淄博某中学高三期末试题 -部分详细答案

淄博实验中学2018级(高三)第一学期第二次模块考试2021.01

数学答案

一、选择题(共12个小题，每小题5分，共60分.其中1-8为单选，四个选项中有且只有一个是正确的；9-12

为多选，全选对得满分，选对但不全得3分，有选错者不得分)

1、集合A=[xeN^用列举法可以表示为()

3-x

A.{1,2,4,9}B.{1,2,4,569}

C.{-6,—3,—2,—1,3,6}D.{-6,—3,—2,—1,2,3,6}

答案是B

2.若土卢(〃,b£R)与(1+炉是相等复数，则4+白的值为()

A.2B.-2C.-3D.3

答案是B

3.函数外)=1门一火的图象存在与直线x+2y=0垂直的切线，则实数。的取值范围是()

A.(—8,2]B.(—8,-2)C.(-2,+8)D.(2,+~)

解析由题意知与直线x+2y=0垂直的切线的斜率是2,所以尸(x)=2在(0,十8)上有解.

•"'(彳)=：一。=2在(0,+8)上有解，则〃=：—2.

因为彳>0,所以[-2>—2,所以a的取值范围是(-2,+8).答案c.

x-2

4.已知〃：A=\x\--<0^^：3={不以一。<0},若P是q的必要不充分条件，则实数。的取值范围是()

1-xJ

A.(2,+00)B.[2,4-00)C.(-00,1)D.(YO』]

答案是D

5.己知函数/㈤=3cos(a)x+>)+1(3>0,即|V3其图象与直线N相邻两个交点的距离为手若纲>1

对任意大€(-羽恒成立，则(P的取值范围为()

解：•・•函数/(X)=3COS(3X+»)+1(3>0,|S|<£),其图象与直线片4相邻两个交点的距离为

23

***3=3.若对任意XW(―恒成立，则XE(―时，cos(3x+3)>0恒成立,

由cos(3x+<p)>0得2A/r——<3x+(p<2kn+—,kEZ,即—<x<—£kEZf

N/363363

7T>JT(p

所以(一.5G(一合，合乎所以一号一求得-三>工0,满足1初〈》故选：C.

XZaOOOO«3*r4

6-6-7

【详解】由题意，函数/(力=之等的定义域为(—,0)(0,+8),关于原点对称,

X

且〃一力=21=2。=一亡等二二一/(力所以函数"可是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C；

(-x)x

又由当X£(0,4)时，/(x)>0排除A,D.故选：B.

22

口FC\---=1(<7>Z?,Z?>0)r

7、勺，4是双曲线a-b-的左、右焦点，过左焦点’的直线，与双曲线C的左、右两支

分别交于A,8两点，若|Aq=忸司=|4周，则双曲线的离心率为(D)

A.2B.75C.V6D.J7

,、2

8.已知函数/(力=2020/+]+sinx,贝fl

/(lnl)±“In2)+/(ln3)+…+〃ln2020)+/(ln扑小扑…+小圭)=()

A.4038B.4039C.4040D.4041

272

【详解】=--------+sinx,则/(x)+/(-x)=------------+sinx+------------+sin(-x)

')2020,+1八…')2020*2020-+11)

=____2____।_2__x_2__0_2_0='2八

2020,+12020v+l

、/仇；卜…+/(ln

(1

/(lnl)+/(ln2)+/(ln3)+-4-/(ln2020)+/In-+2020；

\2)

=14/(ln2)+/fln^l+r/(ln3)+/fln^l+...+r/(ln2020)+Xln^

=2019x2+1=4039故选：B

9在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，

每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A、B、C、。四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大

规模群体感染标志的是（AC）

A.4地：中位数为2,极差为5B.8地：总体平均数为2,众数为2

C.C地：总体平均数为2,总体方差为3D.D地：总体平均数为1,总体方差大于0.

