人教版中考考前模拟测试《数学试卷》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.-2020的绝对值是（）

11

A.-2020B.2020C.-----------D.-------

20202020

2.若NA与互为余角，乙4=40。，则/B=（）

A.140°B.40°C.50°D.60°

3.如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是（）

4.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.&B.V6C.712

5.如图所示.在△ABC中，AB=AC,ZB=50°,则/A=()

A.50°B.75°C.80°D.50°或80°

6.若点P（a-1,2“）在第二象限，则”的取值范围是（）

A.-l<a<0B.OCaVlC.a<0D.«>1

7.用配方法解方程x2+2x-3=0,下列配方结果正确的是（）

A.（X-1）2=2B.（X-1）2=4C.（X+1）2=2D.(%+1)2=4

8.一次函数产3x-2的图象不经过（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：两匹马和一头牛的总价比一万钱还多半匹

马的价格；一匹马和两头牛的总价比一万钱又少半头牛的价格.问一匹马和一头牛的价格分别是多少钱?

设一匹马的价格为X钱，一头牛的价格为y钱，可列方程组为()

_x

X+2y=2

B.

2x+y=2

2

x

2x+y=10000+1x+2y=10000+金

x

x+2y=10000-22x+y=10000—

10.如图,直线/l〃/2〃，3,A，h，，3分别交直线〃％”于点A，B,C,D,E,F,AB=EF,BC=——，DE=3,

3

C.7D.8

II.已知抛物线)=-ar?-2办+以〃，c是常数)经过不重合的两点A(2,1),B(m,1),则〃?=()

A.-4B.-2C.0D.1

12.如图，在正方形ABC。中，点E,尸分别为4B,4。的中点，CE,8F相交于点G,AB=2,则CG=()

「46述

5丁

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.分解因式：x3y-9xy=.

4

14.如图，点A是反比例函数y=-一(x<0)图象上一点，ABLx轴于点8,点C是y轴上的一动点，则AABC

X

的面积为

15.如图，四边形A8C。内接于半径为6。。，ZABC=WO°,则劣弧AC的长为

16.如图，在菱形ABCD中，AB=8,按以下步骤作图：

①分别以点C和点D为圆心，以大于gCD的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点;

②作直线MN.

若直线MN恰好经过点A,则菱形ABCD的面积等于一.

三、解答题：本大题共12小题，共86分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.计算：配_2sin60°-（；）~+（兀-3.14）°.

,1

18.先化简，再求值：4〃（。-1）-（1+2。），其中。二.

4

19.解方程：k二-1=0.

2x-\

20.如图，在以BCD中，E,尸是对角线AC上的两点，S.AE=CF,BE=6,求。尸的长度.

21.“新型冠状病毒肺炎”疫情牵动着亿万国人的心，为进一步加强疫情防控工作，兰州市某学校利用网络

平台进行疫情防控知识测试.洪涛同学对九年级1班和2班全体学生的测试成绩数据进行了收集、整理和分

析，研究过程中的部分数据如下.

信息一：疫情防控知识测试题共10道题目，每小题10分;

信息二：两个班级的人数均为40人；

信息三：九年级1班成绩频数分布直方图如图，

信息四：九年级2班平均分计算过程如下，

60x3+70x17+80x3+90x9+100x8

=80.5(分);

3+17+3+9+8

信息五:

统计量

平均数中位数众数方差

班级

九年级1班82.5m90158.75

九年级2班80.575n174.75

根据以上信息，解决下列问题：

(1)m=,n-；

(2)你认为哪个班级的成绩更加稳定？请说明理由；

(3)在本次测试中，九年级1班甲同学和九年级2班乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自班级中谁

的成绩排名更靠前？请说明理由.

22.为了参加学校组织的志愿服务活动，八年级1班需要在A,B,C,£＞四名学生中随机选派2名学生参加,

请用列表或画树状图的方法求出恰好选派4和C两位同学都参加的概率.

1k

23.如图，一次函数＞=-彳》+/?的图象与x轴，v轴分别交于A,8两点，与反比例函数y=—(x＜0)的图象

2x

交于点C(-2,2).

