山东省桓台某中学新高中数学多选题复习附解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1.己知函数/（力=/申+/叫以下结论正确的是（）

A./（X）是偶函数B./（X）最小值为2

C.”力在区间（一4,一［］上单调递减D.8（"=）（力一24的零点个数为5

kn

【答案】ABD

【分析】

去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调

性，再对选项进行判断.

【详解】

,,xsR,/（-%）=/（%）,「./（X）是偶函数，A正确;

因为〃1+2乃二〃X），由函数的奇偶性与周期性，只须研究了（上）在［0,2句上图像变

2esinr,0<x<^-

化情况.1-，

浮门

jrjr

当OWxW乃，r（x）=2cosxe皿，则/（力在不£0,-上单调递增，在不,乃上单调

递减，此时42,切：

一■"

当开《入424时，r（x）=cosx（esinjr-e-sinv）,则f（x）在xe匹手上单调递增，在

—3T"1］―S

XW%、2冗上单调递减，此时2,^+-,故当0WxW2万时，/（力1nin=2，

B正确.

因小）在XC俘，上单调递减，又/（X）是偶函数，故/（力在卜匹一I）上单调递

增，故c错误.

对于D,转化为f（x）=2x根的个数问题.因/（力在上单调递增，在他,「I上单

调递减，在卜，与上单调递增，在怎,2%）上单调递减当X«Y0㈤时，/（x）>2,

2222

—x<2,/（x）=—x无实根.XE（3肛+00）时，一x>6>》=/（大）2，f（x）=~x

无实根，xe肛学,显然x=%为方程之根./（工）=产4+"加二

f\x)=cosx(esinr-e-sinx)>0,I=e4-1>-x^=3,单独就这段图象，

'V27e7i2

广(乃)=7传)=0,"力在上学上变化趋势为先快扣慢，故g(x)在(肛与)内

有1个零点，由图像知g(x)在(当,3万内有3个零点，又")=2«>5,结合图

【点睛】

方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手：

(1)分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；

(2)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图

象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.

2.若定义在R上的函数/*)满足/(-x)+/(幻=0,当x<0时，

/(x)=x2+2ar+-^(^GR),则下列说法正确的是()

A.若方程/(x)=ox+］有两个不同的实数根，则4V0或4vav8

B.若方程/*)二公+怖有两个不同的实数根，则4<。<8

C.若方程/(x)=or+1有4个不同的实数根，则。>8

D.若方程/。)=公+£有4个不同的实数根，贝伯>4

【答案】AC

【分析】

由题知/(x)是R上的奇函数，则由X<0时的解析式可求出/(x)在R上的解析式.先讨论

特殊情况X=0为方程的根，则可求出4=0,此时方程化为/*)=0,而函数/(用为R

上的减函数，则方程仅有一个根.当XH0时，由分段函数分类讨论得出X<0时，

14

^=-(x+l)+——-+2,冗〉0时，a=x-2+——+4.利用数形结合思想，画出图

一(x+1)x-2

象，则可得知方程/(幻="+£不同的实数根个数分别为2个和4时，参数。的取值范

围.

【详解】

因为/(-x)+/«=0所以/(T)=-/(X),

所以/*)是R上的奇函数，/(0)=0,

3

当x>0时，一x<0，f(-x)=^-2ax-\--a,

~3

所以f(x)==-x2+lax.~~a

x2+2ax+—a,x<0

综上,。)=<0/=0，

3

—x~+26zx——>0

若戈=0是方程f(x)=*+3的一个根，

则。=0,此时/(x)=or+],即f(x)=o,

x2,x<0

而/(x)=<0,x=0，在R上单调递减，

-x2,x>0

当〃=0时，原方程有一个实根.

当/<0时，x+2or+—a=or+—,

22

所以d+av+auO，当x=—1时不满足,

x21

所以。=-----=-(x+l)+-------+2,

X+1—(X+1)

当/>0时，一丁+24%-3。=奴+@,

22

所以——⑪+2。=0，当x=2时不满足，

r24

所以4=±二%-2+二一+4,如图：

x-2x—2

若方程/(x)=奴+万有两个不同的实数根，

则avO或4va<8：

若方程/。)=办+£有4个不同的实数根，则。>8.

