2025年高考数学总复习 43 第六章 微专题 寻找球心解决与球有关的问题

微专题寻找球心解决与球有关的问题球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现．一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心．类型一定义法【例1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A．3172 B．C．132 D．3C解析：如图，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M，连接AM，OA.因为AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝【例2】(2024·宣城模拟)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝22，AC＝4，∠BAC＝45˚，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是()A．14π B．16πC．18π D．20πD解析：如图，在△ABC中，∠BAC＝45˚，AB＝22，AC＝4，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos45˚＝8＋16－2×22×4×22＝8，则BC2＋AB2＝AC2由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形．又△PAC为直角三角形，所以PC是三棱锥P-ABC外接球的直径．设O是PC的中点，即为球心，又AC＝4，PA＝2，所以PC＝AC2所以外接球的半径为5，所求外接球的表面积S＝4π×52＝20π.1．到各个顶点距离相等的点为外接球的球心．2．方法：借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解．3．结论：(1)正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点；(3)正棱锥的外接球球心在高线上．类型二补形法【例3】在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，向量BC与AD的夹角为2π3.若AB＝6，BC＝AD＝3，则该四面体外接球的表面积为(A．18π B．36πC．54π D．72πD解析：将四面体ABCD补成如图所示的直三棱柱ADE-BFC.因为向量BC与AD的夹角为2π3，所以∠EAD＝2π在△ADE中，由余弦定理得DE2＝AD2＋AE2－2AD·AE·cos∠EAD＝27，所以DE＝33，△ADE外接圆的半径r＝DE2sin该四面体外接球的半径R＝32+32＝32，所以该【例4】棱长为a的正四面体的体积与其内切球体积之比为________.63π显然正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD的中心O1都在正方体的体对角线上．因为正四面体的棱长为a，所以|DO1|＝33a，|O1A|＝a2－33a21．补形法的解题策略：(1)侧面为直角三角形，或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)将直三棱锥补成三棱柱求解．2．常用结论：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2R＝3a；若球为正方体的内切球，则2R＝a；若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2类型三截面法【例5】(多选题)(2024·广东一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为3π的球面上，点P为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是(ACD)A．有无数个点P，使得AP∥平面BDC1B．有无数个点P,使得AP⊥平面BDC1C．若点P∈平面BCC1B1，则四梭锥P-ABCD的体积的最大值为2D．若点P∈平面BCC1B1，则AP＋PC1的最大值为6【例6】为庆祝国庆，某中学将举行全校师生游园活动，其中有一个游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是()A．25+B．45+C．25+3D．85+B解析：分别作出四个小球和容器的正视截面图和俯视截面图，如图所示．正视截面图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有OA2＋AB2＝OB2.俯视截面图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到小球球心的距离O1A1与正视截面图中的OA相等．设半球的半径为R，已知小球半径r＝1cm，所以OA＝2cm，AB＝1cm，OB＝3cm，R＝OB＋r＝3+因此，半球面形状的容器的容积是V＝12×43πR3＝12×43π×1．与球截面有关的解题策略(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，