2024-2025学年初中九年级上学期数学第一次月考卷及答案（北师大版）

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（考试时间：120试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第1章～第章（北师版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一．单项选择题（本题共小题，每小题3分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．下列方程中，是一元二次方程的是（Aꢀ2−3ꢀ−5=−5）B2ꢀ2−ꢁ−1=0Dꢂꢀ2+ꢃꢀ+ꢄ=0Cꢀ2−ꢀ(ꢀ+2.5)=02．下列命题为真命题的是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形3．若关于ꢀ的方程ꢀ2+ꢅꢀ−6=有一个根为2ꢅ为（A−2B．1C．4）D−34．a是方程ꢀ2+2−1=0的一个根，则代数式ꢂ2+2ꢂ的值是（A．2018B．2019C．2020）D．20215．如图，在正方形ꢆꢇꢈꢉ中，ꢊꢆꢉ上一点，连接ꢇꢊ，ꢇꢊ交对角线ꢆꢈ于点ꢋ，连接ꢉꢋ，若∠ꢆꢇꢊ=35，则∠ꢈꢋꢉ的度数为（）A80°B70°C75°D45°6．有一块长40m，宽32m的矩形种植地，修如图等宽的小路，使种植面积为2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（）A．（﹣）（﹣x=1140C．（﹣）（322x=1140B．（﹣）（32x）D．（﹣）（﹣=11407．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（A．2B．128．如图，在菱形ꢆꢇꢈꢉ中，对角线ꢆꢈꢇꢉ相交于点ꢌ，ꢊꢆꢇ的中点，若菱形的周长为，则ꢌꢊ的长为）C．18D．24（）A．10B．5C2.5D．19．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为ꢀ人，则根据题意可列方程为（Aꢀ(ꢀ−1)=110）Bꢀ(ꢀ+1)=110D(ꢀ−1)2=110C(ꢀ+1)2=11010．关于ꢀ的一元二次方程ꢍꢀ2−2ꢀ−1=有两个不相等的实数根，则ꢍ的取值范围是（Aꢍ>−1Bꢍ>−且ꢍ≠0Cꢍ<1Dꢍ<且ꢍ≠011．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边，上，则的长为（））74B919107A．C．D．�35612．如图，在正方形ꢆꢇꢈꢉ中，ꢆꢇ=4，E为对角线ꢆꢈ上与点A，C不重合的一个动点，过点E作ꢊꢋ⊥ꢆꢇ于点F，ꢊꢎ⊥ꢇꢈ与点，连接ꢉꢊ，ꢋꢎ，有下列结论：①ꢉꢊ=ꢋꢎ．②ꢉꢊ⊥ꢋꢎ．③∠ꢇꢋꢎ=∠ꢆꢉꢊ．④ꢋꢎ的最小值为3，其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③④第Ⅱ卷二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）13．一元二次方程5ꢀ2+2ꢀ−1=的一次项系数二次项系数常数项．1114ꢀ1,ꢀ2为一元二次方程ꢀ2−2ꢀ−10=的两根，则+=．ꢏ1ꢏ215．如图，矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点，若OB2，∠ACB＝°，则AB的长度为．16．如图所示，菱形ꢆꢇꢈꢉ的对角线ꢆꢈ、ꢇꢉ相交于点ꢌ．若ꢆꢈ=6ꢇꢉ=8，ꢆꢊ⊥ꢇꢈ，垂足为ꢊ，则ꢆꢊ的长为．17．如图，将一张长方形纸片ꢆꢇꢈꢉ沿ꢆꢈ折起，重叠部分为ꢐꢆꢈꢊ，若ꢆꢇ=6,ꢇꢈ=，则重叠部分ꢐꢆꢈꢊ的面积为．18．如图，在正方形ꢆꢇꢈꢉ中，ꢆꢇ=6，点，Fꢆꢇ,ꢇꢈ上，ꢆꢊ=ꢇꢋ=，点Mꢆꢈ上运动，连接ꢊꢑ和ꢑꢋ，则ꢊꢑ+ꢑꢋ的最小值等于．三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解下列方程：（13ꢀ2−4ꢀ−1=0；（2�ꢀ−3�2=ꢀ2−920．（8分）已知方程ꢀ2+�ꢍ+1ꢀ−6=是关于ꢀ的一元二次方程．(1)求证：对于任意实数ꢍ方程中有两个不相等的实数根．11(2)ꢀꢀ是方程的两根，ꢍ=+的值．12ꢏ1ꢏ221．（8分）如图，在菱形ꢆꢇꢈꢉ中，对角线ꢆꢈꢇꢉ交于点ꢌꢆꢊ⊥ꢇꢈ交ꢈꢇ延长线于ꢊ，ꢈꢋ∥ꢆꢊꢆꢉ延长线于点ꢋ．(1)求证：四边形ꢆꢊꢈꢋ是矩形；(2)ꢆꢊ=4ꢆꢉ=，求ꢆꢈ的长．22．