2024-2025学年湖北省武汉第一初级中学九年级上学期第一次月考数学试题及答案

2024年九年级上学期数学9月同步练习一、选择题（共10小题，每小题3分，共分）1.3的相反数是（）113A.−B.C.3D.332.下列方程一定是一元二次方程的是（）112102+x+y=0C.x++1=0D.x2−=0A.xB.xxx3.如图有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.4.一元二次方程x2+3x−2=0根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能判定5.年人均可支配收入为万元，年达到年至年间每年人均可支x配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（）(+)2==(+)22==A.2.71x2.362.36B.2.361x2.72.7(−)C.2.71x2(−)D.2.361x6.以下函数的图象的顶点坐标为(0)的是（）y=2x2+3B.y=x−2)2C.y=2(x+2D.y=−x+22A.(+)(+)的值（m1n1）7.mn是一元二次方程x2+3x−1=0的两个根，则−3−1A.B.3C.1D.()所在的象限是（y=ax+bx+c的图象如图所示，则点Pc,b）28.已知二次函数A.第一象限9.若M=4xB.第二象限C.第三象限D.第四象限xN2−2x+17，N=3x2+2x+7，为实数，则M与的大小关系为（）第1页5页A.MC.MN10.A（﹣3，B1，（m，）在抛物线y＝ax+4+c上，且>NB.M<ND.M、N的大小关系与的取值有关xy1yy3y1y3y＜，则m的2＜2取值范围是（）A.﹣3m＜1B.5m＜﹣1或﹣3m＜1D.﹣5m＜﹣3或﹣＜m＜1C.m＜﹣3或m1二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）x−+=x=1，则m2xm0的一个根为的值为____．若关于的一元二次方程x212.点(4)关于原点对称点为__________．y=x2+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是13.将抛物线__________．中，∠°，C=°ABC绕点逆时针旋转α角度(°<α<180°)14.ABCBAC45=A0∥α=______度．得到，若，则2+2x(x≤0)xxy=15.已知关于的函数−x2+2x(x>0)()，()nn=1−Mx,mNx,m坐标为0的点有3是该函数图象上的两个点，则的最大距离是．其中正确的结论是__________−2mx+2m−（mx轴交于点、B或112y=x216.已知二次函数m线段上有且只有5个点的横坐标为整数，则的取值范围是__________．三、解答题（共8小题，72分）17.解下列方程：（1）x−2x=1；2（2）x2+6x+5=0．18.如图，在五边形中，∠EAB=∠BCD=90，，=∠ABC=α，AECDDE．+=第2页5页α（1绕点B顺时针旋转（2）求证：△EBD≌△MBD．，画出旋转后的BCM，并证明、、M三点在一条直线上；19.x的方程x﹣2k﹣1x+k＝0有两个实数根x，x．12（1k的取值范围；（2）请问是否存在实数，使得x+x＝1﹣xx成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．1212y=x2−4x+3与x轴交于、B两点，A在B左侧，与轴交于C点．y20.抛物线（1）C点坐标为，顶点坐标为；（2）不等式x2−4x+3>0的解集是；x2≤x≤3时，y的取值范围（3满足．21.如图是由小正方形组成的1010网格，每个小正方形的顶点叫做格点．、、C×刻度直尺在给定网格中完成画图．（1）在图1中，将线段绕A点逆时针旋转90°至AE，设的中点D，标出D点旋转后的对应点F；（2）在图2中，过B点作AC的平行线BG，在BG上取一点M，使=CAB．xy22.某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件）xyw是售价（元．．月销售利润月销售量售价进价×(=−表：第3页5页x售价（元件）3035y月销售量件300250w月销售利润元45005000yx（1）商品的进价为元件，关于的函数表达式为；（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；(≤)给精准扶贫对象，要求：在售价不低于m10m（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润m=元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为元，则．23.在菱形ABCD中，60°，∠=BD为菱形的一条对角线．