等效。电路原是四个电阻组成，现只有一个电阻，电路的结构、参数完全不同，不可能等效。所(一)串联电阻的等效化简所谓串联就是两个或多个元件首尾相联接流过同一电流。如图2-2(a)所示为两个电阻R₁、R₂串联，可以用等效电阻R代替它们，如图2-2(b)所示，只要R满足如下关图2-2电阻的串联上式表明，串联电阻的等效电阻值总是大于其中任一个电阻(二)分压公式在电工技术中常常遇到把总电压分为若干个分电压的问题，方法之一是用电阻来串联。在图2-2(a)中，根据KVL有串联电路中，电流相等。所以，两个电阻上的电压U₁和U₂分别为从式2-4可知，分电压U₁和U₂与电阻值R₁、R₂成正比，阻值较大的电阻承受较高串联电阻的分压作用在电工技术中应用很广泛。例如电子线路中的信号分压；电压表例2.1.1已知有一表头的内阻Rg=1kΩ,允许通过的最大电流(指针偏至满刻度)Ig=0.1mA问：(1)直接用这个表头可测量多大的电压?(2)欲使量程扩大为10V,则应串联多大的电阻?解：电压表的使用方法是并联于被测电路Ux上的(见图2-3),表头满刻度时，表头Ug=IgRg=0.1×10-³×1×10³=欲使量程扩大为10v,可根据串联电阻分压原理，串入电阻Rf并使Rf两端的电压为由此可知，电压表的量程愈大，则分压电阻Rf也愈大。电压表的等效内电阻是很大的。(一)并联电阻的等效化简R代替它们，如图2-4(b)所示，只要R满足下列关系即可：若n个电阻并联，则有(二)分流公式根据欧姆定律可得出总电流与各支路电流的关系。在图2-4(a)所示的电路中，式2-7是两个电阻并联时的分流公式，它表明通过并联电阻的电流大小与电阻值成反比，并联电阻中阻值愈小的将从总电流中分图2-4电阻的并联在实际中，同一电压等级的用电器是并联在该电压的电源上使用的。在电源电压不变的条件下，并联的负载愈多，即负载愈大，图2-4电阻的并联有时为了某种需要，可将电路中的某一段与电阻或变阻器并联，例2.1.2用例2.1.1的表头(Ig=0.1mA,Rg=1kΩ)制成毫安表，欲使量程扩大为100mA,问应并联阻值为多大的电阻?解：要扩大表头测量电流的量程，须在表头上并联相应的分流电阻，如图2-5所示。图中I为被测电流，分流电阻的电流为Ir。由于并联支路承受同一电压U,故有IgRg=IyRf而欲使电流表量程为100mA,应并联的电阻阻值Rf为由此可知，电流表量程愈大，并联的分流电阻则愈小。因此，电流表的等效内阻是很小的。所以测量电流时，必须把电流表串联接在电路中，如果错接成并联，则电流表里会三、电阻的混联一个电路中的电阻，既有串联又有并联，这样的联接方式称为混联。实际上，不管混为一个等效电阻，即从远离所求端开始等效；而计算各支路电流、电压，又应从前到后，例2.1.3计算图2-6a所示电阻电路的等效电阻R,并求电流I和I₅。II图2-6例2.1.3的图解：(1)按电路结构，根据电阻串联与并联的特征，看清哪些电阻是串联的，哪些是并联的。在图2-6(a)中，R1与R2并联，得R12=1QR3与R4并联，得R34=2Q因而简化为图2-6(b)所示的电路。在这图中，R34与R₆串联，而后再与R₅并联，得R3456=2Q,再简化为图2-6(c)所示的电路。由此最后简化为图2-6(d)所示的电(2)由图2-6(d)得出(3)式(2-4)和式(2-7)分别为两个电阻串联的分压公式和两个电阻并联的分流公式。这两个公式在分析与计算电路时很有用处。在图2-6(c)中，§2-2支路电流法前面已经说过，凡是能够用电阻串、并联等效变换公式将电路化简、并且用欧姆定律求解的电路都是简单电路；反之，则为复杂电路。复杂电路的分析与计算的主要内容是：给定网络的结构、电源及元件的参数，要求计算出网络里各个支路的电流及电压、还有时不管实际电路如何复杂，它都是由节点和回路组成的，它的各支路电流、各部份电压之间必定遵循基尔霍夫的两个定律。