（10分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，某食品公司为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用、BC、表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图．请根据以上信息回答：(1)参加本次调查的有______人，若该居民区有8000人，估计整个居民区爱吃粽的有______(2)请将条形统计图补充完整；(3)食品公司推出一种端午礼盒，内有外形完全相同的A、、、D粽各一个，小王购买了一个礼盒，并从中任意取出两个食用，请用列表或画树状图的方法，求他恰好能吃到粽的概率．23．（8分）阅读材料，回答问题．2材料：为了解方程�ꢀ2�−13ꢀ2+36=0，如果我们把ꢀ2看作一个整体，然后设ꢁ=ꢀ2，则原方程可化为ꢁ2−13ꢁ+36=0，经过运算，原方程的解为ꢀ1,2=±2，ꢀ3,4=±3，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料：已知实数ꢅ，ꢒ满足ꢅ2−ꢅ−1=ꢒ2−ꢒ−1=0，且ꢅ≠ꢒ，显然ꢅꢒ是方程ꢀ2−ꢀ−1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知ꢅ+ꢒ=ꢅꢒ=−．根据上述材料，解决以下问题：(1)ꢀ4−ꢀ2−6=0，可设ꢁ____，原方程可化为____．经过运算，原方程的解是____．(2)应用：若实数ꢂ，ꢃ满足：2ꢂ4−7ꢂ2+1=0，2ꢃ4−7ꢃ2+1=0ꢂ≠ꢃ，求ꢂ4+ꢃ4的值；24．（10分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒．(1)设售价每盒下降ꢀ元，则每天能售出______盒（用含ꢀ的代数式表示）；(2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；(3)该商场每天所获得的利润是否能达到2700元？请说明理由．25．（12分）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)概念理解：如图，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形ꢆꢇꢈꢉ．判断四边形ꢆꢇꢈꢉ的形状：筝形（填“是”或“不是”）；(2)性质探究：如图，已知四边形ꢆꢇꢈꢉ纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；(3)拓展应用：如图ꢆꢉ是锐角△ꢆꢇꢈ的高，将△ꢆꢇꢉ沿边ꢆꢇ翻折后得到△ꢆꢇꢊ，将△ꢆꢈꢉ沿边ꢆꢈ翻折后得到△ꢆꢈꢋ，延长ꢊꢇ,ꢋꢈ交于点G．①若∠ꢇꢆꢈ=50，当△ꢇꢈꢎ是等腰三角形时，请直接写出∠ꢇꢆꢉ的度数；②若∠ꢇꢆꢈ=45，ꢇꢉ=2,ꢆꢉ=5,ꢆꢊ=ꢊꢎ=ꢋꢎ，求ꢈꢉ的长．26．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组学习正方形以后做了以下探究：在正方形ꢆꢇꢈꢉ中，，F为平面内两点．【初步感知】（1）如图，当点在边ꢆꢇ上时，ꢉꢊ⊥ꢉꢋ，且，CF三点共线．请写出ꢆꢊ与ꢋꢈ的数量关系______；【深入探究】（2）如图2，当点E在正方形ꢆꢇꢈꢉ外部时，ꢉꢊ⊥ꢉꢋ，ꢆꢊ⊥ꢊꢋ，E，C，F三点共线．若ꢆꢊ=2，ꢉꢊ=4，求ꢈꢊ的长；【拓展运用】（3）如图，当点在正方形ꢆꢇꢈꢉ外部时，ꢆꢊ⊥ꢊꢈꢆꢊ⊥ꢆꢋ，ꢉꢊ⊥ꢇꢊ，且D，，E三点共线，猜想并证明ꢆꢊꢈꢊ，ꢉꢋ之间的数量关系．2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（考试时间：120试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第1章～第章（北师版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一．单项选择题（本题共小题，每小题3分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．下列方程中，是一元二次方程的是（Aꢀ2−3ꢀ−5=−5）B2ꢀ2−ꢁ−1=0Dꢂꢀ2+ꢃꢀ+ꢄ=0Cꢀ2−ꢀ(ꢀ+2.5)=0【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：、是一元二次方程，故本选项符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、整理后不含二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：A【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．