FD=2BF；（1）如图1A作AEBC于点⊥E交BD于点，求证：F（2）在（）的条件下，若FE2，则菱形=ABCD面积为；（3）如图2，M为菱形ABCD外一动点且CMCB，连接AM，ꢀꢁ，试探究=DMBM的数量关系，请写出三条线段的数量关系明过程）y=ax2+bx−3(a≠0)(−)，()，xA1,0与轴交于点B3,024.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y与轴交于点C，D是该抛物线上的一动．（1）C点坐标为，该抛物线解析式为，顶点为；第4页5页（2）如图1中，连接、BD，直线AC交直线BD于点G，若∠CGB=45°，求此时D点坐标；（3）如图2，连接BC，过D点作BC的平行线交该抛物线于点E（不与DCD，直线CD与直线交于点P，求点P的横坐标．第5页5页2024年九年级上学期数学9月同步练习一、选择题（共10小题，每小题3分，共分）1.3的相反数是（）113A.−B.C.3D.33【答案】C【解析】【分析】本题考查相反数的定义，熟记相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义即可直接选择．【详解】解：3的相反数是3．−故选：C．2.下列方程一定是一元二次方程的是（）112102+x+y=0C.x++1=0D.x2−=0A.xB.xxx【答案】A【解析】2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答．x2+x+y=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项B不符合题意；【详解】解：方程11x++1=0x2−=0CD方程和方程都不是整式方程，都不是一元二次方程，故选项、不符合题意；xx2x10符合题意一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项A符合题意；故选：A．3.如图有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形°就叫做中心对称图形可得答案．第1页24页【详解】A、图形绕某一点旋转180后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；°B、图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；°C、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；D、图形绕某一点旋转180后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；°故选：B．4.一元二次方程x2+3x−2=0根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能判定【答案】A【解析】∆=b2−4ac=9+8=17>0abc=2==【详解】解：∵一元二次方程x2+3x−2=0中，，∆=b2−4ac=9+8=170，>∴∴一元二次方程x故选：A．2+3x−2=0有两个不相等的实数根，【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．5.年人均可支配收入为万元，年达到年至年间每年人均可支x配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（）(+)2==(+)22==A.2.71x2.362.36B.2.361x2.72.7(−)C.2.71x2(−)D.2.361x【答案】B【解析】【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意列出一元二次方程即可．x【详解】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得，x(+)=2.7，22.361x故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．6.以下函数的图象的顶点坐标为(0)的是（）第2页24页y=2x2+3B.y=x−2)2C.y=2(x+2D.y=−x+22A.【答案】B【解析】=(−)+k，2yaxh顶点坐标是(h,k)，根据这个模式求出每个函数的顶点坐标，再比较．y=2x2+3的顶点坐标是(0,3)，不符合题意；【详解】解：A、y=x−2)2的顶点坐标是(2,0)，符合题意；B、的顶点坐标是(−0)，不符合题意；C、y=2(x+2y=−x+2的顶点坐标是(0,2)，不符合题意．2D、故选：．