而对于一段线性电阻电路来说，其电流和端电压之间图2-7支路电流法必定符合欧姆定律。所以我们分析与计算线性网络的理论基础和基本工支路电流法是以支路电流为未知量，根据KCL和KVL列出电路中下面就以图2-7所示电路为例，说明支路电流法的要点。然后，图2-7所示电路不属于电阻的串、并联电路，不可能用串、并联这个复杂电路有两个结点a和b,三条支路，两个网孔。为应用KCL和KVL,需先假定所求量I、Io和U的参考方向，并标注于图中。然后，结点aI0=IS+I结点bIS+I=I0注意到这两个结点电流方程是完全一样的，即其中只有一个方程是独立的，一般地说，对具有n个结点的电路，应用KCL电流定律只能得到(n-1)个独立方程。列KVL方程：绕行方向取顺时针方向，并于图中标出。事实上，在图中还有另外一个回路aUsRblsa,取顺时针绕行方向，其KVL方程为但是，上述三个回路电压方程只有两个是独立的，第三个方程可以得到，是不独立的，所以也无需列出。一般地说，对具有n个结点b条支路的电路，应用KVL电压定律可以得到[b-(n-1)]个独立方程。二、解题步骤例2.2.1电路如图2-8所示。电动势E₁=140V、E₂=90V,电阻R₁=202、R₂=5Ω、图2-8支路电流法举例R₃=62。要求计算R₃所在支路电压U₃。本题是已知电源电动势及所有电阻阻值，求解的是支路电压U3及功率。2.定出所求各量的参考方向，并于图中标出，注意U₃与I₃取关联两个结点，可列出一个独立的KCL方程按照网孔列KVL方程，均取顺时针方向为绕行方向。网孔abEja4.联立求解，可得I₁=4A、I₂=6A、I₃=10A。三个电流均为正值，表明电流的实际方§2-3结点电压法图2-9所示的电路是具有两个结点a和b、四条支路的复杂电路，这类少结点多支路的电路特别适合于采用结点电压法。结点间的电压U称为结点电压，现结合图2-9所示1.选一个结点作为参考结点，则其余结点对参考结点的电压就是所需求的未知量。通图2-9具有两个结点的复杂电路2.标出各支路电流的参考方向，根据基尔霍夫电压定律[参照图1-36b]或欧姆定律用相应由上式(2-8)可见，在已知电动势和电阻的情况下，只要先求出结点电压U,就可3.参考结点以外的各结点可应用基尔霍夫电流定律得出。在图2-9中，将式(2-8)代入上式，则得式(2-9)是求解只有二个结点的电路中结点电压的公式，它是结点电压法的特例。支路中电动势与该支路电阻比值的代数和，也就是各含源支路的等等效电流源的电流是流入结点a的，则该支路的为正，反之为负。公式分母是各支路电例2.3.1用结点电压法计算例2.2.1。解：图2-8所示的电路也只有两个结点a和b。结点电压为例2.3.2计算图2-10所示电路中A点和B点的电位。C点为参考点(VC=0)。解：图2-10所示的电路有三个结点，设其中一个为参考点，则其他两个结点的电位应用基尔霍夫电流定律对结点A和B列方程图2-10例2.3.2的电路VA=+10VVB=+20V§2-4叠加原理叠加原理是线性电路的一个重要的基本性质，是构成其它网络理论的基础，它说明了在线性电路中各个电源作用的独立性。正确掌握叠加原理将能使我们进一步加深对线性电图2-11叠加原理一、叠加原理的内容叠加原理的内容是：在多个电源共同作用的线性电路图2-11(a)所示的电路中，恒流源Is与电压源E共同作用在电阻R上，产生电流I。这个电流分别是由恒流源Is单独作用时在R上产生的电流I′[如图2-11(b)所示]和电压源E单独作用时在R上产生的电流I”[如图2-11(c)所示]的代数和，即I=I′+I”。(一)电源单独作用即两端电压为零，把恒压源两端视为“短路”即可[见图2-11(b)],恒流源取零值时即电流为零，把恒流源视为“开路”即可[见图2-11(c)]。