2．下列命题为真命题的是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形【答案】D【分析】根据菱形和矩形的判定定理进行判断即可．【详解】：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A为假命题；B：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故为假命题；C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为假命题；D：有三个角是直角的四边形是矩形，故为真命题；故选：D【点睛】本题主要考查了菱形的判定和矩形的判定，熟练地掌握菱形的判定定理和矩形的判定定理是解题的关键．3．若关于ꢀ的方程ꢀ2+ꢅꢀ−6=有一个根为2ꢅ为（）A−2B．1C．4D−3【答案】B【分析】将ꢀ=2代入方程，得出关于ꢅ的一元一次方程，解方程，即可求解．【详解】解：∵关于ꢀ的方程ꢀ2+ꢅꢀ−6=有一个根为．∴4+2ꢅ−6=0解得：ꢅ=1故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．4．a是方程ꢀ2+2−1=0的一个根，则代数式ꢂ2+2ꢂ的值是（）A．2018B．2019C．2020D．2021【答案】D【分析】根据一元二次方程的解的定义得到ꢂ2+2−1=0，然后利用等式的性质变形可得到代数式ꢂ2+2ꢂ的值．【详解】解：∵ꢂ是方程ꢀ2+2−的一个根，∴ꢂ2+2−，∴ꢂ2+2，∴ꢂ2+2+2020=2021，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．如图，在正方形ꢆꢇꢈꢉ中，ꢊꢆꢉ上一点，连接ꢇꢊ，ꢇꢊ交对角线ꢆꢈ于点ꢋ，连接ꢉꢋ，若∠ꢆꢇꢊ=35，则∠ꢈꢋꢉ的度数为（）A80°B70°C75°D45°【答案】A【分析】先根据正方形的性质、三角形的外角性质可得∠ꢈꢋꢇ=80，再根据SAS定理证出△ꢇꢈꢋ≅△ꢉꢈꢋ，然后根据全等三角形的性质即可得．【详解】解：∵四边形ꢆꢇꢈꢉ是正方形，∴ꢇꢈ=ꢉꢈ,∠ꢇꢈꢋ=∠ꢉꢈꢋ=∠ꢇꢆꢋ=45，∵∠ꢆꢇꢊ=35，∴∠ꢈꢋꢇ=∠ꢆꢇꢊ+∠ꢇꢆꢋ=80，ꢇꢈ=ꢉꢈ在△ꢇꢈꢋ△ꢉꢈꢋ中，�∠∠，ꢇꢈꢋ=ꢉꢈꢋꢈꢋ=ꢈꢋ∴△ꢇꢈꢋ≅△ꢉꢈꢋ(SAS)，∴∠ꢈꢋꢉ=∠ꢈꢋꢇ=80，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．6．有一块长40m，宽32m的矩形种植地，修如图等宽的小路，使种植面积为2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（）A．（﹣）（﹣x=1140C．（﹣）（322x=1140【答案】BB．（﹣）（32x）D．（﹣）（﹣=1140【详解】设小路的宽为则剩余的长度为�40−ꢀ,剩余的宽为�32−ꢀ,根据题意可列方程得�40−ꢀ�32−ꢀ�=1140,故选7．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（）A．2B．12C．18D．24【答案】C【分析】根据用频率估计概率可知:摸到白球的概率为0.25,根据概率公式即可求出小球的总数从而求出红球的个数.【详解】解:小球的总数约为:6÷0.25=24(个)则红球的个数为:24－6=18(个)故选C.【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求小球的总数掌握概率公式是解决此题的关键.8．如图，在菱形ꢆꢇꢈꢉ中，对角线ꢆꢈꢇꢉ相交于点ꢌ，ꢊꢆꢇ的中点，若菱形的周长为，则ꢌꢊ的长为（）A．10B．5C2.5D．1【答案】C【分析】根据ꢌꢆ=ꢌꢈ,ꢆꢊ=ꢇꢊ，判定ꢌꢊ△ꢆꢇꢈ的中位线，利用中位线定理计算即可．本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质和中位线定理是解题的关键．【详解】解：∵四边形ꢆꢇꢈꢉ是菱形，∴ꢌꢆ=ꢌꢈ,ꢆꢇ=ꢇꢈ=ꢈꢉ=ꢉꢆ，∵ꢆꢊ=ꢇꢊ，菱形的周长为，20∴ꢌꢊ△ꢆꢇꢈ的中位线，ꢆꢇ=ꢇꢈ=ꢈꢉ=ꢉꢆ==，41∴ꢌꢊ=ꢇꢈ=2.5，2故选．9．