7.mn是一元二次方程x(+)(+)的值（m1n1）2+3x−1=0的两个根，则−3−1A.B.3C.1D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系得出mn+=3，mn=−1，代入整理后的代数式，即可求解．【详解】解：∵m，n是一元二次方程xmn=−1，2+3x−1=0的两个根，∴m+n=−3，m+1n+1=+m+n+1=−1−3+1=3，∴()()故选：A．()所在的象限是（y=ax+bx+c的图象如图所示，则点Pc,b）28.已知二次函数A.第一象限【答案】CB.第二象限C.第三象限D.第四象限第3页24页【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限．首先根据二次函数的图象及性质()所在象限．Pc,b判断c和b的符号，从而得出点【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，b∴>a0，−>0，2a∴<b0，二次函数的图象与y轴的交点在原点下方，∴<c0，∴P(c,b)在第三象限，故选：．9.若M=4x2−2x+17，N=3x2+2x+7，为实数，则M与的大小关系为（xN）A.M>NB.M<ND.M、N的大小关系与的取值有关xC.MN【答案】A【解析】【分析】本题考查了整式的加减，配方法的应用．直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案．【详解】解：∵M4x=2−2x17，+N=3x+2x+72，(+2x+7)M−N=4x2−2x+17−3x−2x+17−3x−2x−7−4x+102∴=4x22=x2=(−)x2+6，2(−)≥2∵x20，∴(ꢀ−2)2+6>0，∴MN．>故选：A．10.A（﹣3，B1，（m，）在抛物线y＝ax+4+c上，且yyyy1＜y3y＜，则m的2123第4页24页取值范围是（）A.﹣3m＜1B.5m＜﹣1或﹣3m＜1D.﹣5m＜﹣3或﹣＜m＜1C.m＜﹣3或m1【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为＝﹣a0和a0两种情况讨论，分别根据图像上点的坐标特征得到关于m的不等式，然后解不等式即可解答．4a【详解】解：抛物线y＝2+4+c的对称轴为＝﹣＝﹣，2a∵点A（﹣3yB（，yCm，yyax2+4axc上，且y＜y＜y，123132∴当＜，则|m+2|1m+2|＞3当a01m+2|＜3，解得﹣5m＜﹣3或﹣1m1．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、解一元一次不等式组，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）x−+=x=1，则m2xm0的一个根为的值为____．若关于的一元二次方程x2【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．把x1代入一元二次方程得到=1−2+m=0，然后解一次方程即可．【详解】解：把x1代入方程x=2−2x+m=0得1−2+m=0，解得m1．=故答案为：112.点(4)关于原点对称点为__________．【答案】(3,−4)【解析】关键．根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答即可．【详解】解：点(4)关于原点O的对称点为−4)．第5页24页故答案为：−4)．y=x+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是213.将抛物线__________．=(−)x2+42【答案】y【解析】【分析】此题主要考查了函数图象的平移．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数再向上平移3个单位，得：y=x+1向右平移2个单位，得：y=(−)+1；x222y=(−)x22+1+3，即y=(x−2)2+4；x2=(−)2+4．故答案为：y中，∠°，C=°ABC绕点逆时针旋转α角度(°<α<180°)14.ABCBAC45=A0∥α=______度．得到，若，则【答案】60【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质．先根据旋转的性质可得∠E=∠C=15°，再根据平行线的性质可得∠BAE=∠E=15°，然后根据角的和差可得EAC60，由此即可得．∠=°【详解】解：由旋转的性质得：∠E=∠C=15°，DE∥，∴∠BAE=E=15°，∠BAC=45°，∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=60°，即旋转角为60°，∴α=60°，故答案为：60．第6页24页2+2x(x≤0)xxy=15.