10.己知数列｛4｝的前〃项和为S”，下列说法正确的是（）

A.若工=1+1,则｛4｝的通项公式q=2〃—1

B.若用=3"-1,则｛勺｝是等比数列

C.若｛《｝是等差数列，则良=9里

D.若｛〃〃｝是等比数列，且q>0,9>0,则耳心3>5；

答案：BC

11.已知函数/（x）=夕-公2为常数），则下列结论错误的是（）

A.若〃力仅有1个零点，则a的范围为（0,二）

B.时，x=1是/（x）的极小值点

【解析】对A:若“力="-公2仅有1个零点，即y=a与g（x）=J■仅有1个交点，由g（x）=w，得

,⑺J则g（x）在（_8,o）上单调递增，在这个区间内的值域为（0,+8）,

XX

-2、X

g（x）在（0,2）上单调递减，在（2,+00）上单调递增，在此区间内的值域为y,+OO，故y=a与g（x）=W仅

_4Jx

2

有1个交点，则0<〃<J,故A正确

........\BN\|5dI

设|A厂|=射，则忸个==="解得忸c|=,,|NC|=g,.•.tanZCBN=g,

4

又ZCBN=ZCFO=^AFx,故直线AB的斜率为

4

故答案为：-

15（改编）算盘是中国传统的计算工具，其形为长方形，周为木框，内贯直柱,俗称"档"，

档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后拨珠计

算.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.如图，若拨珠的三档从左至右依次定位：百

位档、十位档、个位档，则表示数字518.若在百、十、个位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位

各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为.5

9

16.已知函数=若x=2是函数/（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为

【答案】（-co,e]

［详解］由题可得exx2-2xex/21A

因为彳=2是函数””的唯一一个极值点，所以x=2是导函数广（x）的唯一根，所以攵=0在（0,+8）上无

X

变号零点.设g（x）=交,则g，当不«点1）时,gz（x）＜0,g（x）在（0,1）上单调递减

XX

当X£（l,+oo）时，g＜x）＞0,g（x）在（1,物）上单调递增所以g（x）dn=g（l）=e，

结合g（x）=《与y=R的图像可知，若％=2是函数/（力的唯一极值点，则左Ve

X

故实数k的取值范围为（—*].

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.如果数列｛q｝满足%=:，且“"7一“〃:4一"向（〃之2）.

254_]4+1

12"

（1）求证：数列〈一｝是等差数列（2）令勿=一,求数列｛包｝的前几项和7；

aaaa21]

(1)由题易知为*0.当〃N2时，由已知得1一一-=—-1,.\2=-^-4-^,—=—+—,

%%+i%4+i凡4+1

・••当7t£N♦时，数列是等差数列.

(2)设，」-»的公差为d.又•.•〃=,:.—=2,—=5,d=----=3,

aa

an]25%gi\

112”

,—二3〃-1,=----.可得a=—=(3n-1)-2n.

a

n3n-lan

・•・数列也｝的前〃项和7；=2X2+5X22+8X23+L+(3n-l)-2\①

27；,=2X22+5X23+8X24++(3〃-1>2叫②

②一①可得7；=-4-302+23+2"+L+2")+(3〃-1)-2川

=-4—3><2)+(31).2〃+i=8+(3n-4)-2,,+I.

18.在A4BC中，角A,B,。的对边分别为。，b,c,F

b-csinA+sinC

(I)求角A的大小；

(II)若AABC为锐角三角形,且Q=4,求△ABC周长的取值范围.

解：(I)因为F=由正弦定理可得F==，即为炉+。2-小=儿

b-cainA^sinCb-ca+c

由余弦定理可得。。54=笔也=；，因为A6(0，〃)，所以4=*

(II)在A8C中由正弦定理得彘=岛=短，又a=4,

所以b=—sinB,c=—sinC=—sin(空—B),

333\3J

所以b+c=苧sinB+苧sin(专一B)=sinB+日cos3)=8sin(B+'),

0<5<^1r

2

因为△ABC为锐角三角形，所以2n/且

32

所以,V8V]且B手三,所以；<B+^<等且8+^p所以/<sin(8+%)V1,

所以b+ce(4V3,8),所以△ABC周长a+b+c的取值范围是(4+46,12).

19(12分)如图，在四棱锥P—A3C。中，PC1底面ABCD，AB=AD=\,AB〃CD,AB工AD，点E为PC

的中点.平面A8E交侧棱PD于点尸，四边形48E/为平行四边形.

(1)求证：平面PBO_L平面P8C；

1

(2)若与平面尸A8所成角的正弦值为求二面角A-P5-C的余弦值.

解；(1)证明；四边形AB£尸为平行四边形，"J

:.AB呼,又AB//CD..EF//CD,又点E为Z/PC的中点

:.C£)2=E呼...............1分////\*

二在直角梯形ABCD中，AB=AD=I,CD=2可得、\c

连接BD,易得BD=BC=&BD2+BC2=DC2/----------，

y

dBD上BC又PC,底面ABCD,BDu平面ABCD

BD1平面PBCBDU平面PBD,.二平面PBD1平面PBC

(2)由(1)知CD=2,.•.在直角梯形中可得NDCB=45°又PC1底面ABCD

.•.以C为原点，CD为x轴,CP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A(2J0),B(lJ0),O(2Q0)设

尸(0,0,力(力>0)

BA=(1,0,0),BP=(-1,-1,h),DP=(-2,0,〃),BD=(1,TO)