故选：AC

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是将方程/(幻二融+］进行参数分离，再借助数形结合法，求

出对应的参数的取值范围.

|log3x|,0<x<9

3.已知函数〃力={(4上吟Q6-7,若〃4)=/e)=/©=/(“)，且

2sm—x+—,9<x<17

【44)

a<b<c<d,贝ij()

A.ab=\

B.c+d=26冗

C.出心/的取值范围是(153,165)

D.a+〃+c+d的取值范围是(28,丁

【答案】ACD

【分析】

作出函数/(%)的图象，利用对数的运算性质可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对

称性可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用双勾函数

的单调性可判断D选项的正误.

【详解】

由|log3N«2可得—2«log3xW2,解得

作出函数外力的图象如下图所示：

由图象可得

由MgadTlog0,可得一log3a=log36，即log?〃+log3b=log?(")=0,得

ab=l,A选项正确；

令号+5=]+&4（ZwZ）,解得x=4k+1（左wZ）,

当x«9/7）时，令9V软+1V17,解得2vL<4,由于女wZ,，&=3,

所以，函数y=2sin•+?）（工£[9[7]）的图象关于直线1=13对称，

则点（c,/（c））、（d,/（d））关于直线1二13对称，可得c+d=26,B选项错误;

而CY/=C（26—C）=—（C-13）2+169«153/65）,C选项正确；

a+b+c+d=a+—+26,下面证明函数y=x在(0,1)上为减函数,

任取X］、%£(0,1)且内〈/，则

(1)(1)/)

M_丫2=X+--工2+一=(x1-x2)+

=(%—%)+迨二！=心但二D,

x}x2

vO<Xj<Xj<1,则西一w<0，o<x}x2<1,所以，y>必，

所以，函数y=x+，在（0/）上为减函数,

X

।।/3316'

**—<a<\,则a+b+c+d=〃H----1-26GI28,-----,D选项正潴.

9。199JJ

故选:ACD.

【点睛】

方法点睛：己知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法:

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解法；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

—Tr>1

4.已知函数-，若存在实数。，使得〃〃)=/["〃)]，则0的个数

X,X1

不是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】ABD

【分析】

令/(a)=f,即满足了8)=/,对t进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满

足题意的3进而求得。.

【详解】

令/(。)=£,即满足/(f)=r,转化为函数x=f(。与必=1有交点，结合图像

由图可知，1有两个根1=0或1=1

(1)当f=l,即=由/(〃)=<2,，得々=±1时，经检验均满足题意；

[ata<\

(2)当r=0，即/(a)=0,当4之1时，f(a)=2-a=0,解得：a=2；当avl

时，/(〃)=/=0,解得:a=0；

综上所述：共有4个a.

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解役；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图像，利用数形结合的方法求解

Q

5.对于函数〃力=%+一，则下列判断正确的是()

X

A./(X)在定义域内是奇函数

B.函数/(x)的值域是(YO,-6]36,+°0)

C.%,/w(0,3),x尸占，有""」"“)>()

玉一马

D.对任意ApWWe，4"00)且％工工2,有<g[/(xJ+/(“2)]

【答案】ABD

【分析】

根据函数奇偶性定义判断”力的奇偶性，利用基本不等式求/(X)的值域，设

以止皿，。的大

0<芯<±<3,根据解析式判断了(%),.f(s)的大小，进而确定

小关系，应用作差、作商法判断27("殳｝/(芭)+/(%)大小关系，进而确定各项的

正误.

【详解】

gQ

A：由解析式知：定义域为1工0,f(-x)=-X+—=-u+-)=-f(x),即/(x)在定

-XX

义域内是奇函数，正确；

B：当x>0时，〃x)=x+222,，=6当且仅当x=3时等号成立；当x<0时有

-x>0,/(x)=-[(-x)+(--)]<一2J(—x)•(-？)二一6当且仅当/=一3时等号成立;

故其值域(f,-6]u[6,+8),正确；

999

C：当。<$<X2<3时，/(百)一/(工2)=玉一“2+---------=(不一々)(1--------)，而

«Ak|"2X]工.？

1--<0,则所以错误；

X\X2X-W

j八r+%2)36

D：若2/''=x}+x2+---------,

\2JX]+x2

「「99

f(xi)+f(x2)=x]+x2+—+一,所以

X9

36

xl+x2r,/、rzXI3699\_X.+X..cs

-[/(^l)+/(^2)]=-----------(z一+-),而---77-=----------T<1，即

2X1+W%2)

X2―+―(%+工

XX?