已知关于的函数−x+2x(x>0)2nn=1或−1Mx,mNx,m坐标为0的点有3()，()12是该函数图象上的两个点，则的最大距离是．其中正确的结论是__________【答案】②③④【解析】【分析】本题考查了二次函数和图象和性质．根据题意画出草图，根据图象求解即可．【详解】解：对于y=x+2x=(x+)−1(x≤0)，22A−顶点坐标为()，y=0+2x=0，解得，x=0或x=−2令与，则x2x轴的交点坐标为(−)，ꢁ(0,0)D2,0，对于y=−x+2x=−(x−)2+1(x0)，顶点坐标为B1)，>2y=0+2x=0x=0或x=2，令与，则x2，解得轴的交点坐标为()，E2,0x如图，观察图象，①函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，结论①错误；②函数图象上纵坐标为0的点有点E，共3个，结论②正确；nx③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，即经过点A或B且平行于轴两条直线与图象的交点，此时n=1或−1，结论③正确；)是该函数图象上的两个点，由图象知，当m=0时，则的最大距离即④点()，(Nx,m2Mx,m1=4，结论④正确．故答案为：②③④．第7页24页y=x−2mx+2m−（mx轴交于点、B216.已知二次函数m线段上有且只有5个点的横坐标为整数，则的取值范围是__________．【答案】1.5<m≤−1或3m3.5．≤<【解析】xx【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题．先求得二次函数的图象与轴的交点坐标，再利用线段上有且只有5个点的横坐标为整数，分两种讨论，分别列不等式组，计算即可求解．y=0x2−2+2m−1=0，【详解】解：令，则x=1x=2m−1解得，，12不妨设()，则(−)，A1,0B2m1,0当点B在点A左侧时，由题意得−4<2m−1≤−3，解得1.5<m≤−1；当点B在点A右侧时，由题意得5≤2m−1<6，解得3≤m<3.5；m1.5<m≤−1或3≤m<3.5．综上，的取值范围故答案为：1.5<m≤−1或3≤m<3.5三、解答题（共8小题，72分）17.解下列方程：．（1）x−2x=1；2（2）x2+6x+5=0．【答案】（）x=1+2，x=1−2；12x=−1x=−5．（2），12【解析】【分析】本题考查求一元二次方程的解，解一元二次方程的一般方法有配方法、公式法和因式分解法．（1）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，再开平方求解即可；（2）根据因式分解法将方程变为(x+)(x+5)=0，将方程转化为两个一元一次方程求解即可．【小问1详解】第8页24页解：x2−2x=1，(x−)=2，2配方得：x2−2x+1=1+1，即∴x−1=±2，解得：x=1±2，∴x=1+2，x=1−2；12【小问2详解】解：x2+6x+5=0，分解因式得：(x+1x+5=0，)()∴x+1=0或x+5=0，．x=−1x=−5得：，2118.如图，在五边形中，∠EAB=∠BCD=90，，=∠ABC=α，AE+CD=DE．α（1绕点B顺时针旋转（2）求证：△EBD≌△MBD．，画出旋转后的BCM，并证明、、M三点在一条直线上；【答案】（）画图见解析，证明见解析（2）见解析【解析】三角形时解本题的关键．（1）先根据题意画出图形，再由旋转的性质可得EAB∠=∠BCM90，由BCD90，可得=°∠=°∠BCM+∠BCD=180°；=AE=CM+=+==由AECDDE可得CMCD：，（2BMBE，最后通过“SSS”△EBD≌△MBD即可．【小问1详解】第9页24页如图所示，α=∠=α将绕点B顺时针旋转，,ABC，∴∠EAB=∠BCM=90°BCD=90°，，∴∠BCM+∠BCD=180°，∴、、M三点在一条直线上；【小问2详解】α将绕点B顺时针旋转，得到△ACM，BCM，∴=，AE=CM，AE+CD=DE，∴CM+CD=，即：，BD=BD，=MBDSSS)；19.x的方程x﹣2k﹣1x+k＝0有两个实数根x，x．12（1k的取值范围；（2）请问是否存在实数，使得x+x＝1﹣xx成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．121212k≤【答案】（）（2）存在，k=−3【解析】）根据关于x的方程x2﹣（k1）+k＝0有两个实数根，∆≥0，代入计算求出k的取值范围．bacx+x=−xx=，12（2）根据根与系数的关系，，根据题意列出等式，求出k的值，根据k的值是否12a在取值范围内做出判断．第10页共页【小问1详解】解：∵关于x的方程x22（k1）+k20有两个实数根4k1∆=(−)2−4k=4−8k0，2≥根据题意得1k≤解得．2【小问2详解】解：存在．