BD1平面PBC.•.平面PBC的法向量可取3o=(]70)

设平面ABP法向量为〃=(x,yz)由3.%二。，得卜二。

'aBP=O,[-x-y^hz=O

可取Cl=(0,h,1)|cos<~DP,d>|==:解得h=V2

.0.T=(0,V2,1)COS<->,—>=~r^~7=—由题意可知为钝二面角

av/aBDV2-V33

故所求二面角的余弦值为一苧

20、已知椭圆。：「+4=1(。>人>0)的左右焦点分别为耳，鸟，且椭圆C过点Mx^,-y，离心率e=3,

\/

点P在椭圆。上，延长尸耳与椭圆C交于点Q,点R是叫的中点.

(1)求椭圆。的方程.

(2)若点0是坐标原点，记。耳。与尸耳&的面积之和为S,试求S的最大值.

33i

-7-*---r=1

/4/22

【详解】（1）由《a2=b2+c2得：a=2,b=5。=1，，椭圆C的方程为二十匕

43

c1t

e----

a2

（2）连接OR,PO,O,R分别为耳思，尸用的中点，.、OR〃珍,

•・PF】R与尸大。同底等高，「S■■阳=S%。,

..S=S7QFQ+SvPF\E=S'PQQ.

①当直线PQ的斜率不存在时・，其方程为X=-1,此时

s-Lxlx2-3

◎PQO-3

22

②当直线P。的斜率存在时，设其方程为：y=Z（x+l）,

设P（N，y）,。（和%），显然直线PQ不与x轴重合，即2生0；

(y=&(x+i)

2

联立x2),2得：(3+4-)电+8心+4/-12=0,A=144(^+l)>0,

T+T=

8Z422—12

则笠+再二一-----r，X.Xj=------

3+4公123+44

12(1+巧

|P0|=Jl+公|%一司='1+左2+1)―4%］工2=

3+4公

」k

又点。到直线PQ的距离d=-F=^=

,/2(公+1)

5=—|PQ\•(7=6J-------y,令a=3+4A2G(3,+QO),

2(3+4左2y

(〃3)(a+l)_3与二十1，

则5=6.

26ra

、I39

6;G(3,4-00),

a

z

r3-

sG2

0,2-

上

综xL-,则s的最大值为5.

21.(12分)已知函数/(*)=(工+.)限，g(x)\f+x(〃<0且a为常数).

(1)当。=0时，求函数/(工)的最小值；

(2)若存在xe(l,2］使得/(力之8(切一21-2成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)f(x)的定义域为(0,30),当a=0时，f(x)的导数/(x)=l+hu:

令/(/)>0,解得令广(%)<0,解得0<x<g.从而/(力在(0《)单调递减，在Q,+oo)单调递增.所以，

当x=J■时，*刈取得最小值-L

ee

(2)令尸(x)=/(x)-g(x)+2fl+2=(x+a)lav-^x2-x+2a+2\\<x<2),

那么,存在工£(1,2］使得f(x)Zg(x),只须产(力皿NO即可,

Fr(x)=lnx+--ar,且尸'(1)=0,

i己G(x)=尸'(彳)=］11丫+@—0¥,(1vxW2),G'(x)=，一二一a，

XXX

由已知。40,所以对于任意xw(l,2］,都有G(X)」一与一〃>o恒成立，

XX

所以G(x)=F(x)=Inx+g-ar,(lvxW2)为增函数，

又因为G⑴=/(卜(，所以G(*=尺>>0在。,2］上恒成立，所以尸(x)在(1,2］上单调递增，故

%(彳)=产(2)=(2+a)ln2-2a-2+2a+2=(2+a)ln2,

由(2+a)ln220,解得-2«a«0,

所以，当-2«aM0时,存在xe(l,2］使得/(力之g(jv)—加一2成立.

22.随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百

姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功

后将在全市进行推广.

(1)公司内部测试的活动方案设置了第i(ieM)次抽奖中奖的名额为3i+2,抽中的用户退出活动，同时补充

新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束.参

加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.

①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少？

②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望？

(2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利,现将在全市进行推广.报名参加第一次抽奖活动的有20万用户,

该公司设置了第次抽奖中奖的概率为#二每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新

用户，抽奖活动共进行2〃(〃£乂)次.已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这2〃次抽奖活动中中奖了，在此条

9

件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于；.

22.【详解】(1)①甲在第一次中奖的概率为P|

乙在第二次中奖的概率为〃

2=—X———.X123

②设甲参加抽奖活动的次数为X,则X=1,2,3,J_1610

P

33939

P(X=l)4=g；P-2)—_10*_8—_16

"1513"