但应注意，电压源、电流源的内阻(二)代数和中的正负值电压或分电流与总电压或总电流方向一致时取正值，方向相反时取负值。在图2-11中，定正方向也是从a指向b,与I的方向相同。所以求代数和时I=I'+I”。假若I"的假定正方图2-12例2.4.1的电路例2.4.1用叠加原理计算图2-12所示电路中各支路电流。已知E₁=10V,E₂=6V,R₁=10Ω,R₂=90Ω,R₃=0.1Ω,解：图2—12中，根据叠加原理，绘出E₁和E2单独作用时的电路，如图2-12(b)、(c)所示。根据图(b)可求出E₁单独作用时各支路的电流，即根据图(c)求出E₂单独作用时各支路的电流，即§2-5戴维南定理与诺顿定理在一个有源网络中，若只需求某一支路的电压、电流、功率，则可以把需求支路从网络中分离出来，网络的剩余部分就是一个有源二端网络。任何一个由电阻和电源组成的线性二端网络均可以用一个电压源来等效它。戴维南定理就是说明这种线性有源二端网络等定理的内容：任何一个线性有源二端网络对于外电路来说，可用一个等效电压源来代替(如图2-13所示)。等效电压源的电动势E等于有源二端网络输出端开路时的输出电压Uo;内电阻Ro等于二端网络内部所有独立电源为零值时在网络输出端的等效电阻。a ba b图2-13戴维南定理在图2-14中，N代表有源二端网络，a、b为输出端，No表示N中所有独立电源为零值时(即恒压源短路、恒流源开路)所得的无源二端网络。图2-14(a)中的Uo是输出端开路时的输出电压，也称为“开路电压”,它不同于图2-13中接有R时的Uab。图2-13b中的等效电压源表示的电路也称为戴维南等效电路，其中等效电压源的内电b图2-15例2.5.1的电路例2.5.1在图2-15电路中，已知E₁=140V,E₂=90V,R₁=20Ω,R₂=50,R₃=6Ω。求流过R₃的电流I₃。解：根据戴维南定理，电路中除电阻R₃以外，其余部分(虚线框内部分)构成有源二路中分离出来，如图2—15b所示，求图中的Uo。中电源取零值，即恒压源短路，恒流源开路。这样便得到一个无源二端网络，如图2—15 并联、混联的方法；也可先求出ab端的短路电流Is[把图2-15(b)中a、b端短路]和输根据图2-15c可以求得：第三步，绘出戴维南等效电路，如图2-21d所示，再求出I₃。绘制戴维南等效电路时，要注意E的极性，应与第一步中Uo的正方向相符合。故图2还应强调，以上的变换只是对R₃支路来说是等效的，对虚线框内被变换部分的电路本身并不等效，故不能用图2-15电路来计算R₁或R₂支路的电流。例2.5.2在图2-16a的桥式电路中，已知Us=10V,Is=2A,R₁=8Ω,R₂=4Ω,R₃=6Ω,R₄=2Ω。求流过R₁的电流I。(1)求等效电源电动势E,把R₁从电路中除去，计算余下的有源二端网络的开路电压Uo,如图2-16(b)所示。可求得(2)求等效电源内电阻Ro,如图2—16(c)所示。(3)由戴维南等效电路求I,如图2-16d所示。一个有源二端网络可以通过戴维南定理用一个电压源来等效，也可以应用诺顿定理用诺顿定理：任何一个线性有源二端网络，对于外电路来说，可以用一个等效电流源来代替，等效电流源的电激流Is等于有源二端网络输出端短路时的输出电流，内电阻Ro等于有源二端网络内部所有独立电源为零值时在网络输出端的等效电阻，如图2-17所示。图2-17诺顿定理例2.5.3用诺顿定理计算例2.5.1中的支路电流I₃。解：图2-15(a)的电路可化为图2-18所示的等效电路。等效电源的电流Is可由图2-19求得等效电源的内阻R₀同例2.5.1一样，可由图2-15(c)求得§2-6最大功率传输定理实际中许多电子设备所用的电源，无论是直流稳压源，还是各种波形的信号发生器，其内部电路结构都是相当复杂的，但它们在向外供电时都是引出两个端子接到负载。可以说它们就是一个有源二端网络。