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点O,连接CD.求△BCD的面积.

24.如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的。。与BC相交于点D,过点D作。。的切线与AB相交于点E.

(1)求证：DE±AB；

(2)若BE=2,BC=6,求。。的直径.

25.如图是一座现代化大型单塔双面扇形斜拉桥，主桥采用独塔双面索斜拉设计，主桥桩呈形，两侧

用钢丝绳斜拉固定.

问题提出：

如何测量主桥桩顶端至桥面的距离AD1

方案设计：

如图，某数学课题研究小组通过调查研究和实地测量，在桥面8处测得/ABC=26.57°,再沿8。方向走21

米至C处，在C处测得/ACD=30.96°.

问题解决：

根据上述方案和数据，求银滩黄河大桥主桥桩顶端至桥面的距离AD.

(结果精确到1m,参考数据：sin26.57°七0.447,cos26.57°-0.894,tan26.57°g0.500,sin30.96°心0.514,

cos30.960弋0.858,tan30.96°^0.600)

26.如图，AB/7CD,AB=5cm,AC=4cm,线段AC上有一动点E,连接BE,ED,ZBED=ZA=60°,设A,E两点

间的距离为xcm,C,D两点间的距离为ycm.

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,

请补充完整.

(1)列表：如表的已知数据是根据A,E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几

组对应值：

x/cm00.511.522.32.5

y/cm00.390.751.071.331.45

x/cm2.83.23.53.63.83.9

y/cm1.531.421171.030.630.35

请你补全表格;

(2)描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应点(x,y),并画出函数y关于x

的图象;

(3)探究性质：随着自变量x不断增大，函数y的变化趋势：

(4)解决问题：当AE=2CD时，CD的长度大约是cm.

B

27.如图,在。ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE,与AD交于

点F,连接0E,使得0E=0I).在AD上截取AH=CD,连接EH,ED.

(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由;

(2)若AB=LBC=3,求EH的长.

28.如图1,二次函数了=一;f+云+。的图象过A(5,0)和8(0,g)两点，射线CE绕点C(0,5)旋转，交抛

物线于£>,£两点，连接AC.

(1)求二次函数yu-'f+bx+c的表达式；

(2)连接OE,AE,当△CE。是以CO为底的等腰三角形时，求点E的坐标和△ACE的面积；

(3)如图2,射线CE旋转时，取。E的中点F,以。尸为边作正方形。FMN.当点E和点A重合时，正方

形OFMN的顶点M恰好落在x轴上.

①求点M的坐标；

②当点E和点A重合时，将正方形OFMN沿射线”方向以每秒垃个单位长度平移.设运动时间为f秒.直

接写出正方形。尸MN落在x轴下方的面积S与时间《0WtW4)的函数表达式.

答案与解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.-2020的绝对值是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据绝对值的定义直接进行计算即可.

【详解】解：根据绝对值的概念可知：I-20201=2020,

故选：B.

【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的概念，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数

的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

2.若N4与NB互为余角，N4=40°,则NB=（）

A.140°B.40°C.50°D,60°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据余角的定义即可求出NB.

【详解】与互为余角，ZA=40°,

AZB=90°-40°=50°,

故选：C.

【点睛】此题考查的是求一个角的余角，掌握余角的定义是解决此题的关键.

3.如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是（）

A.।।B.1.C.f----D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据左视图是从左面看到的图象判定则可.

【详解】从左面看易得第一层有2个正方形，

第二层最左边有一个正方形.

故选B.

【点睛】本题考查了三视图知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

4.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.>/8B.76C.V12D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合

选项求解即可.

【详解】A.屈=2近,此选项错误;

B.后是最简二次根式，此选项正确;

C.712=273.此选项错误;

D.=—.此选项错误;

Y33

故选：B.

【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行

判断.

5.如图所示.在△ABC中，AB=AC,ZB-5O0,贝|NA=()

B.75°C.80°D.50°或80°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据AB=AC得出=NC,再根据三角形内角和定理求算即可.

【详解】I•在AABC中,AB=AC,ZB=50°,

.•,ZC=50°,

；./A=180。-50°-50。=80°

故选：C.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形等边对等角是解题关键.

