2025届高三数学一轮总复习 第二章 第四讲 幂函数与二次函数

第四讲幂函数与二次函数第二章函数、导数及其应用1.幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.幂函数的特征：①自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为1；③只有一项.函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x-1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}2.常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x-1性质奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶 函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在[0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1，1)(续表)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR值域3.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)单调性对称性(续表)【名师点睛】(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(2)一元二次不等式恒成立的条件①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＞0且Δ＜0”；②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＜0且Δ＜0”.考点一幂函数的图象和性质(m，n均

1.(2023年上海市校级模拟)如图2-4-1是函数y＝x为正整数且m，n互质)的图象，则(

)图2-4-1答案：B答案：CA.a<c<bC.b<c<a

B.a<b<cD.b<a<c答案：A【题后反思】幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.

(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.考点二二次函数的图象与性质考向1二次函数的图象通性通法：“三看”二次函数图象[例1](2023年海淀区一模)已知二次函数f(x)，对任意的x∈R，有f(2x)＜2f(x)，则f(x)的图象可能是()ABCD解析：二次函数f(x)，对任意的x∈R，有f(2x)＜2f(x)，令x＝0得，f(0)＜2f(0)，即f(0)＞0，故CD都不可能；答案：A考向2二次函数的单调性

通性通法：处理函数的单调性问题要注意数形结合思想的应用，尤其是求给定区间上的二次函数最值的问题，要先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).[例2]函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a的取值范围是( A.[－3，0) C.[－2，0]

)B.(－∞，－3]D.[－3，0]

解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；解得－3≤a<0.综上所述，实数a的取值范围为[－3，0].答案：D考向3二次函数中的恒成立问题通性通法：(1)解决二次函数中的恒成立问题一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据：a≥f(x)恒成立⇔a≥fmax(x)，a≤f(x)恒成立⇔a≤fmin(x).

[例3](1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是__________； (2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则实数k的取值范围为__________.

解析：(1)作出二次函数f(x)的草图如图2-4-2，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，图2-4-2(2)由题意得x2＋x＋1＞k在区间[－3，－1]上恒成立；设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上单调递减.∴gmin(x)＝g(－1)＝1.∴k＜1.故实数k的取值范围为(－∞，1).【考法全练】1.(考向1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象大致是()ABCD可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－

<0，而解析：若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.答案：C2.(考向2)已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上单调递增，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是()A.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪[4，＋∞)B.(－∞，0] D.[0，4]

解析：∵f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，∴对称轴是直线x＝2，又f(x)在[0，2]上单调递增，则抛物线的开口向下，且f(x)在[2，4]上单调递减.∵f(a)≥f(0)，∴f(a)≥f(4)，∴根据二次函数的单调性并结合图象可得0≤a≤4.故选D.答案：D解：(1)由题意得c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，⊙分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用[例4]已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值.

【反思感悟】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是确定函数图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.【高分训练】设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图D3(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，fmin(x)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图D3(2)所示，fmin(x)＝f(1)＝1；当t≥1时，函数图象如图D