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为ꢀ人，则根据题意可列方程为（Aꢀ(ꢀ−1)=110）Bꢀ(ꢀ+1)=110D(ꢀ−1)2=110C(ꢀ+1)2=110【答案】A【分析】根据题意，设参加聚会小朋友的人数为ꢀ人，则每人送出�ꢀ−1件礼物，共送110件礼物，列出方程，即可．【详解】设参加聚会小朋友的人数为ꢀ人，则每人送出�ꢀ−1件礼物，共送110件礼物∴ꢀ(ꢀ−1)=110．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程．10．关于ꢀ的一元二次方程ꢍꢀ2−2ꢀ−1=有两个不相等的实数根，则ꢍ的取值范围是（）Aꢍ>−1【答案】BBꢍ>−且ꢍ≠0Cꢍ<1Dꢍ<且ꢍ≠0【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到ꢍ≠0>，然后求出两不等式解集的公共部分即可求解，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．2【详解】解：由题意可得，ꢍ≠=�−�−4ꢍ×�−�>0，解得ꢍ>−且ꢍ≠，故选：．11．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边，上，则的长为（）7B9197A．C．D．�345106【答案】A【分析】连接，，如图,利用菱形的性质得△为等边三角形在△中计算出�,接着证明BE⊥利用折叠的性质得到EF=AF.,设EF=AF=x,垂直平分AE,所以在RtBEF中利用勾股定理列方程求解即可.【详解】解:连接，，如图,∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°,∴△BDC为等边三角形，∠C=A=60°,∴∠CBE=90°-60°=30°.∵E点为的中点，∴CE=DE=1,BECD.在RtBCE中，BC=2CE=2，BE=√22−12=√3.∵ABCD,∴BEAB.∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,∴EF=AF.设EF=AF=x,则BF=2-x,在RtBEF中,2�2−ꢀ�2+���=ꢀ2,7解得ꢀ=故选A..4点睛本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含°的直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，求出的长并能利用△BEF的三条边列方程是解答本题的关键.12．如图，在正方形ꢆꢇꢈꢉ中，ꢆꢇ=4，E为对角线ꢆꢈ上与点A，C不重合的一个动点，过点E作ꢊꢋ⊥ꢆꢇ于点F，ꢊꢎ⊥ꢇꢈ与点，连接ꢉꢊ，ꢋꢎ，有下列结论：①ꢉꢊ=ꢋꢎ．②ꢉꢊ⊥ꢋꢎ．③∠ꢇꢋꢎ=∠ꢆꢉꢊ．④ꢋꢎ的最小值为3，其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③④【答案】C【分析】①连接ꢇꢊ，易知四边形ꢊꢋꢇꢎ为矩形，可得ꢇꢊ=ꢋꢎ；由△ꢆꢊꢇ≅△ꢆꢊꢉ可得ꢉꢊ=ꢇꢊ，所以ꢉꢊ=ꢋꢎ；②延长ꢉꢊ，交ꢋꢎ于Mꢋꢇ于点H，由矩形ꢊꢋꢇꢎ可得ꢌꢋ=ꢌꢇ，则∠ꢌꢇꢋ=∠ꢌꢋꢇ；由∠ꢌꢇꢋ=∠ꢆꢉꢊ，则∠ꢌꢋꢇ=∠ꢆꢉꢊ；由四边形ꢆꢇꢈꢉ为正方形可得∠ꢇꢆꢉ=90，即∠ꢆꢏꢉ+∠ꢆꢉꢏ=90，所以∠ꢆꢏꢉ+∠ꢌꢋꢏ=90，即∠ꢋꢐꢏ=90，可得ꢉꢊ⊥ꢋꢎ；③由②中的结论可得∠ꢇꢋꢎ=∠ꢆꢉꢊ；④由于点Eꢆꢈ上一动点，当ꢉꢊ⊥ꢆꢈ时，根据垂线段最短可得此时ꢉꢊ最小，最小值为2�，由①知ꢋꢎ=ꢉꢊ，所以ꢋꢎ的最小值为2�．【详解】解：①连接ꢇꢊ，交ꢋꢎ于点，如图，∵ꢊꢋ⊥ꢆꢇ，ꢊꢎ⊥ꢇꢈ，∴∠ꢊꢋꢇ=∠ꢊꢎꢇ=90．∵在正方形ꢆꢇꢈꢉ中，∠ꢆꢇꢈ=90，∴四边形ꢊꢋꢇꢎ为矩形，∴ꢋꢎ=ꢇꢊꢌꢇ=ꢌꢋ=ꢌꢊ=ꢌꢎ，∵四边形ꢆꢇꢈꢉ为正方形，∴ꢆꢇ=ꢆꢉ，∠=∠ꢉꢆꢈ=45．在△ꢆꢇꢊ△ꢆꢉꢊ中，ꢆꢊ=ꢆꢊ�∠ꢇꢆꢈ=∠ꢉꢆꢈ，ꢆꢇ=ꢆꢉ∴△ꢆꢇꢊ≌△ꢆꢉꢊ，∴ꢇꢊ=ꢉꢊ，∴ꢉꢊ=ꢋꢎ，故①正确；②延长ꢉꢊ，交ꢋꢎ于，交ꢋꢇ于点ꢏ，∵△ꢆꢇꢊ≌△ꢆꢉꢊ，∴∠ꢆꢇꢊ=∠ꢆꢉꢊ，由①知：ꢌꢇ=ꢌꢋ，∴∠ꢌꢋꢇ=∠ꢆꢇꢊ，∴∠ꢌꢋꢇ=∠ꢆꢉꢊ，∵∠ꢇꢆꢉ=90，∴∠ꢆꢉꢊ+∠ꢆꢏꢉ=90，∴∠ꢌꢋꢇ+∠ꢆꢏꢉ=90，即：∠ꢋꢐꢏ=90，∴ꢉꢊ⊥ꢋꢎ．故②正确；③由②知：∠ꢌꢋꢇ=∠ꢆꢉꢊ．即：∠ꢇꢋꢎ=∠ꢆꢉꢊ．故③正确；④∵点Eꢆꢈ上一动点，∴根据垂线段最短，当ꢉꢊ⊥ꢆꢈ时，ꢉꢊ最小．∵ꢆꢉ=ꢈꢉ=4，∠ꢆꢉꢈ=90，∴ꢆꢈ=�ꢆꢉ2+ꢈꢉ2=4�．