6.若点2a)在第二象限，则。的取值范围是()

A.-1<a<0B.0<a<lC.a<0D.a>\

【答案】B

【解析】

【分析】

根据第二象限点的坐标符号，得出2a>0,a-1<0,即可得出0Va<l,选出答案即可.

【详解】：点尸(〃-1,2幻在第二象限，

«-1<0

••<，

[2a>0

解得：0<«<1,

则a的取值范围是

故选:B.

【点睛】本题考查了点的坐标，利用第二象限的横坐标小于零，纵坐标大于零得出不等式组是解题关键.

7.用配方法解方程x2+2x-3=0,下列配方结果正确的是()

A.(%—1)2=2B.(x—1)2=4C.(x+l)2=2D.(%+1)2=4

【答案】D

【解析】

【分析】

配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)方程两边同时加上一

次项系数一半的平方，据此求解即可.

【详解】解：：X2+2X-3=0,

x?+2x=3,

x~+2x+1=1+3,

...(x+l)2=4,

故选：D.

【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二

次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

8.一次函数尸3『2的图象不经过().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

因为k=3>0,b=-2<0,根据一次函数y=kx+b(k/0)的性质得到图象经过第一、三象限，图象与y轴的交

点在x轴下方，于是可判断一次函数y=3x-2的图象不经过第

二象限.

【详解】对于一次函数y=3x-2,

Vk=3>0,

，图象经过第一、三象限;

又..加工。,

...一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，即函数图象还经过第四象限,

.•.一次函数y=3x-2的图象不经过第二象限.

故选B.

【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b(a0)的性质：当k<0,图象经过第二、四象限，y随x的增大而减

小；当k>0,经图象第一、三象限，y随x的增大而增大；当b>0,一次函数的图象与y轴的交点在x轴

上方；当b<0,一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方.

9.我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：两匹马和一头牛的总价比一万钱还多半匹

马的价格；一匹马和两头牛的总价比一万钱又少半头牛的价格.问一匹马和一头牛的价格分别是多少钱?

设一匹马的价格为x钱，一头牛的价格为y钱，可列方程组为()

,X

2x+y=5x+2y=5

A.<B.

2x+yz

2

x

2x+y=10000+-x+2y=10000+曰

C.2

D.

X

x+2y=10000-22x+y=10000-5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题目中的等量关系列出方程即可.

【详解】设一匹马值x钱、一头牛值y钱,

2x+j；=10000+|

由题意可列方程组《

x+2y=10000-1

故选：C.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是解题关键.

25

10.如图，直线/|〃/2〃/3,/”12,,3分别交直线〃7,〃于点A，B,C,D,E,F,AB=EF,BC=—,DE=3,

3

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平行线分线段成比例定理求解即可.

【详解】•.Z〃/2〃/3,

.ABDE

'：AB=EF,

EFDE

"~BC~~EF'

EF_3

即巨一而，

T

解得：EF=5,

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握知识点是解题关键.

11.已知抛物线)=-or?-2or+c(a,c是常数)经过不重合的两点4(2,1),B(m,1),则"?=()

A.-4B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

由A,B两点的纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，所以先求出A,B中点坐标，再代入对称轴即可得出

答案.

【详解】VA(2,1),B[m,1),

2+加

线段48的中点坐标为(——，I),

2

—2。

・・•二次函数的对称轴为直线X=-7二-1,

2♦(-。)

2+m

---------=-1,

2

解得：m--4,

故选：A.

【点睛】本题考查了抛物线的性质，由A,B两点的纵坐标相同得到它们关于对称轴对称是解题关键.

12.如图，在正方形ABC。中,点E,F分别为AB,的中点，CE,BF相交于点G,AB=2,则CG=()

2754V3D.竽

B.r

'Tr5

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据题意证明△AFBg△8EC,可得NEG8=90°,在Rt/XCBE中即可求出tan/ECB,所以在Rt/XBCG

中，设BG=x,CG=2x,根据勾股定理求解即可得答案.

