数学-江西省九江市稳派联考 高三上学期开学数学试题（解析版）

数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算化简得，再根据虚部的定义即可求解．【详解】，则所求虚部为.故选：A．2.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.48 B.42 C.24 D.21【答案】B【解析】【分析】利用等差数列项的性质求出的值，再由等差数列的求和公式即可求得.【详解】因为等差数列，故，则.故选：B.3.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可.【详解】依题意，，解得，将数据从小到大排列可得：，又，则分位数为.故选：C.4.定义运算：．已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据定义得出，再根据同角三角函数的商数关系即可求解．【详解】依题意，，则，故.故选：D．5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解法一，求出，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.【详解】解法一：依题意，得，故；解法二：数学成绩在80分至95分的有人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故.故选：B.6.已知函数在R上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.0,4【答案】D【解析】【分析】由函数fx在上单调递减，列出相应的不等式组，即可求解.【详解】当时，，因为和都是减函数，所以在−∞,1上单调递减，当时，，要使其上单调递减，则，所以，解得，故D正确.故选：D.7.已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为，则，则，设圆台的母线长为，则，解得，则圆台的高，记外接球球心到上底面的距离为，则，解得.故选：C.8.已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过联立方程组的方法求得的坐标，然后根据向量数量积运算求得.【详解】依题意，抛物线，即，则，设，直线，联立得，则.而直线，即，令，则，即，令，则，故，则，故.故选：C【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.与有相同的最小值C.直线为图象的一条对称轴D.将的图象向左平移个单位长度后得到的图像【答案】ABD【解析】【分析】对于A：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B：根据解析式可得与的最小值；对于C：代入求，结合最值与对称性分析判断；对于D：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为，对于选项A：的最小正周期，故A正确；对于选项B：与的最小值均为，故B正确；对于选项C：因为，可知直线不为图象的对称轴，故C错误；对于选项D：将的图象向左平移个单位长度后，得到，故D正确.故选：ABD10.已知函数，则（）A.1是的极小值点B.的图象关于点对称C.有3个零点D.当时，【答案】AB【解析】【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性和零点存在定理判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D.【详解】对于A，函数，，令，解得或，故当时f′x>0，当x∈0,1时，f′x则在上单调递增，在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故1是的极小值点，故A正确：对于B，因为，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C，，易知的单调性一致，而，故有2个零点，故C错误；对于D，当时，，而在上单调递增，故，故D错误.故选：AB.11.已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（）A.三棱锥的体积为定值B.动点的轨迹长度为C.不存在点，使得平面D.四面体DEFG体积的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由题意可证平面，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，据此判断A；对于B，根据题意求出正方体边长及的长，由此可知点的运动轨迹；对于C，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，假设点的坐标，求出的方向向量，假设平面，则平面的法向量和的方向向量共线，进而求出点的坐标，再判断点是否满足B中的轨迹即可；对于D，利用空间直角坐标系求出点到平面的距离，求出距离的最大值即可.【详解】对于A，如图，连接、，依题意，，而平面平面，故平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确；对于B，因为正方体的体积为8，故，则，而，故，故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为，故B错误；以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设n=x,y,z为平面的法向量，则故令，故为平面的一个法向量，设，故，若平面，则，则，解得，但，所以不存在点点，使得平面，故C正确；对于D，因为为等腰三角形，故，而点到平面的距离，令，则，则，其中，则四面体体积的最大值为，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用向量的线性运算并由向量垂直的坐标表示列式即可求解.【详解】依题意，，故，解得.故答案为：13.定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，，且，那么称子集族构成集合的一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为__________.【答案】4【解析】【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分.【详解】依题意，，的2划分为，共3个，的3划分为，共1个，故集合的所有划分的个数为4.故答案为：414.已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，由此求出，，即可求出点坐标，代入，即可得出答案.【详解】不妨设点在第一象限，连接，则，故，，设，因为，所以为的中点，，故.，将代入中，故，则.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知中，角所对的边分别为，其中.（1）求的值；（2）若的面积为，周长为6，求的外接圆面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得.（2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积.【小问1详解】由正弦定理得，因为，故，则，因为，故.【小问2详解】由题意，故.由余弦定理得，解得故的外接圆半径，故所求外接圆面积.16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别在棱上，且四点共面.（1）证明：；（2）若，且二面角为直二面角，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明线面平行再应用线面平行性质定理得出，再结合，即可证明；（2）应用面面垂直建系，应用空间向量法求出面面角的余弦值.【小问1详解】因为，故，则，因为平面平面，故平面，而平面平面平面，故，则.【小问2详解】因为二面角为直二面角，故平面平面.而平面平面平面，故平面，又底面为正方形，所以，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，故，设平面的法向量为，则令，可得.设平面的法向量为，则令，可得，故平面与平面夹角的余弦值.17.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上.（1）求的方程；（2）已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得；（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得.【小问1详解】设Fc,0，依题意，解得故的方程为.【小问2详解】如图，依题意F1,0，联立消去，可得，依题意，需使，整理得（*）.因为，则直线的斜率为，则其方程为，联立解得即故，将（*）代入得，故.18.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为，比较的大小关系，并说明理由；（3）若时，，求的取值范围.【答案】（1）（2），理由见解析（3）【解析】【分析】（1）根据导数几何意义，即可求得答案；（2）令，求出其导数，进而求得函数最值，即可得结论；（3）将原问题变为，即在上恒成立，同构函数，利用导数判断函数单调性，结合讨论a的范围，即可求得答案.【小问1详解】依题意，，而，故故所求切线方程为，即.【小问2详解】由（1）知，结论；，下面给出证明：令，则，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，故，即.【小问3详解】依题意得，则在上恒成立，令，则，令，得，故当时，，当时，，故在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，当时，，此时；当时，令，显然在区间上单调递增，又，故存在，使得，则，而，不合题意，舍去.综上所述，的取值范围为.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③分类讨论参数.19.已知首项为1的数列满足.（1）若，在所有中随机抽取2个数列，记满足的数列的个数为，求的分布列及数学期望；（2）若数列满足：若存在，则存在且，使得.（i）若，证明：数列是等差数列，并求数列的前项和；（ii）在所有满足条件的数列中，求使得成立的的最小值.【答案】（1）分布列见解析，1（2）（i）证明见解析，（ii）1520【解析】【分析】（1）根据递推关系化简可得，或写出数列的前四项，利用古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i）假设数列中存在最小的整数，使得，根据所给条件可推出存在，使得，矛盾，即可证明；（ii）由题意可确定必为数列中的项，构成新数列，确定其通项公式及，探求与的关系得解.【小问1详解】依题意，，故，即，故，或因为，故；则，故的可能取值为，故，故的分布列为012故.【小问2详解】（i）证明：由（1）可知，当时，或；假设此时数列中存在最小的整数，使得，则单调递增，即