1∴ꢉꢊ=ꢆꢈ=2�．2由①知：ꢋꢎ=ꢉꢊ，∴ꢋꢎ的最小值为2�，故④错误．综上，正确的结论为：①②③．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．第Ⅱ卷二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）13．一元二次方程5ꢀ2+2ꢀ−1=的一次项系数【答案】二次项系数常数项．25−1【分析】根据一元二次方程的一般形式：ꢂꢀ2+ꢃꢀ+ꢄ=0（a,b,c是常数且ꢂ≠）中，ꢂꢀ2叫二次项，ꢃꢀ叫一次项，ꢄ是常数项．其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可．【详解】解：一元二次方程5ꢀ2+2ꢀ−1=的一次项系数是，二次项系数是，常数项是−，故答案为：25、−1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要注意的是二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．1114ꢀ1,ꢀ2为一元二次方程ꢀ2−2ꢀ−10=的两根，则+=．ꢑ1ꢑ21【答案】−/−0.25ꢑ1+ꢑ211【分析】由根与系数关系得到ꢀ1+ꢀ2和ꢀ1ꢀ2的值，代入+=即可得到答案．ꢑ1ꢑ2ꢑꢑ12【详解】解：∵ꢀ1,ꢀ2为一元二次方程ꢀ2−2ꢀ−10=的两根，−2−10∴ꢀ+ꢀ=−=2ꢀ1ꢀ==−10，12211ꢑ1+ꢑ21121∴+===−．ꢑ1ꢑ2ꢑꢑ−105121故答案为：−．5【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．15．如图，矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点，若OB2，∠ACB＝°，则AB的长度为．【答案】2【分析】利用矩形的性质即可得到ꢆꢈ的长，再根据含°角的直角三角形的性质，即可得到ꢆꢇ的长．【详解】解：∵矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，∴AC2BO＝4，又∵∠ACB＝°，∠ABC＝9011∴ꢆꢇ=ꢆꢈ=×4=2．22故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质及含30角的直角三角形的性质，掌握矩形四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解题的关键．16．如图所示，菱形ꢆꢇꢈꢉ的对角线ꢆꢈ、ꢇꢉ相交于点ꢌ．若ꢆꢈ=6ꢇꢉ=8，ꢆꢊ⊥ꢇꢈ，垂足为ꢊ，则ꢆꢊ的长为．245【答案】1【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．利用菱形的面积公式：ꢆꢈ⋅ꢇꢉ=ꢇꢈ⋅ꢆꢊ，即可解决问题．2【详解】解：∵四边形ꢆꢇꢈꢉ是菱形，∴ꢆꢈ⊥ꢇꢉ，ꢌꢆ=ꢌꢈ=3ꢌꢇ=ꢌꢉ=4，∴ꢆꢇ=ꢇꢈ=ꢌꢇ+ꢌꢈ=，�2212∵ꢆꢈ⋅ꢇꢉ=ꢇꢈ⋅ꢆꢊ，24∴ꢆꢊ=，524故答案为：．517．如图，将一张长方形纸片ꢆꢇꢈꢉ沿ꢆꢈ折起，重叠部分为ꢒꢆꢈꢊ，若ꢆꢇ=6,ꢇꢈ=，则重叠部分ꢒꢆꢈꢊ的面积为．26【答案】.3【分析】根据折叠的性质可得∠BAC＝∠′，根据平行线的性质可得∠＝∠ECA，继而可得∠EAC＝∠ECA，从而有＝Rt△ADE中利用勾股定理求出EC的长即可求得答案.【详解】∵长方形纸片按图中那样折叠，由折叠的性质可知，∠＝∠′，∵DCAB，∴∠BAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA，∴EAEC，在RtADE中，22＝2，即42+（﹣）2EC，213解得，EC＝311326∴重叠部分的面积＝××4＝，23326故答案为．3【点睛】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后两图形全等是解题的关键.注意三角形面积公式的应用.18．如图，在正方形ꢆꢇꢈꢉ中，ꢆꢇ=6，点，Fꢆꢇ,ꢇꢈ上，ꢆꢊ=ꢇꢋ=，点Mꢆꢈ上运动，连接ꢊꢐ和ꢐꢋ，则ꢊꢐ+ꢐꢋ的最小值等于．【答案】6【分析】过ꢊꢆꢈ的垂线交ꢆꢉ于点ꢊ′，易得ꢊ,ꢊ′关于ꢆꢈ对称，连接ꢊ′ꢋ，ꢊ′ꢐ，则：ꢊꢐ+ꢐꢋ=′ꢊꢐ+ꢐꢋ≥ꢊ′ꢋ，得到当ꢊ′,ꢐ,ꢋ三点共线时，ꢊꢐ+ꢐꢋ的值最小，进行求解即可．