【详解】在正方形ABC。中，BC=AB=2,/A=NEBC=90°,

•.•点E,尸分别为A8,AD的中点,

：.AF=BE^\,

AF=BE

在△AFB与△BEC中，,NA=NE8C,

AB=BC

AAFB^ABEC(SAS),

NFBA=/ECB,

,:NECB+NBEC=NFBA+/BEC=9Q°,

ZEGB=90Q,

*,EB1

在RtzXCBE中，tanZECfi=—=一，

BC2

在RtZVBCG中，设BG=x,CG=2x,

由勾股定理可知：X2+4X2=4,

解得：x=正,

5

.4也

••=----,

5

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点是解题关键.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.分解因式：xy-9xy=____.

【答案】xy(x+3)(x-3).

【解析】

【分析】

先提取公因式x,再利用平方差公式进行分解.

【详解】x3y-9xy

=xy(d-9)

=xy(x+3)(尤-3)

故答案为：xy(x+3)(x-3).

【点睛】此题主要考查了分解因式，根据题目选择适合的方法是解题关键.

4

14.如图，点4是反比例函数y=-一(x<0)图象上一点，轴于点B,点C是y轴上的一动点，则AABC

x

的面积为—.

【答案】2.

【解析】

【分析】

连结0A,因为ABLx轴，所以可得SAOAB=SACAB，即可求解.

【详解】连结OA,如图，

•.,AB_Lx轴,

...OC〃AB,

•'•S&OAB=S&CAB>

而S&OAB—51kl=2,

SACAB=2，

故答案为：2.

【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握性质是解题的关键.

15.如图，四边形A8CO内接于半径为6的。。，NABC=100°，则劣弧AC的长为

【答案】yn.

【解析】

【分析】

连接OA、0C,根据圆的内接四边形的性质得出ND的度数，然后根据圆心角和圆周角的关系得出NAOC

的度数，最后根据弧长的计算公式得出答案.

详解】连接OA、0C,

四边形ABCD内接于。0,

AZD+ZABC=180°,

VZABC=100°,

ZD=80°,

・•・由圆周角定理得：ZAOC=2Z£>=160°,

.,,“、1160•乃x616

・・・劣nff弧AC的长为———=—7i,

故答案为：—71.

【点睛】本题主要考查的是圆的四边形的性质以及弧长的计算公式，属于中等难度题型.解决这个问题的

关键就是求出ND的度数.

16.如图，在菱形ABCD中，AB=8,按以下步骤作图：

①分别以点C和点D为圆心，以大于gCD的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点；

②作直线MN.

若直线MN恰好经过点A,则菱形ABCD的面积等于—.

【答案】325/3.

【解析】

【分析】

由作法得AE垂直平分CD,根据四边形ABCD是菱形，AD=CD=2ED得出NOAE=30。，从而计算AE的长

度，从而计算面积.

【详解】由作法得AE垂直平分CD,如图：

7p

：.ZAED=90°,CE=DE.

•.•四边形ABCD为菱形，

；.AD=2DE,AB=AD=DC=BC=8,

AZDAE=30°,ZD=60°,

AEDM,

••.AE=,82_42=46,

菱形ABCD的面积为：473x8=3273.

故答案为：32G.

【点睛】本题考查垂直平分线的性质、菱形的性质、菱形的面积求算.掌握相关的线段转化与特殊角的判

断是解题关键.

三、解答题：本大题共12小题，共86分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.计算：V12-2sin60o-（；）”+（兀-3.14）°.

【答案】M-1

【解析】

【分析】

根据二次根式运算法则，特殊角三角函数值，负整数指数基运算法则，零指数幕运算法则进行实数的混合

运算即可求解.

【详解】原式=26-2x走-2+1

2

=2--y/3—2+1

=yfi—1

【点睛】本题考查了实数的加减混合运算，应用了二次根式运算法则，特殊角三角函数值，负整数指数幕

运算法则，零指数幕运算法则，加减混合运算按照从左至右的顺序进行运算即可.

,1

18.先化简，再求值：4a(a-1)-(1+2a),其中a=----.

4

【答案】-8a-1,1.

【解析】

【分析】

根据整式的乘法法则，完全平方公式展开计算.

