2025年高考数学总复习 19 第三章 第一节 导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算考试要求：1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，会求简单的复合函数的导数．自查自测知识点一导数的概念1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(×)(3)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(×)2．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为12，则limΔx→0A．－4 B．4C．－36 D．36A解析：根据题意，由函数f(x)在x＝x0处的导数为12，得limΔx→0fx0－Δx－f3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝18t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为(BA．14 B．C．1 D．24．函数y＝x在x＝x0(x0≠0)处的导数为12x0，在点(1，1)核心回扣1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．注意点：(1)y＝f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数y＝f′(x)在x0处的函数值．(2)函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”．自查自测知识点二导数的运算1．(多选题)(教材改编题)下列导数的运算中正确的是(ABD)A．(3x)′＝3xln3B．(x2lnx)′＝2xlnx＋xC．cosxx′D．(sinxcosx)′＝cos2x2．设f(x)＝ex＋ln2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(DA．0 B．eC．e+12 3．设函数f(x)＝e2xx+a，若f′(0)＝1解析：由题意可知f′(x)＝2e2xx+a－e2xx+a2，由f′(0)＝1，得2a－14．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则f′(1)＝－2．核心回扣1．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝αxα-1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝12.若f′(x)，g′(x)存在，则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx'＝f'x3.复合函数的导数一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx'＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对【常用结论】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.熟记以下结论：(1)1x′＝－1x2；(2)(x)′＝12x；(3)1fx′＝－f'xfx2(f(x)≠0)；(4)[af(x)±应用1若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为(C)A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1，0)应用2若f(x)＝ax2－1且f′(1)＝2，则a导数的计算1．若函数f(x)＝x2，则limΔxA．－2 B．－1C．12 D．A解析：因为f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2，所以limΔx→0f1－f2．(多选题)下列结论正确的是()A．若y＝cos1x，则y′＝1xB．若y＝ln1+2x，则yC．若y＝1tanx，则y′D．若y＝x2024＋log2x，则y′＝2024x2023＋1ABD解析：对于A，y′＝－sin1x·1x′＝1x2sin1x，A正确；对于B，因为y＝ln1+2x＝12ln(1＋2x)，所以y′＝12·11+2x·(1＋2x)′＝11+2x，B正确；对于C，y＝1tanx＝cosxsinx，y′＝3．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝________.e2解析：因为f′(x)＝12x－3·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝22x－3＋ae－x－axe－x，所以f′(2)＝2＋ae-2－2ae-2＝2－ae-21．求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2．(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．导数的几何意义考向1求切线方程【例1】(1)(2024·抚州模拟)设f′(x)为函数f(x)的导函数，若f(x)＝(x＋1)ex－f′(0)x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为()A．y＝－x＋1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x＋1 D．y＝x＋1D解析：因为f(x)＝(x＋1)ex－f′(0)x，所以f′(x)＝(x＋2)ex－f′(0)．令x＝0，得f′(0)＝2－f′(0)．故f′(0)＝1，所以f(x)＝(x＋1)ex－x，所以f(0)＝1.故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.(2)过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为()A．x－y－3＝0 B．x－y＋3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x＋y－3＝0B解析：由y＝x3－2x＋1，得y′＝3x2－2.