(X]+x2<^[/(Xl)+/(X2)]>正确;

<2

故选:ABD

【点睛】

关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大

小，判断各选项的正误.

6.已知5“=3，8"=5，则()

A.a<bB.-F—>2C.a+—<b+^-D.a+ab<b+ba

abcib

【答案】ABD

【分析】

根据条件求得。力表达式，根据对数性质结合放缩法得A正确，根据不等式性质得B正

确，通过作差法判断C错，结合指数函数单调性与放缩法可得D正确.

【详解】

解：:5“=3，8”=5，

/.a=log：,b=logg,

1

因为34v5-=>3<5=>Iog53<log55*=j，

又由54>83=5>8,=logg5>logs84=5，所以选项A正确；

0<a=logj<1,0<Z?=log^<l.->1,所以选项B正确：

abab

因为a<b,0<a<h<\,则6—。>0,二>1，此时

ah

1乙”,2b-a人/1八八

a-\-----Z?+—=(a-b)+--------=(b-a)------1>0,

a\b)ab\ab)

所以a+L〉h+L,故选项C不正确：

ab

133

由4一和W<b〈l知/(x)="与g(x)=//均递减，

再由。，匕的大小关系知〃〃+故选项D正确.

故选：ABD

【点睛】

本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法.

7.下列命题正确的有()

A.已知〃＞0,方＞0且〃+匕=1,则,

2

B.3“=46=拒，则"3=0

C.丫=丁一3/一工的极大值和极小值的和为_^

D.过A(-1,O)的直线与函数丁=/一工有三个交点，则该直线斜率的取值范围是

(-1,2)U(2M)

4

【答案】ACD

【分析】

由等式关系、指数函数的性质可求20从的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求

土二；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与y二d一X有

ab

三个交点，即可知h(x)=x2-工-2有两个零点且工二一1不是其零点即可求斜率范围.

【详解】

4选项，由条件知b=l—々且0＜々＜1,所以。一匕二加-1£(—1,1),即，＜2"-”＜2：

2

8选项，3"=4"=有a=log3，b=log4V12,而

a+b11c,八一

——=-+-=2(log3+logp4)=2；

ababp

C选项，y'=3/—6x—1中/＞0且开口向上，所以存在两个零点且不+为=2、

百巧=一§，即占,电为y两个极值点，

所以y+%=(8+工2)[(X+%2)2一]一3[(、+/)2-]一(X+/)=-6;

。选项，令直线为y=%(x+l)与)，=d-X有三个交点，即g(x)=(d一x-Q(x+D有三

个零点，所以人")=/-工-2有两个零点即可

△=1+4女>0解得g-2）U（2收）

力（一1）=2—4。0

故选：ACD

【点睛】

本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范

围，属于难题.

8.设旧表示不超过x的最大整数，如：[1.2]=1,[-1.2]=-2,y=[x]又称为取整函

数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计

费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）

A.[2X]=2[X]

B.Yx,yeR,若[可=[习，则x-y>T

C.VXER,[小x+；=[2x]

D.不等式2[xf一[同一320的解集为{MxvO或不22}

【答案】BCD

【分析】

通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式2/-f-320的

解后可得不等式2K『一[可—3之0的解集，从而可判断D正确与否.

【详解】

对于A,%=贝"2x]=[—3]=-3,20=2x（—2）=T,故[2月声23，故A不成

立.

对于B,[x]=[>,]=m,则mW/<机+1,〃2«y<〃z+l,

故一加一1V-yK-〃2,所以工一）>一1,故B成立.

对于C,设％=机+乙其中mwZ,rw[0,l）,

则[4+工+；=2m+r+；,[2x]=2/n+[2r],

若则r+g=0,[2r]=0,故卜]+x+g=[2x]；

若则r+i=1,[2r]=1,故[X]+x+-=[2x],故c成立.