【详解】原式=4“2-4a-1-4a-4/

=-8a-1.

当a=-1时，

4

原式=2-1=1.

【点睛】完全平方公式的展开口诀“首平方尾平方，两倍的乘积在中央”.

19.解方程：—1——1=0.

2x-l

【答案】x=l.

【解析】

【分析】

去分母，将方程化为整式方程，再求解，最后检验.

【详解】解：去分母得：1-2%+1=0,

解得：x=l,

经检验41是分式方程的解.

【点睛】本题考查解分式方程.掌握分式方程求解是解题关键，注意最后的结果一定要检验.

20.如图，在加88中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF,BE=6,求OF的长度.

【答案】6.

【解析】

【分析】

证4ABE丝Z\CDF(SAS),由全等三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,AB=CD,

，NBAE=NDCF,

在aABE和4CDF中，

AB=CD

<ZBAE=NDCF,

AE=CF

.,.△ABE^ACDF(SAS),

；.DF=BE=6.

【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角

形全等是解题的关键.

21.“新型冠状病毒肺炎”疫情牵动着亿万国人的心，为进一步加强疫情防控工作，兰州市某学校利用网络

平台进行疫情防控知识测试.洪涛同学对九年级1班和2班全体学生的测试成绩数据进行了收集、整理和分

析，研究过程中的部分数据如下.

信息一：疫情防控知识测试题共10道题目，每小题10分；

信息二：两个班级的人数均为40人；

信息三：九年级1班成绩频数分布直方图如图，

信息四：九年级2班平均分的计算过程如下，

60x3+70x17+80x3+90x9+100x8八

信息五:

统计量

平均数中位数众数方差

班级

九年级1班82.5m90158.75

九年级2班80.575n174.75

根据以上信息，解决下列问题:

(1)m-n=

(2)你认为哪个班级的成绩更加稳定？请说明理由；

(3)在本次测试中，九年级1班甲同学和九年级2班乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自班级中谁

的成绩排名更靠前？请说明理由.

小数(频数)

13----------------------

9-------------

7---------------------------

4————

0^^60708090100-嫄

【答案】(1)85,70；(2)九年级1班的成绩更加稳定，理由见解析；(3)九年级1班的成绩排名更靠前,

理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据中位数和众数的定义求解即可；

(2)根据方差进行分析即可；

(3)根据平均数，中位数，众数综合分析即可.

【详解】(1)九年级1班共有40名学生，最中间的数是第20、21个数的平均数，

，八皿80+90八

.,•中位数〃?=-------=85(分)，

2

•.•在九年级2班中，70分出现了17次，出现的次数最多，

众数："=70分，

故答案为：85,70；

(2)•九年级I班的方差是158.75,九年级2班的方差是174.75,

九年级1班方差大于九年级2班的方差

，，九年级1班的成绩更加稳定；

(3)九年级1班的成绩排名更靠前，理由如下：

•••九年级1班的平均数是82,九年级2班的平均数是80,

九年级1班的平均数高于九年级2班的平均数；

•••九年级1班的中位数是85分，九年级2班的中位数是75分，

九年级1班的中位数高于九年级2班的中位数；

又•..九年级1班的众数是90分，九年级2班的众数是70分，

...九年级1班的成绩排名更靠前.

【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数和方差的性质，掌握知识点是解题关键.

22.为了参加学校组织的志愿服务活动，八年级1班需要在A,B,C,。四名学生中随机选派2名学生参加,

请用列表或画树状图的方法求出恰好选派A和C两位同学都参加的概率.

【答案】7-

【解析】

【分析】

根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选派A和C两位同学都参加的情况，再

用概率公式即可求出答案.

【详解】根据题意，画出树状图：

ZN/N/N/N

第二;欠BCDACDABDABC

所有可能的结果为12种，

恰好有4和C两位同学的有2种，

所以尸(恰好为AfiiC两世同学)=—•

6

【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，掌握知识点是解题关键.

23.如图，一次函数了=-工户匕的图象与x轴，y轴分别交于A,8两点，与反比例函数y=&(x<0)的图象

2x

交于点C(-2,2).

