考点05 一次方程（组）（精讲）（原卷版）

考点05.一次方程（组）（精讲）【命题趋势】一次方程（组）在中考数学中较为简单，每年考查2-3题左右，分值为10分左右。各地中考中，对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考查。预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。【知识清单】1：等式的基本性质（☆☆）1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式；3）若a=b，b=c，则a=c（传递性）。2：一元一次方程（☆☆）1）方程：含有未知数的等式叫做方程．2）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程。3）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程。它的一般形式为。注意：x前面的系数不为0。4）一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解。5）一元一次方程的求解步骤变形名称具体做法去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数。去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号。移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为3：二元一次方程（组）（☆☆）1）二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。3）二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为。4）解二元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。5）二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。4：一次方程（组）的实际应用（☆☆☆）1）列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2）一次方程（组）常见的应用题型（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．【易错点归纳】1.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母。2.一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。3.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。【核心考点】核心考点1.等式的基本性质例1：（2023·浙江杭州·统考二模）设a，b，m均为实数，（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则变式1.（2023·安徽宿州·统考三模）若a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是(

)A．B．C．D．例2：（2022·山东滨州·统考中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（

）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2变式1.（2023·福建福州·校考三模）在除法运算中，被除数余数商除数，小明在研究这个算法时，进行了以下操作：①．②由①得到19后，再做余数为4；③由①②得，被除数为38，余数为4，被除数余数，④由①②得，商为3，除数为，商除数；⑤根据除法逆运算公式：被除数余数商除数，可得：；⑥根据等式性质：，即显然小明研究的步骤有误，他第一次错误的步骤是．（仅填写每一步骤前的序号）变式2.（2023·福建·统考模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数为x，令，等式两边都乘以x，得．①等式两边都减，得．②等式两边分别分解因式，得．③等式两边都除以，得．④等式两边都减m，得x＝0.⑤所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是．例3：（2023·河北保定·校考一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（

）A． B． C． D．变式1.（2023·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（）A．如果，那么（a，b，c均不为0）B．如果，那么（a，b，c均不为0）C．如果，那么（a，b，c均不为0）D．如果，那么（a，b，c均不为0）核心考点2.一元一次方程例4：（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（

）A．3 B． C．7 D．变式1.（2023·广东清远·统考二模）下列方程中，解是的方程是（

）A． B． C． D．变式2.（2023·山东德州·九年级校考期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则．例5：（2023·浙江·统考二模）以下是圆圆解方程的解答过程．解：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，两边同除以，得．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．变式1．（2023·浙江温州·统考一模）解方程，以下去分母正确的是（

）A．B．C．D．变式2．（2023·浙江·统考一模）解方程：核心考点3.二元一次方程（组）例6：（2023·浙江衢州·统考中考真题）下列各组数满足方程的是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·河北秦皇岛·模拟预测）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（

）A． B． C． D．变式2．（2023·四川凉山·校考一模）下列方程中，是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．例7：（2022·浙江台州·中考真题）解方程组：．变式1.（2023·浙江衢州·校考一模）解二元一次方程组最好的做法首先采用（

）A．代入法 B．加减法 C．都可以 D．无法确定变式2．（2022·湖南株洲·中考真题）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（

）A．B．C．D．变式3．（2022·广西桂林·中考真题）解二元一次方程组：．变式4．（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）（1）计算：；（2）下面是小辉和小莹两位同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：令小辉：由②得，．③…………第一步将③代入①得，．……第二步整理得，．………………第三步解得．…………第四步将代入③，解得．………第五步∴原方程组的解为……………第六步小莹：得，．………………第一步解得，…………第二步将代入①得，．…………第三步整理得，．………………第四步解得…………第五步∴原方程组的解为…………第六步任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题．①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________；②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________；任务二：直接写出该方程组的正确解；任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）．例9：（2023·浙江杭州·校考三模）若方程组的解也是方程的解，则的值是（）A．6 B．10 C．9 D．变式1.（2023·江苏苏州·统考二模）如果实数x，y满足方程组，那么．变式2．（2023·江苏镇江·统考二模）已知二元一次方程组，则代数式变式3．（2023·江苏无锡·校联考一模）若二元一次方程组的解为，则．例8：（2023下·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）解方程组：(1)(2)(3)变式1.（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）方程组的解是（

）A． B． C． D．变式2．（2023下·四川成都·七年级校考期中）已知方程组，则的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6核心考点4.一次方程（组）的实际应用例9：（2023·新疆·校联考一模）商场按标价打八折销售某品牌电器一件，可获利500元，利润率为．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（

）A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元变式1．（2023·四川成都·统考中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（

）A．B．C．D．变式2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力动力臂阻力阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（

）

A．6克 B．4克 C．3.5克 D．3克变式3．（2023·广西南宁·统考一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为，宽为，，则该纸盒的容积为（

）A． B． C． D．例10：（2021·四川资阳·统考中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．变式1．（2023·浙江杭州·校考一模）“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需元．变式2．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，年月日是我国第个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生？变式3．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）太原古县城，位于山西省太原市晋源区，是2500年晋阳古城文脉的延续．春节期间，在太原古县城内举办的“锦绣太原中国年·凤舞龙城花灯会”以及清明上河图数字体验馆吸引了众多游客．网上购买一张体验馆的门票比一张花灯会的门票多20元．一张体验馆的门票比现场购买少10元，一张花灯会的门票比现场购买少2元．现场购买，一张体验馆的门票比一张花灯会门票的2倍少22元．(1)请求出网上购买体验馆与花灯会的门票价格；(2)春节期间，某一购票网站搞活动，游客可以购买满300送30元的优惠券，若一个五口之家，通过网上购买体验馆门票和花灯会门票各5张，比现场购买便宜多少元？

例11：（2023·浙江嘉兴·统考一模）小明在超市购物时发现：顾客甲购买2瓶牛奶3个面包和5盒饼干花了32元，顾客乙购买3瓶牛奶2个面包和4盒饼干花了29元，则小明想购买4瓶牛奶1个面包和3盒饼干需要元．变式1.（2023·河北保定·统考二模）A，B两个容器分别盛有部分液体，容器的底部分别有一个出水口，若从A中取出20升倒入B中，再打开两容器的出水口，放完液体，B需要的时间是A的2倍．若将A中液体全部倒入B容器，并打开B容器的出水口，10分钟可以放完．若将B中液体全部倒入A容器，并打开A容器的出水口，15分钟可以放完．设开始时，A，B两容器中液体体积分别为升、y升．下面是甲、乙、丙三位同学的分析：甲：从A中取出20升倒入B中后，B中液体是A中液体的2倍；乙：A出水口的液体流速是B出水口液体流速的；丙：，y之间满足关系式：．其中分析正确的是（

）A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙丙变式2.（2023·北京平谷·统考二模）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A（绣球花）、B（祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为元；若王先生选定了