【详解】解：过ꢊꢆꢈ的垂线交ꢆꢉ于点ꢊ′，连接ꢊ′ꢋ，ꢊ′ꢐꢊꢊ′与ꢆꢈ交于点ꢓ，∵四边形ꢆꢇꢈꢉ是正方形，∴∠ꢉꢆꢈ=∠ꢇꢆꢈ=45，∵ꢊꢊ′⊥ꢆꢈ，∴∠ꢊꢓꢆ=∠ꢊ′ꢓꢆ=90，又ꢆꢓ=ꢆꢓ，∴△ꢆꢓꢊ≌△ꢆꢓꢊ′，∴ꢊꢓ=ꢊ′ꢓ,ꢆꢊ=ꢆꢊ′=2，∴ꢊ,ꢊ′关于ꢆꢈ对称，∴ꢊꢐ+ꢐꢋ=ꢊ′ꢐ+ꢐꢋ≥ꢊ′ꢋ，∴当ꢊ′,ꢐ,ꢋ三点共线时，ꢊꢐ+ꢐꢋ的值最小，即为ꢊ′ꢋ的长，∵ꢆꢊ=ꢇꢋ=2，∴ꢆꢊ′=ꢇꢋ，又ꢆꢊ′∥ꢇꢋ，∴四边形ꢆꢊ′ꢋꢇ为平行四边形，∴ꢊ′ꢋ=ꢆꢇ=6，即：ꢊꢐ+ꢐꢋ的最小值为6，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，利用轴对称解决线段和最小的问题．解题的关键是确定点ꢊ关于ꢆꢈ的对称点的位置．三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解下列方程：（13ꢀ2−4ꢀ−1=0；（2�ꢀ−3�2=ꢀ2−92+�72−�7【答案】（1ꢀ1=ꢀ2=；（2ꢀ=，ꢀ=．1233【分析】（1）确定公式中的a，，的值，计算判别式△的值验证方程是否有根，若有解，将a，，的值代入求根公式即可．（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】解：（13ꢀ2−4ꢀ−1=0，a=3，−，c=−，△=ꢃ−4ꢂꢄ=(−−4×3×(−=，22−ꢔ±√ꢔ2−4ꢕꢖ4±√282×32±√7∴ꢀ===，2ꢕ32+√72−√71=,2=；33（22(ꢀ−3)2=ꢀ2−9,2(ꢀ−3)2=(ꢀ−3)(ꢀ+3),(ꢀ−3)[2(ꢀ−3)−(ꢀ+3)]=0,(ꢀ−3)[ꢀ−9]=0,．ꢀ=3,ꢀ=912【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法．公式法掌握用于一般式，确定a、、的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式计算解决问题，因式分解法适合特殊的一元二次方程，要针对不同的方程选取恰当的方法是解题关键．20．（8分）已知方程ꢀ2+�ꢍ+1ꢀ−6=是关于ꢀ的一元二次方程．(1)求证：对于任意实数ꢍ方程中有两个不相等的实数根．11(2)ꢀꢀ是方程的两根，ꢍ=+的值．12ꢑ1ꢑ2【答案】(1)见解析7(2)6【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行判断，即可得到结论成立；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得ꢀ+ꢀ=−ꢀ⋅ꢀ=−，再代入，即可求解．1212【详解】（1ꢀ2+�ꢍ+1ꢀ−6=，22∴Δ=�ꢍ+1�−4×1×�−�=�ꢍ+1�+24>0，∴对于任意实数ꢍ，原方程总有两个不相等的实数根；（2ꢍ=，∴原方程为ꢀ2+7ꢀ−6=0，∵ꢀꢀ是方程的两根，12∴ꢀ+ꢀ=−7,ꢀ⋅ꢀ=−，1212ꢑ1+ꢑ211−7−67∴+===．ꢑ1ꢑ2ꢑ1⋅ꢑ26【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．21．（8分）如图，在菱形ꢆꢇꢈꢉ中，对角线ꢆꢈꢇꢉ交于点ꢌꢆꢊ⊥ꢇꢈ交ꢈꢇ延长线于ꢊ，ꢈꢋ∥ꢆꢊꢆꢉ延长线于点ꢋ．(1)求证：四边形ꢆꢊꢈꢋ是矩形；(2)ꢆꢊ=4ꢆꢉ=，求ꢆꢈ的长．【答案】(1)见解析(2)ꢆꢈ=4�5【分析】（1）先证四边形ꢆꢊꢈꢋ是平行四边形，再证∠ꢆꢊꢈ=90，即可得出结论；（2）由菱形的性质得ꢆꢇ=ꢇꢈ=，再由勾股定理得ꢇꢊ=，则ꢈꢊ=ꢇꢊ+ꢇꢈ=，然后由勾股定理得ꢆꢈ=4�即可．【详解】（1四边形ꢆꢇꢈꢉ是菱形，∴ꢆꢉ∥ꢇꢈ．∵ꢈꢋ∥ꢆꢊ，∴四边形ꢆꢊꢈꢋ是平行四边形．∵ꢆꢊ⊥ꢇꢈ，∴∠ꢆꢊꢈ=90，∴平行四边形ꢆꢊꢈꢋ是矩形；（2）解：四边形ꢆꢇꢈꢉ是菱形，∴ꢆꢇ=ꢇꢈ=5，∵ꢆꢊ⊥ꢇꢈ，∴∠ꢆꢊꢇ=90，�22�2，∴ꢇꢊ=ꢆꢇ−ꢆꢊ=5−4=32∴ꢈꢊ=ꢇꢊ+ꢇꢈ=3+5=8，∴ꢆꢈ=ꢆꢊ+ꢈꢊ=4+8=45�2�．�222【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．22．（10分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，某食品公司为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用、BC、表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图．