设切点坐标为(x0，x03－2x0＋1)，则切线的斜率k＝3x02－2，切线方程为y－(3x02－2x0＋1)＝(3x02－2)(x－x0)．由切线过点(0，3)，代入切线方程解得x0＝－1，所以切线方程为y－2＝求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0，f(x0))是切点时，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)当点P(x0，f(x0))不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点的坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，f(x0))代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，f(x0))的切线方程．考向2求切点坐标【例2】(1)若曲线y＝x24－3lnx在x＝x0处的切线的斜率为12，则x3解析：由y＝x24－3lnx，得y′＝12x－3x(x>0)，故12x0－3x0＝12，解得x0＝3或x0＝－(2)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为(1，1)解析：点(0，1)在曲线y＝ex上．因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(m，n)，因为y＝1x(x>0)的导数为y′＝－1x2(x>0)，所以曲线y＝1x(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2(m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让切点的导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，再将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考向3求参数的值或取值范围【例3】(1)(2024·江门模拟)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2C解析：直线x＋2y＋1＝0的斜率为k＝－12，由题设知y＝e2ax在(0，1)处的切线的斜率为2，而y′＝2a·e2ax，所以y′|x＝0＝2a＝2，可得a＝1.故选C(2)若函数f(x)＝2lnx＋x2＋mx＋1的图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数m的取值范围为()A．(－∞，－4) B．(－∞，4)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)C解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，依题意，f′(x)＝2x＋2x＋m>0恒成立，即－m<2x＋2x恒成立．由于2x＋2x≥22x·2x＝4，当且仅当2x＝2x，即x＝1时等号成立，所以利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．提醒：(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．考向4导数与函数图象的关系【例4】已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D解析：f′(2)和f′(3)分别表示函数f(x)在x＝2和x＝3处的切线的斜率，结合图象可得0<f′(3)<f′(2)，而f(3)－f(2)＝f3－f23－2，表示过(2，f(2))和(3，f(3))两点的直线的斜率，则0<f′(3)<f(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．由切线的斜率大小可以判断出函数图象升降的快慢．1．(2024·烟台模拟)若曲线y＝x3＋bx2＋c在点M(1，0)处的切线与直线x－y－2＝0垂直，则c的值为()A．－1 B．0C．1 D．2C解析：设f(x)＝x3＋bx2＋c，则f′(x)＝3x2＋2bx，又直线x－y－2＝0的斜率为1，由题意可得f'1=32．已知直线y＝ax－1与曲线y＝lnx＋x相切，则a＝()A．1 B．2C．e D．2eB解析：函数y＝lnx＋x的定义域为(0，＋∞)．设切点为(t，lnt＋t)(t＞0)，由y′＝1x＋1，得切线的斜率为1t＋1，则切线方程为y－(lnt＋t)＝1t+1(x－t)，整理得y＝1t+1x－1＋lnt3．(2022·新高考全国Ⅱ卷)写出曲线y＝ln|x|过坐标原点的切线方程：__________，__________.y＝1exy＝－1ex解析：因为y＝ln|x当x>0时y＝lnx，设切点为(x0，lnx0)，由y′＝1x，得y′|x＝x0＝1x0，所以切线方程为y－lnx0＝1因为切线过坐标原点，所以－lnx0＝1x0(－x0)，解得x0＝所以切线方程为y－1＝1e(x－e)，即y＝1e当x<0时y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由y′＝1x，得y′|x＝x1＝1x1，得切线方程为y－ln(－x1)＝1x1(x－x1).因为切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝1x1(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝－1课时质量评价(十五)1．已知曲线y＝f(x)＝2xcosx在x＝0处的切线为l，则l的斜率为()A．ln2 B．－ln2C．1 D．－1A解析：对f(x)＝2xcosx求导，得f′(x)＝(ln2)×2xcosx－2xsinx，由题意可知曲线y＝f(x)＝2xcosx在x＝0处的切线l的斜率为kl＝f′(0)＝(ln2)×20·cos0－20·sin0＝ln2.2．(2024·邢台模拟)在一次跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)＝－4t2＋4t＋11.该运动员在t＝1s时的瞬时速度(单位：m/s)为A．