x+x=2(k−xx=k，2根据根与系数关系，1212∵x+x＝1xx，12122(k−=1−k2，∴k=k=1解得，1212k≤∵．∴存在实数k=-3，使得xx＝1﹣xx．1212【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程，要注意根据k的取值范围来进取舍．y=x2−4x+3与x轴交于、B两点，A在B左侧，与轴交于C点．y20.抛物线（1）C点坐标为，顶点坐标为；（2）不等式x2−4x+3>0的解集是；x2≤x≤3时，y的取值范围（3满足．【答案】（）()；(−)；13（2）x1或<x>31≤y≤15（3）．【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与两坐标轴的交点及不等式组，本题利用数形结合的思想是y关键，从图象中读出不等式组的解集和对应的取值．（1）配方可得抛物线顶点M的坐标；将x0和=y=0代入抛物线的解析式可求得点C的坐标；y=0（2代入抛物线的解析式可求得A，B的坐标；画出草图，根据图象得出结论；y（3）计算得出当2x3时对应的函数值，根据图象即可写出二次函数的取值范围．−≤≤【小问1详解】y=x2−4x+3=(x−2)−1，2∴抛物线顶点M的坐标为(−)；把x0代入=y=x−4x+3得y=3；2∴C点坐标为(0,3)；【小问2详解】y=0y=x2−4x+3−4x+3=0x=1，2=3，解得1解：把代入得x2，()，∴A点坐标为(1,0)、B点坐标为3,0草图，如图所示；y>0，x−4x+3>0，即2由图象得：当x1或<x>3时，y>0，则x2−4x+3>0；故答案为：x1或【小问3详解】解：由图象得：<x>3；=−2时，y=(−2)2−4×(2)+3=4+8+3=15；当x当x2时，=y=−1；当x3时，y=0；=y1≤y≤15所以取值范围：．21.如图是由小正方形组成的1010网格，每个小正方形的顶点叫做格点．、、C×刻度直尺在给定网格中完成画图．第12页共页（1）在图1中，将线段绕A点逆时针旋转90°至AE，设的中点D，标出D点旋转后的对应点F；（2）在图2中，过B点作AC的平行线BG，在BG上取一点M，使=CAB．【答案】（）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查作图旋转变换，平行线的性质，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．（1）利用全等三角形的性质作出AE，线段与格线交点即为的中点D，线段AE与格线交点即为AE的中点F；（2）作平行四边形BCHG，得到BG∥AC，作正方形ABRE，分别取和RE与格线的交点D和N，作射线交BG于点M，此时是线段的垂直平分线，则∠MAB=∠GBA=∠CAB．【小问1详解】解：线段AE，以及点D和点F如图1所示；【小问2详解】解：所作图形如图所示：第13页共页xy22.某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件）xyw是售价（元．．月销售利润月销售量售价进价×(=−表：x售价（元件）3035y月销售量件300250w月销售利润元45005000yx（1）商品的进价为元件，关于的函数表达式为；（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；(≤)给精准扶贫对象，要求：在售价不低于m10m（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润m=元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为元，则．y=10x+600【答案】（），；（2）当该商品的售价是37.5元时，月销售利润最大，最大利润为5062.5元；（3）5【解析】【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．（1）根据表中数据可以求出每件进价，设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；（2）设该商品的月销售利润为w元，根据利润=×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；−m）销售量列出函数解析式，再根据x≤时，利用函数性质求解即（3）根据总利润（单件利润可．