2025年高考数学总复习 63 第八章 第三节 圆的方程

第三节圆的方程考试要求：1．掌握圆的标准方程与一般方程．2．会根据已知条件求圆的方程．3．能够根据圆的方程解决相关问题．自查自测知识点一圆的定义及方程1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．(×)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2，3)，3 B．(－2，3)，3C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，13D解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.3．(教材改编题)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D解析：因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为()A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．[－2，0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)B解析：由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a.由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2.核心回扣1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：－半径：r＝D2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为－D2，－E2，半径r＝D2+E2－4F2的圆；当D2＋E2－4F＝自查自测知识点二点与圆的位置关系(教材改编题)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是()A．(－1，1) B．－C．－2，2C解析：因为原点(0，0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2<m<2.核心回扣点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内【常用结论】1．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任意弦的中垂线上．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)·(y－y2)＝0.应用1已知A(1，0)，B(0，3)，则以AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2－x－3y＝0 B．x2＋y2＋x＋3y＝0C．x2＋y2＋x－3y＝0 D．x2＋y2－x＋3y＝0A解析：圆的方程为(x－1)(x－0)＋(y－0)(y－3)＝0，即x2＋y2－x－3y＝0.应用2已知圆E经过两点A(0，1)，B(2，0)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A．x－322C．x－342C解析：因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－12＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为34，0.则圆E的半径为|EB|＝2－圆的方程1．(2024·桂林模拟)已知圆C的圆心为(1，0)，且与直线y＝2相切，则圆C的方程是()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x＋1)2＋y2＝2A解析：因为圆心(1，0)到直线y＝2的距离d＝2，所以r＝2，故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4.2．(2024·滨州模拟)已知A－3，0，B3，0，C(0，3)，则△A．(x－1)2＋y2＝2B．(x－1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝2D．x2＋(y－1)2＝4D解析：设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则－3－则△ABC外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝4.故选D．3．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为_____________________.(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析：(方法一)设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2a+所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.(方法二)设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则M－D所以2·－所以⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.(方法三)设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，则kAB＝1－00－3所以线段AB的垂直平分线方程为y－12＝3x－32，即3联立3x－所以M(1，－1)，所以r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.求圆的方程的两种方法(1)几何法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值．提醒：解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．与圆有关的轨迹问题【例1】已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．解：(1)由x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．(2)设点M(x，y)，直线l的方程为y＝kx，因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时，可得yx－3·yx又当直线l与x轴重合时，点M的坐标为(3，0)，代入上式成立．当动直线与圆相切时，联立y消去y，得(1＋k2)x2－6x＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝45，此时方程为95x2－6x＋5＝解上式得x＝53，所以由题意可得53<xM所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x－求与圆有关的轨迹方程的方法已知定点M(1，0)，N(2，0)，动点P满足|PN|＝2PM(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，因为M(1，0)，N(2，0)，且|PN|＝2PM，所以x整理得x2＋y2＝2，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.(2)设点Q的坐标为(a，b)，点A的坐标为(xA，yA)，因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，所以AQ＝2QB，即(a－xA，b－yA)＝2(6－a，－解得x又点A在轨迹C上运动，则由(1)有(3a－12)2＋(3b)2＝2，化简得(a－4)2＋b2＝29故点Q的轨迹方程为(a－4)2＋b2＝29与圆有关的最值问题考向1斜率型最值问题【例2】(2024·岳阳模拟)若点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0上，则nm+4的取值范围为A．0，359C．0，4 DB解析：因为点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0上，则nm+4的几何意义为圆上的点与定点P(－4圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝16.如图，由题意可知过点P(－4，0)的切线的斜率存在且PB的斜率为0.设过点P的圆C的切线方程为y＝k(x＋4)，则k－4+4k1+k2＝4故k的取值范围为0，形如y－bx－a形式的最值问题，可转化为过两点(x，y)，(a，b)考向2截距型最值问题【例3】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最小值．解：设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3相切于第四象限时，截距b取得最小值，此时，由点到直线的距离公式，得圆心(2，0)到直线x－y＋b＝0的距离为2+b2＝3，解得b＝－2－故(y－x)min＝－2－6.形如ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线ax＋by＝d的截距，通过截距的范围求d的范围，进而得到d的最值．考向3距离型最值问题【例4】设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是()A．6 B．25C．26 D．36D解析：(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方．因为P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，所以(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2，0)到点(5，－4)的距离与半径之和的平方，即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝2－52形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值．