对于D,由不等式2[x『_国一3之o可得国<_1或区ng,

故x<0或xN2,故D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部

分和小数部分的关系，本题属于较难题.

9.已知正数x，y，z,满足3'=4'=12"则（）

,o,121

A.6z<3x<4yB.—+—=—

xyz

C.x+y＞4zD.孙＜4z?

【答案】AC

【分析】

令3,=4）'=12：=机＞1，根据指对互化和换底公式得：

-=log,"3'=log,,,4,-=log,,,12,再依次讨论各选项即可.

xyz

【详解】

由题意，可令3*=4「=12二=机>1，由指对互化得：

111

=x=y,=z,

log,”3log,”4log,/2

由换底公式得：一=log„,3,—二log,〃4,一=log“J2,则有一+—二一，故选项B错误；

xyzxyz

174

对于选项A,----=log,12-log,„9=log„->0,所以x>2z,又

zxnf3

---=log81-log,64=log77>o,所以4y>3x,所以4y>3x>6z,故选项A

xym,?Wi64

正确；

,II1

对于选项C、D,因为一+一=一，所以Z=x一y一,所以

xyzx+y

4—二至匕生型J型耳<0

(x+y)(x+y)

所以“＞4Z2,则z（x+y）＞4zt则x+），＞4z,所以选项C正确.选项D错误;

故选:AC.

【点睛】

本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本

111

题解题的关键在于令3*=4V=12:=加＞1，进而得;r=417=Xi77=2

1呜3log,,4log,/2

再根据题意求解.

八"皿“、xx+1x+2

10.已知函数/（%）=----+-----+-----,下列关于函数/（文）的结论正确的为（）

x+1x+2x+3

A./（幻在定义域内有三个零点B.函数/（x）的值域为R

C./0）在定义域内为周期函数D./0）图象是中心对称图象

【答案】ABD

【分析】

将函数变形为了（幻=3-1一1+-!~:;+工］,求出定义域，结合导数求函数的单调性

\x+\x+2x+3）

即可判断BC,由零点存在定理结合单调性可判断A,由f(x)+/(T—x)=6可求出函数

的对称点，即可判断D.

【详解】

/(x)=1-+1—+1-=3-f—+—+—

解：由题意知,

x+1x+2x+3\x+\x+2x+3J

定义域为(",一3)D(—3,-2)D(-2,T)”)，

r(X)=7------T----~r〉0

(x+1)2(x+2)2(x+3)2，

所以函数在(YO,-3),(-3,-2),(-2,—1),(-1,+x))定义域上单调递增，C不正确；

(3、37I2

当x>-l时，/=-3+—+—<0,/(0)=-+->0,则(-1,+Q0)上有一个零点,

\•/JLJLJLJLJ

当xe(_2,—l)时，/(一()<°，/(一；)>°，所以在工£(-2,一1)上有一个零点，

当了«—3,—2)时，/^-yj<0,/f-|j>0,所以在x«—3,—2)上有一个零点，

当xv—3,/(x)>0,所以在定义域内函数有三个零点，A正确；

当x<0，x->T-时，当x->+oo时，/(x)^+oc,

又函数在(—1,”)递增，且在(一1,转)上有一个零点，则值域为R,B正确；

44、°r1111幺r111vi公、

U+lx+2x+3j[U+lx+2x+3jjv7

所以/G)+/(T—力=6,所以函数图象关于(-2,3)对称,D正确;

故选:ABD.

【点睹】

结论点睛：

1、y=/(x)与y=-/(x)图象关于x轴对称；

2、y=/(x)与y=/(-x)图象关于y轴对称；

3、y=/&)与丁=/(2。一元)图象关于工=。轴对称；

4、y=/(x)与丁=2。一/(工)图象关于y=a轴对称；

5、y=/(x)与y=2Z?-〃2。一工)图象关于(凡。)轴对称.