【小问1详解】第14页共页300×30−4500=15解：由表中数据知，每件商品进价为（元件300y=+b设一次函数解析式为，30k+b=300根据题意，得35k+b=250，k=−10解得：，b=600y=10x+600所以y与x的函数表达式为；y=10x+600故答案为：15，【小问2详解】；解：设该商品的月销售利润为w元，w=x−15y()则=(−)(−x1510x600=10x+)2+750x−9000=−10(x−37.5)2+5062.5，∵<0，∴当x=37.5时，w最大，最大值为5062.5，∴当该商品的售价是37.5元时，月销售利润最大，最大利润为5062.5元；【小问3详解】解：根据题意得：)−−，wx15m10x600=(−−)(−+)=−10x2+(75010mx9000600m+750+10mmx=−=37.5+对称轴为直线，2×(−)102∵m10，≤m∴37.5+≤42.5，2∵<0，∴当x42时，取得最大值为3960元，=w∴(42−15−m−10×42+600=3960，)()第15页共页解得：m=5．故答案为：5．23.在菱形ABCD中，60∠=°，BD为菱形的一条对角线．FD=2BF；（1）如图1A作AEBC于点⊥E交BD于点，求证：F（2）在（）的条件下，若FE2，则菱形=ABCD面积为；（3）如图2，M为菱形ABCD外一动点且CMCB，连接AM，ꢂꢃ，试探究=DMBM的数量关系，请写出三条线段的数量关系明过程）【答案】（）见解析（2）3（3）=+3【解析】11BE=AB=AD1）利用菱形的性质以及直角三角形的性质求得，推出ADF，得22==2，据此即可证明FD=2BF；到（2）同（1）求得ADF，得到==AF=4，AE=62，求得，解直角三角形求得BC=AB=43，利用菱形的面积公式即可求解；（3）连接AC，延长到H，证明点、M、、D在以点C为圆心的C上，利用圆心角与圆周角的关系求得∠=，证明RtMAN≌Rt()，求得NM=MG，再证明()，求得，然后利用直角三角形的性质即可解决问Rt≌RtAGD∠ABN=∠ADGBN=，题．【小问1详解】证明：如图1中，第16页共页四边形ABCD是菱形，=60°，AE⊥BC，∴∠BAE=30°，AB=BC=AD，∥，11BE=AB=AD∴，22∵AD∥BE，∴ADF，==2，∴∴FD2BF；=【小问2详解】解：由（）ADF，==2，∴∵FE2，=∴AF4，=AE=6∴∵，∠BAE30，=°6=，即cos30°=∴，AB∴43，=BC=AB=43，∴S菱形ABCD243；=⋅=故答案为：243；【小问3详解】解：=+3，理由如下：连接AC，延长到H，第17页共页∵四边形ABCD是菱形，=60°，∴ABC和ACD都是等边三角形，==°∴，∵CMCB，=∴CBCMCACD，===∴点、M、、D在以点C为圆心的C上，11=(∠MCB+MCA)=30°，∴∠=∠ACD30，=°+22∵=+MBA=30°，∴∠=，AN⊥BHN⊥于点G，，如图，过A作点=，AN⊥，⊥，∴AN=AG，MNA==90°，AMAM，=AN=AG，∴≌()RtRt，∴NM=，ANB==90°，AN=AG，=，∴()Rt≌RtAGD，∠ABN=∠ADG，BN=，∴第18页共页==120°，∴∠=60°，∴∠AMN=∠AMG=30°，∴−=+−(−)=2=3，∴=+．【点睛】本题考查菱形的性质，圆心角与圆周角，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．y=ax2+bx−3(a≠0)与轴交于点(−)，()，xA1,0B3,024.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y与轴交于点C，D是该抛物线上的一动．（1）C点坐标为，该抛物线解析式为，顶点为；（2）如图1中，连接、BD，直线AC交直线BD于点G，若∠CGB=45°，求此时D点坐标；（3）如图2，连接BC，过D点作BC的平行线交该抛物线于点E（不与DCD，直线CD与直线交于点P，求点P的横坐标．【答案】（）(−3)，(−)；y=x−2x−3，423924（2）此时D点坐标4)或−,；32（3P的横坐标为．【解析】1）当x=0时，求出点C坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，最后配方即可求出顶点坐标；（2）先求出直线AC解析式为y=3x−3，然后分当G在直线BC下方时和当G在直线BC下方时两第19页共页种情况分，由相似三角形的判定与性质即可求解；(−2m−3)Dn,n−2n−3)(E,m22BCy=x−3，由（3）设，，然后求出直线解析式为−2x−3，整理得：−4m)，分别出直线CD解析式为=x+t，联立得x+t=x2DE∥，设直线解析式为y(−3x−3−t=0，根据两根关系可得m+n=3，则D3−m,m2x2=(+)−ym1xm3−，直线解析式为y=(m+)x−m−3，联立得，最后解方程y1mx3=(−)−=(−)−y1mx3即可求解．【小问1详解】y=ax+bx−3，当x=0时，y=−3，2解：由抛物线∴ꢄ(0,−，(−)，()，A1,0B3,0x∵抛物线与轴交于点a−b−3=0a=1，解得：∴b=2，9a+b−3=0y=x2−2x−3，∴抛物线解析式为由y=x−2x−3=(x−)2−