2025年高考数学总复习 39 第五章 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示

第二节平面向量的基本定理及坐标表示考试要求：1．理解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3．能用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．自查自测知识点一平面向量基本定理1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一个基底．(√)(2)基底中的向量可以是零向量．(×)(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．(√)(4)e1，e2是平面内两个不共线的向量，若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.(√)2．在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB12－16解析：如图．因为MN＝MC+CN＝1核心回扣平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底注意点：基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量．因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量．自查自测知识点二平面向量的坐标运算1．(教材改编题)设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于()A．(6，3) B．(－2，－6)C．(2，1) D．(7，2)B解析：2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6)．2．(教材改编题)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．(1，5)解析：设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即4核心回扣1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)；(3)λa＝(λx1，λy1)；(4)|a|＝x12．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，AB＝自查自测知识点三平面向量共线的坐标表示若a＝(6，6)，b＝(5，7)，c＝(2，4)，则下列结论成立的是()A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线C解析：a－c＝(4，2)，因为4×7－2×5＝18≠0，所以a－c与b不共线；b＋c＝(7，11)，因为7×6－11×6＝－24≠0，所以b＋c与a不共线；b－c＝(3，3)，因为3×6－3×6＝0，所以a与b－c共线；a＋b＝(11，13)，因为11×4－13×2＝18≠0，所以a＋b与c不共线．核心回扣1.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.2．当x2y2≠0时，a∥b等价于x1【常用结论】1．如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到λ1＝μ1，λ2＝μ2，即基底给定，同一向量的分解形式唯一．特别地，若λ1e1＋λ2e2＝2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为x13．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为x1应用1在△ABC中，M为AC的中点，若AB＝λBM+μBC(λ，μ∈RA．λ＋μ＝1 B．λ－μ＝3C．λ＋2μ＝0 D．2λ－μ＝0C解析：因为M为AC的中点，所以BM＝12BA又AB＝λBM+μBC(λ，μ∈R)，所以λ＝－2，μ＝1，所以λ应用2已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．3解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线．由平面向量基本定理得3x－4y＝6，2x平面向量的坐标运算1．已知AB＝(1，－1)，C(0，1)，若CD＝2AB，则点D的坐标为A．(－2，3) B．(2，－3)C．(－2，1) D．(2，－1)D解析：设D(x，y)，则CD＝(x，y－1)，2AB＝(2，－2)．根据CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2即x＝2所以点D的坐标为(2，－1)．2．(2024·温州模拟)在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为()A．－12，5C．－12，－C解析：因为在平行四边形ABCD中，AB+所以CO＝－AO＝－12AD+3．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则()A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3bC．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2bD解析：建立如图所示平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)．设向量c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，则m－2所以c＝3a－2b.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．平面向量共线的坐标表示【例1】(1)(2024·临沂模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若a∥c，则k等于()A．－1 B．0C．1 D．2B解析：因为c＝a＋kb＝(3，1)＋(k，k)＝(k＋3，k＋1)，而a∥c，所以3×(k＋1)－1×(k＋3)＝0，解得k＝0.(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝π3，若m＝c－6，a－b，n＝a－b，c+6A．3 B．9C．332 D．C解析：因为m＝c－6，a－b，n＝a所以(a－b)2＝c－6c+6，化为a2＋b2－c2＝所以cosπ3＝a2+b所以S△ABC＝12absinC＝1平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0”解题．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程(组)，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．1．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，则m等于()A．－2 B．－1C．－1A解析：因为a＝(1，2)，b＝(2，－2)，所以2a＋b＝(4，2)．又c＝(m，－1)，c∥(2a＋b)，所以2m＋4＝0，解得m＝－2.2．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝________．