请根据以上信息回答：(1)参加本次调查的有______人，若该居民区有8000人，估计整个居民区爱吃粽的有______(2)请将条形统计图补充完整；(3)食品公司推出一种端午礼盒，内有外形完全相同的A、、、D粽各一个，小王购买了一个礼盒，并从中任意取出两个食用，请用列表或画树状图的方法，求他恰好能吃到粽的概率．【答案】(1)600，3200(2)见解析(3)0.5【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，概率，以及用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．（1）根据的人数除以占的百分比得到调查的人数即可；根据D的百分比乘以总人数即可得到结果；（2）求出与的人数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好能吃到C粽的情况数，即可得到所求概率．【详解】（1）解：根据题意得：参加本次调查的有∶240÷40%=600(；整个居民区爱吃D8000×40%=3200(人；故答案为：6003200；（2）的人数为600×30%=180(；C的人数600−180−60−240=120(人；条形统计图补充如图所示：，（3）解：列树状图如下：6，∴恰好能吃到粽的概率ꢗ==．1223．（8分）阅读材料，回答问题．2材料：为了解方程�ꢀ2�−13ꢀ2+36=0，如果我们把ꢀ2看作一个整体，然后设ꢁ=ꢀ2，则原方程可化为ꢁ2−13ꢁ+36=0，经过运算，原方程的解为ꢀ1,2=±2，ꢀ3,4=±3，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料：已知实数ꢅ，ꢘ满足ꢅ2−ꢅ−1=ꢘ2−ꢘ−1=0，且ꢅ≠ꢘ，显然ꢅꢘ是方程ꢀ2−ꢀ−1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知ꢅ+ꢘ=ꢅꢘ=−．根据上述材料，解决以下问题：(1)ꢀ4−ꢀ2−6=0，可设ꢁ____，原方程可化为____．经过运算，原方程的解是____．(2)应用：若实数ꢂ，ꢃ满足：2ꢂ4−7ꢂ2+1=0，2ꢃ4−7ꢃ2+1=0ꢂ≠ꢃ，求ꢂ4+ꢃ4的值；【答案】ꢀ2；ꢁ2−ꢁ−6=ꢀ=�，ꢀ=−�31245−74145+�41454(2)或或44【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若ꢀꢀ是一元二次方程ꢂꢀ2+ꢃꢀ+ꢄ=0�ꢂ≠0的两12ꢔꢖ根，则ꢀ+ꢀ=−ꢀꢀ=；也考查了换元法，解一元二次方程，求代数式的值，运用了恒等变换的1212ꢕꢕ思想．掌握查一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．（1）利用换元法解方程，设ꢁ=ꢀ2，则原方程可化为ꢁ2−ꢁ−6=，解关于ꢁ的方程得到ꢁ=−ꢁ=12，则ꢀ2=，然后解这个一元二次方程即可；7±�41（2）根据已知条件，当ꢂ=−ꢃ时，ꢂ2=ꢃ2，解关于ꢂ2的一元二次方程2ꢂ4−7ꢂ2+1=0ꢂ2=，445±7�41则ꢂ4+ꢃ4=2ꢂ4=7ꢂ2−1=；4当ꢂ≠−ꢃ时，把ꢂ2、ꢃ2看作方程2ꢀ2−7ꢀ+1=的两不相等的实数根，则根据根与系数的关系得到ꢂ2+27212ꢃ2=，2ꢂꢃ=2，再变形得到442222，然后利用整体代入的方法计算．ꢂ+ꢃ=�ꢂ+ꢃ�−2ꢂꢃ【详解】（1）解：ꢀ4−ꢀ2−6=0，设ꢁ=ꢀ2，则原方程可化为ꢁ2−ꢁ−6=0，解得：ꢁ=−ꢁ=3，12当ꢁ=−时，ꢀ2=−，无实数解，当ꢁ=3时，ꢀ2=，解得：ꢀ=�ꢀ=−�，12∴原方程的解为ꢀ=�3ꢀ=−�，12故答案为：ꢀ2；ꢁ2−ꢁ−6=ꢀ=�，ꢀ=−�312（2）解：∵实数ꢂ，ꢃ满足：2ꢂ4−7ꢂ2+1=0，2ꢃ4−7ꢃ2+1=0ꢂ≠ꢃ，当ꢂ=−ꢃ时，ꢂ2=ꢃ2，则2ꢂ4−7ꢂ2+1=0，设ꢁ=ꢂ2，∴原方程可化为：2ꢁ2−7ꢁ+1=，7±�41解得：ꢁ=47±�∴ꢂ2=，445±7�41∴ꢂ4+ꢃ4=2ꢂ4=7ꢂ2−1=；4当ꢂ≠−ꢃ时，则ꢂ2、ꢃ2是方程2ꢀ2−7ꢀ+1=0的两不相等的实数根，71∴ꢂ2+ꢃ2=ꢂ2ꢃ2=，222271454∴ꢂ4+ꢃ4=�ꢂ2+ꢃ2�−2ꢂ2ꢃ2=��−2×=；22457�45+7�45∴ꢂ4+ꢃ4的值为或或．44424．（10分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒．(1)设售价每盒下降ꢀ元，则每天能售出______盒（用含ꢀ的代数式表示）；(2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；(3)该商场每天所获得的利润是否能达到2700元？