2025年高考数学总复习 30 第四章 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求：1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sin2．借助单位圆的对称性推导出π2±α，π±α自查自测知识点一同角三角函数的基本关系式1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα(3)sin2α＋cos2α＝1成立的条件是α为锐角．(×)2．若sinα＋cosα＝22，则sinαcosα＝(A．－12 B．－C．22 D．B解析：因为sinα＋cosα＝22，所以(sinα＋cosα)2＝12，即sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝12，即1＋2sinαcosα＝12，所以sinαcosα3.已知sinα＝55，π2＜α≤π，则tanαA．－2 B．2C．12 D．－D解析：因为π2＜α≤π，所以cosα＝－1－sin2α＝－所以tanα＝sinαcosα＝核心回扣同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2α＋cos2α＝1；商数关系：sinαcosα＝tan注意点：同角并不拘泥于角的形式，如sin2α2＋cos2α2＝1，sin5xcos5x＝tan5x(5x≠kπ+π2，k∈Z)成立，但是自查自测知识点二诱导公式1．(教材改编题)sin210˚cos120˚的值为()A．14 B．－C．－32 D．A解析：sin210˚cos120˚＝－sin30˚·(－cos60˚)＝－12×－2．(教材改编题)已知sinα－π4＝32，则sin5πA．12 B．－C．32 D．－C解析：sin5π4－α＝sinπ－α－3．化简cosα－π2sin5sinα解析：原式＝sinαcosα·cosα＝核心回扣1．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角α＋k·2π(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα——口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限2.记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．“符号”看的是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α【常用结论】1．sinα＝±1－cos2α；cosα＝±1－sin2α；(sinα±cosα)22．sin2α＝sin2αsin2α+cos2α＝tan3．sinα＝tanαcosαα≠应用1若sinxcosx＝18，则cosx－sinx的值是(A．±32 B．C．－32 D．±A解析：因为(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝1－2×18＝34，所以cosx－sinx＝±应用2若tanα＝－22，α∈－π2，0，则cosαA．－13 B．C．－33 D．B解析：由cos2α＝cos2αsin2α+cos2α＝1tan2α+1，得cos2α＝19同角三角函数关系的基本应用考向1知弦求弦、切或知切求弦【例1】(1)若θ是三角形的一个内角，且tanθ＝－43，则sinθ－cosθ＝(A．15 B．－C．75 D．－C解析：(方法一)由题意，知tanθ＝sinθcosθ＝－43，θ∈(0，π)，故sinθ＞0，cosθ＜0.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝45，cosθ＝－35.所以sin(方法二)因为tanθ＝－43＜0，所以θ∈π2，JP2π，故sinθ－cosθ＞0，则(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθcos2θ+sin2θ(2)(2024·泰州模拟)已知cosα＝－513，则13sinα＋5tanα＝0解析：因为cosα＝－513＜0且cosα≠－1所以α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，则sinα＝1－cos2α＝所以tanα＝sinαcosα＝12此时13sinα＋5tanα＝13×1213＋5×－12②若α是第三象限角，则sinα＝－1－cos2α＝－1所以tanα＝sinαcosα＝此时13sinα＋5tanα＝13×－1213＋5×12综上所述，13sinα＋5tanα＝0.[变式]将本例(1)改为：已知α是三角形的一个内角，且tanα＝－13，求sinα＋cosα解：由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，且sinα＞0，cosα＜将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1所以cosα＝－31010，sinα＝故sinα＋cosα＝－105由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．考向2sinα，cosα的齐次式问题【例2】(1)若tanα＝2，则sinα+cosA．3 B．－3C．85 D．－A解析：因为tanα＝2＝sinαcosα，所以cosα≠0，则sin(2)已知tanα＝－34，则sinα(sinα－cosα)＝(A．2125 B．C．45 D．A解析：sinα(sinα－cosα)＝sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α+cos2α＝tan[变式]本例(1)条件不变，求cos2α＋12sin2α解：cos2α＋12sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝cos2α又tanα＝2，所以cos2α＋12sin2α＝1+tanα1若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的最高次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值．考向3sinα±cosα，sinαcosα之间的关系【例3】已知sinα＋cosα＝－1713，α∈π，5π4，则sinα－cosαA．213 B．－C．713 D．－C解析：因为sinα＋cosα＝－1713，所以(sinα＋cosα)2＝289169，则2sinαcosα＝所以sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝49169，即(sinα－cosα)2＝49又α∈π，5π4，所以sinα＞cosα，故sinα－cosα＞0，所以sinα－cosα对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝t2－12，sinα－cosα＝±2－t21．若θ∈(0，π)，tanθ＋1tanθ＝6，则sinθ＋cosθ＝A．233 B．C．±2A解析：因为tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ+cosθsinθ又θ∈(0，π)，则sinθ>0，cosθ>0，所以sinθ＋cosθ>0.所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝43，所以sinθ＋cosθ＝22．