当所接负载不同时，二端网络传输给负载的功率也就不同。现在我们讨论对给定的有源二端网络，当负载为何值时网络传输给负载的功率最大呢?负载所能得到的最大功率又是多少呢?为了回答这两个问题，我们将有源二端网络等效成戴维南电源模型，如图2-20所则电源传输给负载R的功率则电源传输给负载R的功率由上式可知，当RL=RO时PL有极大值。所以有源二端网络传输给负载的最大功率条件是，负载电阻RL等于网络等效电源内阻RO。将(2—11)式代入(2—10)式即可得到有源网络传输给负载的最大功率为通常，当RL=RO时，称为最大功率匹配。这里应注意，其一不要错误地把最大功率传输定理理解为要使负载功率最大，应使戴维南等效电源内阻RO等于RL。如果RL固定而RO可变的话，则应使RO等于零时(uoc一定)方能使RL上获得功率最大。另一常易产生的错误概念是由线性二端网络获得最大功率时，因为RO与RL消耗的功率相等，所以其功率传递效率为50%。于是就得出一个结论：如果负载功率来自一个只具有内阻RO的电压源，那末负载得到最大功率时的效率确实是50%,但是二端网络和它的等效电路，就内部功率而言一般是不等效的，由等效内阻RO算得的功率一般并不等于网络内部消耗的功率，因此实际上当负载得到最大功率时，其功率传输效率未必是50%。例2.6.1电路如图2-21(a)所示。试求：(1)RL为何值时获得最大功率；(2)RL获得的最大功率；(3)10V电压源的功率传输效率。解：(1)断开负载RL,求得单口网络N₁的戴维南等效电路参数为：如图2-21(b)所示，由此可知当RL=Ro=1Ω时可获得最大功率。(2)由式2-12求得R获得的最大功率路(3)先计算10V电压源发生的功率。当路10V电压源发出37.5W功率，电阻R.吸收功率6.25W,其功率传输效率为%本章小结1.无源二端网络和有源二端网络端口电压电流关系相同的两个网络称为等效网络。网络的等效变换可以将电路化简，而不会影响电路其余部分的电压和电流。一个无源二端网络可等效为一个电阻，该电阻等(1)(1)串联电阻的等效电阻等于各电阻的和，串连电阻上电压的分配与电(2)(2)并联电阻的等效电导等于各电导的和，并联电阻上电流的分配与电2.支路电流法分析、求解电路(1)以b个支路的电流为未知量，列(n-1)个结点的KCL方程；用支路电流表示电阻电压，列[b-(n-1)]个回路的(2)联立求解b个方程，得到支路电流，然后再求其余电压。3.结点电压法求解电路(1)以独立结点电压为未知量，用结点电压表示支路电压、支路电流，列(n-1)个独立结点的KCL方程。(2)联立求解结点方程，得到各结点电压，然后再求其余电压和电流。(3)如果电路中存在电压源与电阻串联的组合，先把它们等效变换为电流源与电(4)弥尔曼定理：结点分析法在单结点偶电路中的应用。先求独立结点的电压，它等于各独立源注入该结点的电流的代数和与该4.叠加原理(1)叠加原理是线性电路中普遍适用的一个重要原理。(2)叠加原理体现了电源的独立作用原理。(4)注意计算某一支路总电流或总电压时各分量正、负符号的处理。(5)叠加原理只适用于线性电路计算电压及电流，不适用于计算功率。戴维南定理和诺顿定理：含独立源的二端网络，对其外部而言一般可用电压源与电阻串联组合或电流源与电阻并联组合等效。电压源的电压等于网络的开路电压Uoc,电流戴维南定理和诺顿定理只适用于线性二端网络，且在只需要计算复杂电路中某一支6.最大功率传输定理由含独立源的二端网络传输给外接可变电阻R的功率为最大的条件是R应与二端网络IOOIO题图2-52-1试估算题图2-1所示两个电路中的电流I。2-2通常电灯开得愈多，总负载电阻愈大还是愈小?题图2-22-3在题图2-2中，R₁=R₂=R₃=R₄=300Ω,R₅=600Ω,试求开关S断开和闭合时a和b之2-4电位器Rp的电阻为