二、导数及其应用多选题

11.已知函数/(x)=sinox-asinx,XG[0,2^],其中々一lna>l,则下列说法中正

确的是()

A.若/（九）只有一个零点，则

B.若/（力只有一个零点，则〃x）NO恒成立

（3、

C.若/（%）只有两个零点，则。W1,-

\乙）

D.若“X）有且只有一个极值点则/（%）＜〃+".一"〃恒成立

【答案】ABD

【分析】

利用"0）=0以及零点存在定理推导出当〃＞1时，函数外力在［0,2句上至少有两个零

点，结合图象可知当0＜4＜1时，函数/（X）在（0,2万）上有且只有一个极值点，利用导数

分析函数/（%）在（0,2乃）上的单调性，可判断A选项的正误；利用A选项中的结论可判断

B选项的止误；取。=5,解方程“x）=O可判断C选项的正误；分析出当了（/）在

（0,2%）上只有一个极值点时，0＜々＜1,分Q=g、0＜a＜；、；＜〃＜1三种情况讨

论，结合sinxvx可判断D选项的正误.

【详解】

构造函数g（x）=xTnx-1,其中工＞0,则/（力二1一!=:^一I

XX

当Ovxv」时,g\x）＜Of函数g（x）单调递减;

当X＞1时，g'（x）＞0,此时，函数g"）单调递增.

所以，g（xL=g（l）=S

•：a-\na＞\^.二。＞。且awl.

/(x)=sinar-asinx,则f(0)=0.

.7t.an_

当。＞1时,=sin----asm—=sin----Q<0,

222

由零点存在定理可知,

所以，当心1时，函数/（X）在区间［0,2句上至少有两个零点，

所以，当函数/（力在区间［0,2句上只有一个零点时，0＜々＜1.

对于A选项，当Ova＜1时，f'［x）=acosax-acosx=a（cosax-cosx）.

,/0<«<1»则0〈竺0<2a/r<2TV

22

乃an八

=tzcos——>0,广(21)=4(cos2初-cos21)=a(cos2白n-l)<0,

2;2

由零点存在定理可知，函数/（力在区间住,2万上至少有一个极值点,

IN/

令/[x）=0,可得cosor=cosx,

当工£（0,2乃）时，0<OX<X<27T,由（：05⑪=（:05]=（：05（2万一工），可得

OX=2TT-X»解得x=-^-,

a+\

2乃

所以，函数/（另在区间（0,2万）上有且只有一个极值点％=，石.

作出函数y=cosor与函数％=cosx在区间[0,2句上的图象如下图所示：

由图象可知，函数乂=cosar与函数％=cosx在区间（0,24）上的图象有且只有一个交

点，

记该交点的横坐标为％,当0〈冗〈演）时，cosar>cosx,此时/'（x）>0；

当与vxv24时，cosax<cosx,此时/'（x）v0.

所以，函数/（“）在区间（0,%）上单调递增，在区间（.0,24）上单调递减.

所以，=/（为）>〃°）=°，又〃2i）=sin2a%.

若函数”力在区间[0,2句上有且只有一个零点，则/（2;r）=sin2M■>（）.

*/0<6（<1,则0<2«%<24，所以，金<2a7T<冗，解得0<avg,A选项正确：

对于B选项，若函数/（力在区间[0,2句上有且只有一个零点时，

由A选项可知，函数“力在区间（0,与）上单调递增，在区间5,2乃）上单调递减.

Q/（0）=0,/（2万）=sin加%>0,所以，对任意的xc[0,2〃],/（x）>0,B选项正

确；

对于C选项，取〃=一，则

2

.X1..X.XX.x(-x\

=sin----sinx=sin——sin—cos—=sm—1-cos—

22222^2)

v0<x<2^-，则(万，令f(x)=0,可得sin±=O或cos2=l,可得±二0或

2222

x

—=7T,

2

解得x=0或工=2万.

所以，当a=g时，函数/（力有两个零点，C选项错误；

对于D选项，当时，若0</<2乃，PPJ0<ar<2a/r,且2。万>24，

当xw（0,2乃）时，令了'（力=0,可得出cosax=8Sx=cos（2Z乃士x）（ZwZ）,至少可

得出ar=2;r-x或ar=x+2;r,

即函数/（同在区间（0,24）上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，Octvl.

下血证明：当0<x<］时，sinx<x,

构造函数〃(x)=x-sinx,其中Ovxv],则〃'(％)=1-8sx>0,

所以，函数〃(x)=x-sinx在区间。费)上为增函数，所以，力(x)>〃(O)=O,即

sinx<x.