(2024·广东一模)“α＝π4＋kπ(k∈Z)”是“3cos2α+sin2αsinαcosA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知关于x的方程2x2－bx＋14＝0的两根分别为sinθ和cosθ，θ∈π(1)求实数b的值；(2)求2sin解：(1)因为sinθ，cosθ为关于x的方程2x2－bx＋14＝0所以Δ所以(sinθ＋cosθ)2＝b24＝1＋2sinθcosθ＝1＋14＝54，即b24＝54，解得b＝±又θ∈π4，3π4，所以sinθ＋cosθ>0，所以(2)因为θ∈π4，3π4，所以sin所以sinθ－cosθ＝sinθ－cosθ所以2sinθcosθ+诱导公式的应用【例4】(1)若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是(A．12 B．－C．－32 D．B解析：由题知，sinα＝12，所以sin(4π－α)＝－sinα＝－1(2)(2024·泰安模拟)记cos(－80˚)＝k，那么tan280˚＝()A．1－k2kC．k1－k2B解析：因为cos(－80˚)＝k，所以sin(－80˚)＝－1－所以tan280˚＝tan(－80˚)＝sin－80˚cos－(3)cosα+πsinA．1 B．－1C．sinα D．tanαB解析：原式＝－cosαsin2αtanαtan(4)已知cosπ6－α＝23，则－23解析：sinα－2π3＝sin－π2－π6－α＝1.诱导公式的两个应用口诀(1)求值：负化正，大化小，化到锐角就终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少目的到．2.诱导公式的应用步骤1．(2024·宁波模拟)已知tanα＝3，则sinπ－α+A．－12 B．C．54 D．B解析：sinπ－α+2cosπ+αsinπ2+α+2．(多选题)在△ABC中，下列等式一定成立的是()A．sinA+B2＝－cosC2 B．sin(2A＋2B)C．tan(A＋B)＝－tanC D．sin(A＋B)＝sinCCD解析：sinA+B2＝sinπ2－C2sin(2A＋2B)＝sin[2(π－C)]＝sin(2π－2C)＝－sin2C，故B错误；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，故C正确；sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，故D正确．3．已知sinα－π12＝13，则13解析：由sinα－π12＝13，得cosα+17π12＝4．已知f(α)＝cosπ2+αsin12解析：因为f(α)＝cosπ2+αsin所以f－25π3＝cos－25π3＝cos课时质量评价(二十二)1．(多选题)若cos(π－α)＝－12，则(A．sin(－α)＝32 B．sinπ2+C．cos(π＋α)＝－12 D．cos(α－π)＝－CD解析：由cos(π－α)＝－12，得cosα＝12，则sinα＝±A．sin(－α)＝－sinα＝±32B．sinπ2+α＝cosαC．cos(π＋α)＝－cosα＝－12D．cos(α－π)＝cos(π－α)＝－12故选CD．2．(2024·冀州模拟)若sin5π2+α＝15，则cos(π＋α)A．－25 B．－C．1B解析：因为sin5π2+α＝sin2π+π2+α＝sinπ2+α＝cosα＝15，所以3．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，若sinA+B－C2＝sinA－BA．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形C解析：因为sinA+B－C2＝sinA－B+C所以sinπ－2C2＝sinπ－2B又因为B，C∈(0，π)，所以C＝B，c＝b，则△ABC一定是等腰三角形．4．(多选题)(2024·青岛模拟)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，则下列结论正确的是(A．sinθ＝45 B．cosθ＝－C．tanθ＝－34 D．sinθ－cosθ＝ABD解析：由题意知sinθ＋cosθ＝15所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125，所以2sinθcosθ＝－2425又因为θ∈(0，π)，所以π2＜θ＜π，所以sinθ－cosθ＞0所以sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝1－－2425＝4925＝7所以tanθ＝－43.故A，B，D正确5．已知sin3π2－α＋cos(π－α)＝sinα，则2sin2α－sinαcosα等于A．2110 B．C．32 D．D解析：由诱导公式可得sinα＝sin3π2－α＋cos(π－α)＝－2cosα，所以tanα＝－2，所以2sin2α－sinαcosα＝2sin2α6．已知sinπ2+α＝－45，那么tanα920解析：因为sinπ2+α＝－45，所以cosα＝－45，sin2α＝1－cos2α＝1－1625＝925，所以tanα·sinα7．已知sin－π2－αcos－7π2+α＝1225，且0＜α＜π43545解析：sin－π2－αcos－7π2+α＝－cosα·(因为0＜α＜π4，所以0＜sinα＜cosα.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝35，cosα＝8．(2024·长沙模拟)已知sinπ4－α＝35，且π4－α为第二象限角，则sinα75解析：因为sinπ4－α＝35，且π4－α为第二象限角，所以所以sinα－13π4＋sinα+21π4＝sinπ4－α－cosπ4－9．已知α为第三象限角，f(α)＝sinα(1)化简f(α)；(2)若cosα－3π2＝15，求f解：(1)f(α)＝sinα－π2·cos3π(2)因为cosα－3π2＝15，所以－sinα＝15，从而sin又α为第三象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－265，所以f(α)＝10．(2024·郑州模拟)已知角α∈－π2，0，且tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，则sin(α＋2023π)A．154 B．C．－34 D．－A解析：因为tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，所以(tanα－4sinα)(tanα＋sinα)＝0.因为α∈－π2，0，所以tanα<0且sinα<0，所以tanα－4sinα＝0，即sin所以cosα＝14，所以sinα＝－1－cos2α＝－154，所以sin(α＋2023π)11．(数学与生活)黑洞原指某种天体，它体积小，密度大，引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上的工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”．如果把这个数字设为a，则sinaπ2+πA．12 B．－C．32 D．－D解析：根据数字黑洞的定义，任取数字2021，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123……所以数字黑洞为123，即a＝123，所以sinaπ2+π6＝sin123π2+π12．(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(A．sinβ＝154 B．cos(π＋β)＝C．tanβ＝15 D．tanβ＝15AC解析：因为sin(π＋α)＝－sinα＝－14，所以sinα＝14，cosα＝±若α＋β＝π2，则β＝π2－A中，sinβ＝sinπ2－α＝cosα＝±15B中，cos(π＋β)＝－cosπ2－α＝－sinα＝－1C中，tanβ＝15，即sinβ＝15cosβ，又si