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)过点8作x轴的平行线交反比例函数的图象于点。，连接8.求的面积.

414

【答案】(1)y=-：x+l,y=­；(2)2.

2x

【解析】

【分析】

(1)把点C(-2,2)分别代入一次函数，反比例函数解析式，即可求解；

(2)求出点8坐标，进而求出点。坐标，利用三角形面积公式即可求解.

【详解】(1)把C(-2,2)代入得1+6=2,解得：b=l,

，一次函数解析式为y=一;x+1；

k

把C(-2,2)代入尸一得Q-2X2=-4,・•・

X

4

反比例函数解析式y=-一；

x

(2)令尸0,求的)=1,...点B坐标为(0,1),

•.,8O〃x轴，点的纵坐标为1,

41

当产1时，一一=1,解得：4-4,则£)(-4,1),：.BD=0-(-4)=4,.•.△BCD的面积=—x4X(2-1)=2.

x2

【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合练习，待定系数法是求函数解析式一般方法，要深刻领

会.轴，意味着点。与点8的纵坐标相等.

24.如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的。。与BC相交于点D,过点D作。0的切线与AB相交于点E.

(1)求证：DE1AB；

(2)若BE=2,BC=6,求。。的直径.

9

【答案】(1)证明见解析；(2)00直径为二.

【解析】

【分析】

(1)连接AD,0D,得出AD1BC,再根据AB=AC得出BD=CD,得出0D是三角形ABC的中位线，从而得出0D〃AB,

从而得证；

(2)根据BE=2,BC=6得出。七=6,易证△AEDSAADC,AE=J^a,AD=3a,解直角三角形AED得出a的

值，从而求算AB,算出直径.

【详解】(1)连接AD,0D.

〈AC是。。的直径，

AAD1BC.

VAB=AC,

，BD=CD.

VAO-CO,

/.01)/7AB,

ADE1AB；

(2)VDE±AB,

AZBED=ZAED=90°.

VBE=2,BC=6,

；・BD=CD=3,

22

・・・DE=7B£>-BE=任,

VZAED=ZADC=90°,/BAD=NCAD,

AAAED^AADC,

.AEDEy[5

••--------——,

ADDC3

设AE=J^a,AD=3a.

VAE2+DE2=AD2,

:.5a2+5=9a2,

:自=旦(负值舍去)，

2

5

.•.AE=一，

2

9

，AB=AE+BE=-,

2

9

，。0的直径为二.

2

【点睛】本题考查圆与相似、勾股定理等综合题目，难度一般.掌握相关的线段与角度的转化是解题关键.

25.如图是一座现代化大型单塔双面扇形斜拉桥，主桥采用独塔双面索斜拉设计，主桥桩呈“H”形，两侧

用钢丝绳斜拉固定.

图1

问题提出:

如何测量主桥桩顶端至桥面的距离AD?

方案设计:

如图，某数学课题研究小组通过调查研究和实地测量，在桥面8处测得/ABC=26.57°,再沿8。方向走21

米至C处，在C处测得NACZ)=30.96°.

问题解决:

根据上述方案和数据，求银滩黄河大桥主桥桩顶端至桥面的距离AD.

（结果精确到加，参考数据:sin26.57°七0.447,cos26.57°~0.894,tan26.57°«=0.500,sin30.96°=«0.514,

cos30.96°«=0.858,tan30.96°弋0.600）

［答案】银滩黄河大桥主桥桩顶端至桥面的距离AD为63米.

【解析】

【分析】

先根据题意得出NABD、NACD的度数及BC的长，再利用锐角三角函数的定义，在RtZ^ABD中用AD表

示BD,在RlZ\ACD中用AD表示CD,最后由BD-CD=BC列出AD的方程，求得AD便可.

【详解】解：根据题意得:

ZABD=26.57°,ZAC£>=30.96°,8c=21米,

在RtZ\ABZ）中，乙48£>=26.57°,

AD

・・tanX.ABD------,

BD

AD

・•・BD=—=2AD,

3126.57°0.5

在RtZVIC。中，ZACD=30.96°,

AD

tanNACO—,

CD

AD

：.CD

S〃30.96°0.63

■:BD-CD=BC,BC=21,

：.2AD--AD=21,

3

.・・AO=63（米）.