分以下三种情况来证明/(%)<“+1一乃恒成立.

)=a(cos~一cos%)=0,可得cosar。=cosx(),

24

0<ar0<x0<2^,由cos”=cos/可得出"=24一%,所以，X=----.

a+\

则sinax^=sin(2万一%)=-sin/.

|Q|

①当a=一时，=—,M/(x)=sin—一一sinx,

3233

ur(\^+1-|3d-l|

即n/()<-----------•冗成立；

②当o<a<1时，x0=-^-el—,27r,

3a+lI2J

则/(-^))=sinax0-tzsin^=-sin%-asin/=-(〃+l)sin%=-(a+l)sin

2万/,1、2a7r_

（〃+l）sin=（。+1）sin|2^--=（6t+l）sin----＜（6f+1）-----=2a北

＜4+1I〃+Dl7a+\v7a+\

2

I

（3期）

③当大＜。＜1时，％=~G

3a+\rTr

f(%)=sino^-asir1Ao=-sir)M-asin/=-(a+l)sin^=(a+l)sin(一%)

/'/\/…，24…(1一。)乃/、(1一")1

=(a+l)sm—4)=(a+IJsinl-~--71=(〃+IJsin----j—<(a+1)•----j—

,、a+1-13a—11

=(1一乃=------------兀.

综上所述，当函数/(x)只有一个极值点/时，+万恒成立.

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与X轴的交点问题，突出导数的工具作用，

体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线y=a

与函数y=g(x)的图象的交点问题.

12.已知函数〃力二厂+：-1,则下列结论正确的是()

A.困数”封存在两个不同的零点

B.函数/(力既存在极大值又存在极小值

C.当一evA<0时，方程〃力=々有且只有两个实根

D.若xw[z,+co)时，/(x)max=p-,则Z的最小值为2

【答案】ABC

【分析】

首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选

项.

【详解】

对于A.7(x)=O=>x2+x-l=O,解得％=二1主叵，所以A正确；

2

对于B.f<x)=_LX2__(x+])(X—2),

exex

当f'(x)>0时，一lvxv2,当f'(x)v。时，x<-l^x>2>

所以(-8,-1),(2,+8)是函数的单调递减区间，(-1,2)是函数的单调递增区间，

所以/(-1)是函数的极小值，/(2)是函数的极大值，所以B正确.

对于C.当Xf+8时，>-0,根据B可知，函数的最小值是/(—1)=-e,再根据单调

性可知，当-evZvO时，方程『(%)二上有且只有两个实根，所以C正确；

对于D：由图象可知，t的最大值是2,所以D不正确.

故选：ABC.

【点睛】

易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数

的导数，令导数为0,判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是

(2,E)是函数的单调递减区间，但当人一母时，yf0,所以图象是无限接近方轴，

如果这里判断错了，那选项容易判断错了.

13.已知偶函数y=/(x)对于任意的xw0,彳｝茜足r(x)cosx+f(x)sinx>0(其中

/'(X)是函数”力的导函数)，则下列不等式中不成立的是()

A.可兰卜/图

C./(0)＞何0、

\4)

【答案】ABC

【分析】

构造函数g(x)=")结合导数和对称性可知g(x)为偶函数且在4W0,1上单调递

COSX

增，即可得苧/闺(何仔)<2/与，从而可判断ABD选项，由

(兀、

g(0)<g7可判断c选项.

【详解】

因为偶函数>=/(%)对于任意的0,g满足/'(x)cosx+/(x)sinx>0,

/、f(x)…，f(x)cosx+f(x)sinx

所以构造函数g(x)=-----,则g(x)=—―--------Z——------->0,

cosxcosX

・•.g。)为偶函数且在0,1上单调递增，「.g

I3

7T

7T兀

g=g

4J7cr»oosc—回'"/

4

故选：ABC.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对

应的新函数g(x)=/£,利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑

COSX

推理能力与转化思想，属于较难题.