请说明理由．5ꢑ【答案】�60+�2(2)当月饼每盒售价为174元或170元时，每天的销售利润恰好能达到2550元(3)不能，理由见解析【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键．（1）根据“当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒”，列出代数式即可；5ꢑ（2）设售价每盒下降ꢀ元，每天的销售利润为2550元，则列出方程�60+��180−ꢀ−140�=2550，2求解即可；5ꢑ（3）设售价每盒下降ꢀ元，该商场每天所获得的利润是2700元，则列出方程�60+��180−ꢀ−140�=22700，整理为ꢀ2−16ꢀ+120=0，计算得出Δ<，判断即可．【详解】（1）解：∵当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒，5ꢑ∴售价每盒下降ꢀ元，则每天能售出�60+盒，25ꢑ故答案为：�60+�；2（2）解：设售价每盒下降ꢀ元，每天的销售利润为2550元，5ꢑ由题意得：�60+��180−ꢀ−140�=2550，2解得：ꢀ=6ꢀ=10，12180−6=174（元），180−10=170（元），答：当月饼每盒售价为174元或170元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；（3）解：不能，理由如下，设售价每盒下降ꢀ元，该商场每天所获得的利润是2700元，5ꢑ由题意得：�60+��180−ꢀ−140�=2700，2整理得：ꢀ2−16ꢀ+120=，Δ=162−4×1×120=−224<，∴方程无解，∴该商场每天所获得的利润不能达到2700元．25．（12分）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)概念理解：如图，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形ꢆꢇꢈꢉ．判断四边形ꢆꢇꢈꢉ的形状：筝形（填“是”或“不是”）；(2)性质探究：如图，已知四边形ꢆꢇꢈꢉ纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；(3)拓展应用：如图ꢆꢉ是锐角△ꢆꢇꢈ的高，将△ꢆꢇꢉ沿边ꢆꢇ翻折后得到△ꢆꢇꢊ，将△ꢆꢈꢉ沿边ꢆꢈ翻折后得到△ꢆꢈꢋ，延长ꢊꢇ,ꢋꢈ交于点G．①若∠ꢇꢆꢈ=50，当△ꢇꢈꢎ是等腰三角形时，请直接写出∠ꢇꢆꢉ的度数；②若∠ꢇꢆꢈ=45，ꢇꢉ=2,ꢆꢉ=5,ꢆꢊ=ꢊꢎ=ꢋꢎ，求ꢈꢉ的长．【答案】(1)四边形ꢆꢇꢈꢉ是“筝形”；(2)筝形的角对应相等、对角线互相垂直；∠ꢆ=∠ꢈ（答案不唯一）15(3)∠ꢇꢆꢉ的度数为10，4025；ꢇꢈ=7【分析】（1）根据题意得ꢉꢆ=ꢉꢈ，ꢇꢆ=ꢇꢈ即可证明；（2）连接ꢇꢉ，根据折叠性质可证明△ꢆꢇꢉ≌△ꢈꢇꢉ(SSS)即可得到结论；（3）①分情况讨论：当ꢇꢈ=ꢇꢎ时，由折叠性质即可求解；当ꢇꢈ=ꢈꢎ时，当ꢎꢈ=ꢇꢎ时，同理可得；②有折叠性质可证四边形ꢆꢊꢎꢋ是正方形，设ꢈꢉ=ꢈꢋ=ꢀ，根据勾股定理即可求解．【详解】（1）解：由折叠性质得：ꢉꢆ=ꢉꢈ，ꢇꢆ=ꢇꢈ，∴四边形ꢆꢇꢈꢉ是“筝形”；故答案为：是；（2）解：筝形的对应角相等、对角线互相垂直；∠ꢆ=∠ꢈ；连接ꢇꢉ，如图，在△ꢆꢇꢈ△ꢈꢇꢉ中，∵ꢉꢆ=ꢉꢈꢇꢆ=ꢇꢈ，ꢇꢉ=ꢇꢉ，∴△ꢆꢇꢉ≌△ꢈꢇꢉ(SSS)，∴∠ꢆ=∠ꢈ；（3）解：①当ꢇꢈ=ꢇꢎ时，如图，∵∠ꢇꢆꢉ=∠ꢇꢆꢊ,∠ꢈꢆꢉ=∠ꢈꢆꢋ，∠ꢇꢆꢈ=50，∴∠ꢊꢆꢋ=2∠ꢇꢆꢈ=100，∵∠ꢊ=∠ꢋ=90，∴∠ꢊꢎꢋ=180°−100°=80，∵ꢇꢈ=ꢇꢎ，∴∠ꢇꢈꢎ=∠=80，∴∠ꢆꢈꢇ=∠ꢆꢈꢋ=50，∴∠ꢆꢇꢈ=180°−50°−50°=80，∵∠ꢆꢉꢇ=90，∴∠ꢇꢆꢉ=10；当ꢇꢈ=ꢈꢎ时，同理可得∠ꢇꢆꢉ=40；当ꢎꢈ=ꢇꢎ时，同理可得∠ꢇꢆꢉ=25，综上：∠ꢇꢆꢉ的度数为1040，25；解：②由折叠性质可得：ꢆꢊ=ꢇꢉ=，ꢆꢉ=5=ꢆꢊ=ꢊꢎ=ꢋꢎ，ꢈꢉ=ꢈꢋ，∠ꢊ=90，∠ꢋ=90°，∴ꢇꢎ=3，∵∠ꢇꢆꢈ=45，∴∠ꢊꢆꢋ=90，∴四边形ꢆꢊꢎꢋ是正方形，∴∠ꢎ=90°设ꢈꢉ=ꢈꢋ=ꢀ，则ꢇꢈ=2+ꢀꢈꢎ=5−ꢀ，22157∴ꢇꢎ2+ꢈꢎ2=ꢇꢈ2，即32+�5−ꢀ�=�2+ꢀ�，解得：ꢀ=，157∴ꢇꢈ=；【点睛】本题考查了四边形的综合题，折叠的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质等，解题的关键是