－4 B．4C．11 D．－11A解析：由h(t)＝－4t2＋4t＋11，得h′(t)＝－8t＋4，故h′(1)＝－4，即该运动员在t＝1s时的瞬时速度为－4m/s.3．函数y＝f(x)的图象与其在点P处的切线如图所示，则f(1)－f′(1)等于()A．－2 B．0C．2 D．4D解析：由题图可知切线经过点(2，0)，(0，4)，可得切线的斜率为k＝4－00－2＝－2，即f′(1)＝－2，则切线方程为y＝－2x＋4.令x＝1，可得y＝2，即f(1)＝2，所以f(1)－f′(1)＝4．(2024·揭阳模拟)已知曲线y＝f(x)＝x3＋2ax2＋x＋b在点(1，0)处的切线的倾斜角为3π4，则a＋b＝(A．－34 B．－C．－2 D．－11A解析：f′(x)＝3x2＋4ax＋1，由题意可知曲线在点(1，0)处的切线斜率k＝tan3π4＝－1，则f1=2+2a+b=0，f'15．已知函数f(x)＝3x+1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为A．3x＋4y＋5＝0 B．3x－4y＋5＝0C．x＋4y＋7＝0 D．x－4y＋7＝0B解析：由已知可得，f(x)＝3x+1＝3x+112，所以f′(x)＝123x+1－12×3＝323x+1－12.根据导数的几何意义可知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为k＝f′(1)＝32×3×16．(多选题)已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x0＋4)(x－x0)，那么下列结论正确的是()A．f′(1)＝－5B．在x＝2处的切线平行或重合于x轴C．切线斜率的最小值为1D．f′(4)＝12AB解析：由题意可得f′(x)＝(x－2)(x＋4)．对于A，f′(1)＝－5，A正确；对于B，当x＝2时，f′(2)＝0，故在x＝2处的切线平行或重合于x轴，B正确；对于C，f′(x)＝(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9≥－9，最小值为－9，故C错误；对于D，f′(4)＝(4－2)(4＋4)＝16，D错误．7．(多选题)已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是()A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1C．过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条D．过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条AC解析：因为函数f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex.对于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确；对于B，令f′(x)＝ex＝－1，此方程无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误；对于C，设切点为(x0，ex0)，则切线方程为y-ex0＝ex0(x－x0)，因为直线经过(0，1)，所以有1-ex0＝ex0(0－x0)，解得x0＝0，所以(0，1)即为切点，过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有一条，故C正确；对于D，设切点为(x0，ex0)，则切线方程为y-ex0＝ex0(x－x08．已知函数f(x)＝1ax－1＋excosx，若f′(0)＝－1，则2解析：因为f′(x)＝－aax－12＋excosx－exsinx，所以f′(0)＝－a＋1＝－9．一个小球作简谐振动，其运动方程为s＝2sinπ6t+π3，其中s(单位：cm)是小球相对于平衡点的位移，t(单位：s)为运动时间，则小球在t0解析：由s＝2sinπ6t+π3，得s′＝π3cosπ6t+π310．(2024·许昌模拟)点P是曲线y＝f(x)＝2x2－3lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－4的最短距离为________.522解析：由题可得f′(x)＝4x－3x(x>0)，令f′(x)＝4x－3x＝1，解得x＝1x=－34舍去.又f(1)＝2，所以与直线y＝x－4平行且与曲线y＝f(x)相切的直线的切点为(1，2)，所以点P到直线y11．已知曲线y＝2ax＋lnx在点(1，2a)处的切线与直线y＝12x＋2垂直，则常数a的值是(A．－12 B．C．－32 D．C解析：由y＝2ax＋lnx，得y′＝2a＋1x，所以在点(1，2a)处的切线的斜率为k＝2a＋1.又曲线y＝2ax＋lnx在点(1，2a)处的切线与直线y＝12x＋2垂直，所以2a＋1＝－2，解得a＝－12．(多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanxAC解析：若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x，令lnx＝1x，在同一直角坐标系内作出函数y＝lnx与y＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tanx，则f′(x)＝sinxcosx′＝1cos2x，令tanx＝1cos2x，化简得sinxcos13．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线，则b的值为()A．0 B．1C．0或1 D．0或－1B解析：设y＝kx＋b是y＝lnx＋2在点(a，lna＋2)处的切线，则k=1a，lna+2=ka+b.同理设y＝kx＋b是y＝ln(x＋2)在点(c，ln(c＋2))处的切线，则k=1c+14．(2024·绵阳模拟)若函数f(x)＝x2－ax与g(x)＝lnx＋2x的图象在公共点处有相同的切线，则实数a＝()A．－2 B．－1C．e D．－2eB解析：设函数f(x)＝x2－ax与函数g(x)＝lnx＋2x的图象公共点的坐标为(x0，y0)，求导得f′(x)＝2x－a，g′(x)＝1x＋2，依题意，得于是x02+lnx0－1=0，a=2x0－1x0－2.令函数