14.已知函数了(另对于任意xcR,均满足/(工)=/(2一力.当工<1时

lnx,0<x<l

/(力=<,若函数g(x)=mW-2-7(x),下列结论正确的为()

e\x<0

A.若团<0，则g(R)恰有两个零点

B.若5<〃z<e,则有三个零点

3

C.若0<m<屋则g(x)恰有四个零点

D.不存在川使得g(x)恰有四个零点

【答案】ABC

【分析】

设〃(%)=加国一2,作出函数g(x)的图象，求出直线)=g-2与曲线

》=1。戈(0<]<1)相切以及直线丁二如一2过点从(2,1)时对应的实数加的值，数形结合

可判断各选项的正误.

【详解】

由〃x)=/(2-力可知函数/⑺的图象关于直线大=1对称.

令g(x)=O,即时才一2=〃力，作出函数的图象如下图所示:

令人(切=向乂-2,则函数g(x)的零点个数为函数〃力、M%)的图象的交点个数,

,”(x)的定义域为R,且力(一x)=时一乂-2=制乂-2="(力，则函数力(x)为偶函

数，

且函数〃(x)的图象恒过定点(0,-2),

当函数/z(x)的图象过点A(2,l)时，有6(2)=2加一2=1,解得加=/.

过点(0,-2)作函数丁=11(0〈工〈1)的图象的切线，

设切点为对函数y=lnx求导得y'=’,

X

所以，函数y=lnx的图象在点(%,比不)处的切线方程为丁一1。%二一"一%),

%)

切线过点((),一2),所以，一2-111马=-1,解得拓二L则切线斜率为e,

e

即当根=e时，函数y=〃(x)的图象与函数、=1门(0<％<1)的图象相切.

若函数g(x)恰有两个零点，由图可得6K0或〃?=e,A选项正确；

若函数g(x)恰有三个零点，由图可得5Vm<e,B选项正确；

3

若函数g(x)恰有四个零点，由图可得0<相05,C选项正确，D选项错误.

故选：ABC.

【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与不轴的交点问题，突出导数的工具作用，

体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出4=g(x),将问题等价转化为直线y

与函数y=g(x)的图象的交点问题.

15.若函数/(可满足对于任意西,毛£(0,1),土沪丝止誓^1,则称函数

/(力为"中点凸函数则下列函数中为“中点凸函数”的是()

A.f(x)=x2-2xB.f(x)=tanx

C./(x)=sinx-cosxD.f(x)=eAinx

【答案】ABD

【分析】

用计算2/■)_/(%)；/(%)的正负值来解,运算量大，比较复杂.我们可分析“中

点凸函数”的几何特征，结合图像作答.

由已知“中点凸函数”的定义，可得"中点凸函数”的图象形状可能为：

【详解】

由“中点凸函数"定义知：定义域内办,X2对应函数值的平均值大于或等于七也■处的函数

值，.••下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线•定在图象上方或与图象重合.

设8卜2，/（々））为曲线在（°，1）上任意两点

A、B、C、D选项对应的函数图象分别如下图示：

①f（x）=%2-2%

符合题意

@/(x)=tanx

放大局部图像可见，在鬟』段，并不满足不々对应函数值的平均值大于或等于百芦

处的函数值.

不合题意

(4)/(x)=er-Inx

f\x)=e--,/(x)=ex+4>°

XX

根据导函数作出图像如下

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函

数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推埋与运算能力.

16.若存在实常数k和b,使得函数外力和G（力对其公共定义域上的任意实数x都满

足：歹（力之丘+人和G（x）«Ax+b恒成立，则称此直线丁=履+力为/（X）和G（x）的"隔

离直线"，已知函数/（x）=x2（xwR）,^（x）=-（x<0）,h（x）=2e\nx（e为自然对数的

X

底数），则下列结论正确的是（）

A.机（/）=/（同一g（力在一盅,0内单调递增

B./（X）和g（x）之间存在“隔离直线,且b的最小值为4

c./（力和g（力间存在"隔离直线"，且k的取值范围是（-U]

D./(x)和〃(x)之间存在唯一的“隔离直线"y=2m—e

【答案】AD

【分析】

求出m(x)=/(x)—g(x)的导数，检验在工《一点,0内的导数符号，即可判断选项

A；选项B、C可设/(X)、g(x)的隔离直线为¥=辰+)，f2履+6对一切实数x都成

立，即有4工0,又，(履+〃对一切/<0都成立，A2<0,k&0,人40,根据不等

x

式的性质，求出女、人的范