考向4构建目标函数求最值【例5】设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA·PB的最大值为12解析：由题意，知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2因为点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的点，所以x2＋(y－3)2＝1，2≤y≤4，所以x2＝－(y－3)2＋1，则PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y因为2≤y≤4，所以当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．1．设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则PA+PB10解析：由题意，知PA＝(－x，2－y)，PB＝(－x，－2－y)，所以PA+PB＝(－2x，－2y)．由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以PA+PB＝4x2＋4y2＝26x-5.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x2．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－(3)求y－x的最大值和最小值．解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝22.又|QC|＝2+22+7－32＝(2)可知y－3x+2的几何意义为直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以2k－7+2k+31+(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，所以2－7+b12+－12＝22，解得b＝阿波罗尼斯圆及应用公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|，则当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．[典题展示]已知点P(x，y)与两个定点B(1，0)，A(4，0)的距离之比为12，求点P的轨迹方程．思路展示由PBPA＝12，得(x－4)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2＋y2＝4，所以点P的轨迹方程为x2＋已知两个定点A(4，0)，B(1，0)，圆O：x2＋y2＝4，若P是圆O上任意一点，求证：PBPA是定值．思路展示设P(x，y)是圆O：x2＋y2＝4上任意一点，则y2＝4－x2，所以PBPA如图，已知圆O：x2＋y2＝4，点A(4，0)，在x轴上是否存在B(不同于点A)，满足对于圆O上任意一点P，都有PBPA为定值？如果存在，试求所有满足条件的点B的坐标；如果不存在，请说明理由．思路展示存在．设点B(s，0)，使得PBPA＝k设P(x，y)是圆O上任意一点，由|PB|2＝k2|PA|2，得(x－s)2＋y2＝k2[(x－4)2＋y2].由y2＝4－x2，化简得(8k2－2s)x＋s2－20k2＋4＝0对x∈[－2，2]恒成立，所以8k2－2s＝0，s2故存在点B(1，0)，对于圆O上任意一点P，都有PBPA课时质量评价(四十八)1．(2024·宁德模拟)已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为()A．－6<k<12 B．k<－6或k>C．k>－6 D．k<1A解析：因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，所以圆心坐标为(1，－2)，半径r＝1－若点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足3－12且1－2k>0，即13>1－2k且k<12，所以－6<k<12．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52A解析：如图，由圆的几何性质及直角三角形中线的性质，可知圆的半径r＝22+－32＝13.故此圆的方程为(x－2)2＋3．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：若圆C与y轴相切于原点，则圆C的圆心在x轴上，设圆心的坐标为(a，0)，则半径r＝|a|.当E＝F＝0且D<0时，圆心为－D2，0，半径为D2，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0.故“E＝F＝0且D＜0”是“圆C4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝0D解析：设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝3a+432+42＝3a+45＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y5．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0D解析：由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示．设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x02+y02＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，即6x0－8y0－6．(多选题)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离的值可以为()A．4 B．6C．32＋1 D．8ABC解析：如图，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点(0，－1)．由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为－3－02+3+12＝5，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为57．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________.(－2，－4)5解析：由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋52＝0因为D2＋E2－4F＝12＋22－4×52＜0，所以a＝2当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.8．(新背景)如图所示，两根杆(杆足够长)分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是______________.x2＋y2＝a2解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)．设P(x，y)，因为PA⊥PB，所以yx+a·yx－a＝－1(x≠±a)．化简得x2＋y2＝a2(x≠±a)．当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．故杆的交点P的轨迹方程是x9．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．若线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．解：设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D32又kAB＝－3，所以km＝13，所以直线m的方程为x－3y－3＝由x－3y－3＝0，x－y则半径r＝|CA|＝－3－1所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.设点M(x，y)，Q(x0，y0)，因为点P的坐标为(5，0)，M为PQ的中点，所以x＝x又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25，整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝254即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25410．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是()A．2 B．2C．22＋1 D．2－C解析：因为圆心(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为22＝2>1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为2＋1，最小值为点(0，0)到直线x－y－1＝0的距离，为12＝22，所以11．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，则2a+6bA．23 B．20C．323 D．C解析：由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39.因为圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，所以该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，所以a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，所以2a+6b＝23(当且仅当3ba＝3ab，即a＝b＝12．(2024·平顶山模拟)已知A，B为圆O：x2＋y2＝4上的两动点，|AB|＝23，点P是圆C：(x＋3)2＋(y－4)2＝1上的一点，则PA+PB的最小值是(A．2 B．4C．6 D．8C解析：设M是AB的中点，因为|AB|＝23，所以OM＝4－即点M在以O为圆心，1为半径的圆上，PA+PB＝PM+MA+又|PO|min＝|OC|－1＝－32+42－1＝4，所以PMmin＝|PO|min－1＝所以PA+PBmin＝2×3＝6.故选13．写出一个过点O(0，0)，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程：__________________.(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一)解析：设点O(0，0)为圆的直径的端点，点O(0，0)到直线x＋y－4＝0的距离，d＝0+故满足条件的一个圆的半径为r＝2.由于圆心所在的直线与x＋y－4＝0垂直，且该直线经过原点，所以圆心所在的直线方程为y＝x.由y＝x所以圆心的坐标为(1，1)．所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)