－23解析：由题意，得AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－因为A，B，C三点共线，所以AB，AC所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23平面向量基本定理的应用考向1用已知基底表示向量【例2】如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点．设AD＝a，AB＝b，试用{a，b解：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以DC＝EF＝ED+DA+AF＝－12DC[变式]本例中，若设BC的中点为G，则AG＝________．12a+3所以AG＝平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．考向2解析法(坐标法)在向量中的应用【例3】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点．若CA＝λCE+μDB(λ，μ∈R)，则A．65 B．C．2 D．8B解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，所以CA＝(－2，2)，CE＝(－2，1)，DB＝(1，2)．因为CA＝λCE+μDB，所以(－2，2)＝λ(－2，1)所以－2λ故λ＋μ＝85应用平面向量基本定理解题的两种思路(1)基向量法．(2)坐标法．能用坐标法解决的问题，一般不用基向量法．考向3利用平面向量基本定理求参数的值(或范围)【例4】在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝23CA+13CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M.34解析：如图所示因为A，M，Q三点共线，所以设CM＝xCQ＋(1－x)CA＝x2CB又因为CP＝所以x2＝13t用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．1．(2024·青岛质检)在△ABC中，AN＝14NC，若P是直线BN上的一点，且满足AP＝mABA．－4 B．－1C．1 D．4B解析：根据题意，设BP＝nBN(n∈则AP＝AB+BP＝AB+nBN＝AB＋n(AN又AP＝mAB+22．如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AD＝λAC+μAE，则λA．3 B．2C．1 D．－3D解析：以AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设正方形的边长为1，则A(0，0)，C(1，1)，D(0，1)，E(12，1)所以AE＝12，1，AC＝(1，1)因为AD＝λAC+μ所以λ+μ2＝0，λ+μ＝课时质量评价(二十九)1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C.e1＋e2与e1－e2D．e1－2e2与－e1＋2e2D解析：对于A，设e1＋e2＝λe1，则λ＝1，1＝0，无解，故e1与e对于B，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则λ＝1，－2＝2λ，无解，故e1－2e2与对于C，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ＝1，1＝－λ，无解，故e1＋e2与对于D，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2与－e1＋2e2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底．2．(2024·南京模拟)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于()A．5 B．6C．17 D．26A解析：由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，所以b＝(－2，－4)．因为3a＋b＝(3，6)＋(－2，－4)＝(1，2)，所以|3a＋b|＝123．已知点P是△ABC所在平面内一点，且PA+PB+PC＝0，A．PAB．PAC．PAD．PAD解析：由题意知PA+PB+PC＝0，所以PA＋AB－所以PA＋AB－AP＋BC－整理得3PA+BC－2BA＝0，即34．已知E为△ABC所在平面内的点，且BA+12BC＝2BE.若CEA．－3 B．3C．13 D．－A解析：因为BE＝所以BA+12BC所以2CE＝－AB所以CE＝所以m＝14，n＝－345．已知向量a＝12，14，b＝(－2，m)，若a与b共线，则|b5解析：因为向量a＝12，14与b＝(－2，m)共线，所以12×m＝14×(－2)，解得m＝－1.所以b＝(－26．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)．若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝________．0解析：由题意得，2m＋n＝(3λ＋4，4)，m－2n＝(－λ－3，－3)．因为(2m＋n)∥(m－2n)，所以－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0.7．在△AOB中，AC＝15AB，D为OB的中点，若DC＝λ－625解析：因为AC＝15因为D为OB的中点，所以OD＝所以DC＝DO+OC＝－12所以λ＝45，μ＝－3108．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)(方法一)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以－6m(方法二)因为a＋b＋c＝0，所以a＝－b－c.又a＝mb＋nc，所以mb＋nc＝－b－c，所以m(3)设O为坐标原点，因为CM＝OM－OC所以OM＝3c+OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以因为CN＝ON－OC＝－2b，所以ON＝－2b+OC＝(12，6)＋所以N(9，2)，所以MN＝(9，－18)．9．(多选题)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(－2，1)，OC＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为()A．－2 B．1C．1 D．－1ABD解析：点A，B，C能构成三角形，故A，B，C三点不共线，则向量AB，BC不共线．由于向量OA＝(1，－3)，OB＝(－2，1)，OC＝(t＋3，t－8)，故AB＝OB－OA＝(－3，4)，BC＝OC－OB＝(t＋5，t－9)．若A，B，C三点不共线，则－3(t－9)－4(t10．(2024·大理模拟)在△ABC中，D是直线AB上的点．若2BD＝CB+λCA，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则A．λ6 B．C．13 D．D解析：依题意作图，如图所示．设BD＝μBA＝μCA－CB由条件BD＝得μ＝－12所以点D在AB的延长线上，并且AD＝32AB所以S111．(多选题)在△ABC中，D为AC上一点且满足AD＝13DC，若P