答：银滩黄河大桥主桥桩顶端至桥面的距离AD为63米.

【点睛】本题是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，主要考查锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值,

列出AD的方程是解题的关键.

26.如图，AB〃CD,AB=5cm,AC=4cm,线段AC上有一动点E,连接BE,ED,ZBED=ZA=60°,设A,E两点

间的距离为xcm,C,D两点间的距离为ycm.

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,

请补充完整.

(1)列表：如表的已知数据是根据A,E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几

组对应值：

x/cm00.511.522.32.5

y/cm00.390.751.071.331.45

x/cm2.83.23.53.63.83.9

y/cm1.531.421.171.030.630.35

请你补全表格；

(2)描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画出函数y关于x

的图象；

(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；

（4）解决问题：当AE=2CD时，CD的长度大约是cm.

B

【答案】（1）1.50；（2）答案见解析；（3）当0WxW2.8时，y随x的增大而增大，当2.8<xW3.9时，y

随x的增大而减小（答案不唯一）；（4）0.50cm或1.50cm（答案不唯一）.

【解析】

【分析】

（1）将所有点描述在平面直角坐标系中，通过函数图象得出：当x=2.5时，yg1.50cm；

（2）将所有点描述在平面直角坐标系中，并顺次连接起来即可；

（3）观察图象的上升或者下降趋势即可得出y随x的变化趋势；

（4）当AE=2CD时即：y=；x,在平面直角坐标系中画出其图象，与原图象交点即为CD的长度.

【详解】（1）通过画图得：当x=2.5时，y^l.50cm.

故答案为：1.50（答案唯一）；

（2）画出该函数的图象如下：

（3）随着自变量x的不断增大,函数y的变化趋势是:当0WxW2.8时,y随x的增大而增大,当2.8<xW3.9

时，y随x的增大而减小（其中2.8是概略数值，答案不唯一）.

故答案为：当0WxW1.8时，y随x的增大而增大，当2.8<xW3.9时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；

（4）当AE=2CD时，即x=2y,则y=；x,

画出函数图象：y=；x,该函数图象和原函数图象交点，即为所求,

两个函数交点的横坐标为：0.50或1.50,

故CD=y=0.50或1.50.

故答案为：0.50cm或1.50cm（答案不唯一）.

【点睛】本题是一道探究题目，掌握函数的基本知识学会通过图象获取信息是解题关键.

27.如图，在。ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE,与AD交于

点F,连接0E,使得0E=0D.在AD上截取AH=CD,连接EH,ED.

（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

（2）若AB=1,BC=3,求EH的长.

【答案】（1）四边形ABCD是矩形，理由见解析；（2）0.

【解析】

【分析】

（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得A0=0C,再根据三角形AEC是等腰直角三角形，得出0E=A0=0C,

再根据0E=0D得出0D=0E=0A=0C=0B,从而得出AC=BD,从而得证；

（2）根据AB=1,BC=3,根据AH=CD得AH=1,从而计算HD=2,再根据三角形AEC是等腰直角三角形证明

△AEH^ACED,得出三角形EHD是等腰直角三角形，从而计算EH的长.

【详解】（1）四边形ABCD是矩形.理由如下：

・・•四边形ABCD是平行四边形，

Z.OA=OC=-AC,OB=OD=-BD.

22

VAAEC是等腰直角三角形，

AOE1AC,OE=-AC=OA.

2

VOE=OD,

A0A=0D,

JAOBD,

・・・平行四边形ABCD是矩形；

(2),・•平行四边形ABCD是矩形,

・・・AD=BC=3,ZADC=90°,CD=AB=1.

VAH=CD,

AAH=1.

VZAEC=ZADC=90°,

・・・NDCF+NDFC=NEAF+NAFE=90°.

ZAFE=ZDFC,

/.ZDCF=ZEAF,

AE=CE

在△AEH和ACED中，，NEAH=/ECD,

AH=CD

/.△AEH^ACED(SAS),

・・・E