考点14 几何图形初步与平行线（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（解析版）

考点14.几何图形初步与平行线（精讲）【命题趋势】本专题内容是初中几何的基础，在中考数学中属于基础考点，年年都会考查，分值为8分左右，大部分地区在选择、填空题中考察可能性较大，主要考查平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。对本专题的复习也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待。【知识清单】1：认识几何图形（☆☆）1）几何图形的概念:我们把实物中抽象出来的各种图形叫几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形。2）立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形。3）平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形。4）正方体的展开图（共计11种）：5）几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形；2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线；3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面；4）体：几何体简称体。6）组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。7）拓展：欧拉公式：V+F-E=2，（其中：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E））。2：直线、射线、线段的相关概念（☆☆）1）直线的性质：（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）基本事实：经过两点有且只有一条直线。2）线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离。3）线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC。3：角的相关概念（☆☆）1）角：有公共端点的两条射线组成的图形。2）角平分线定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线。性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。3）度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°。4）余角和补角及其性质（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角。（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。4：相交线（☆☆）1）两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交。2）垂直定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直。3）垂直的性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。4）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。5）三线八角：直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．其中∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角。6）对顶角：1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。2）性质：对顶角相等。5：平行线的性质与判定（☆☆☆）1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。2）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。3）平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．（4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5）垂直于同一直线的两直线互相平行（同一平面内）。4）平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补。5）平行线间的距离（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。（2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等。6）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线拐点模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：【易错点归纳】1.一条射线要成为一个角的平分线必须同时满足两个条件：1）射线必须在角的内部；2）它把这个角分成两个相等的角；2.互为余角、补角是两个角之间的关系,只与角的度数有关，与角的位置无关；3.如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；4.平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件；5.在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的。【核心考点】核心考点1.认识几何图形例1：（2023·江苏镇江·校联考一模）不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模型并描述它的特征．小乐：它有4个面是三角形；小欣：它有6条棱．则该几何体模型的形状可能是（

）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱【答案】A【分析】根据几何体有4个面是三角形，有6条棱，进行判断即可．【详解】解：∵几何体有4个面是三角形，∴几何体不能是棱柱（棱柱侧面均为四边形，只有三棱柱上下底面是三角形）；又∵几何体有6条棱，∴选项中只有A选项符合题意；故选A．【点睛】本题考查几何体的判断．熟练掌握常见几何体的特征，是解题的关键．变式1.（2023·四川乐山·统考中考真题）下面几何体中，是圆柱的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据圆柱的特征，即可解答．【详解】解：A.是正方体，故不符合题意；B.是圆柱，故符合题意；C.是圆锥，故不符合题意；D.是球体，故不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．例2：（2023·河南周口·校联考三模）下列哪个不是正方体的侧面展开图（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据已知正方体图形，利用排除法选出正确答案，从底面和侧面的情况进行全面的分析，相邻必不相对．【详解】根据已知正方体图形，从底面和侧面的情况进行全面的分析，相邻必不相对．利用排除法可得D选项正确，故选：D【点睛】判断一个平面图形是不是某立体图形的平面展开图，需要从底面和侧面的情况进行全面的分析，反之相同，在分析过程中需谨记，相邻必不相对．此类题目的解答有两种思路∶①根据已知立体图形，利用排除法选出正确答案；②将选项中的展开图还原成成立体图形与已知立体图形比较得出正确答案．变式1.（2023·湖北宜昌·统考中考真题）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（

）．

A．文 B．明 C．典 D．范【答案】B【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，以此来找相对面．【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“城”字对面的字是“明”，故选：B.【点睛】本题考查了正方体相对面上的字，熟练掌握正方体的平面展开图特点是解题的关键．变式2.（2023·河北衡水·二模）如图所示的正方体，它的展开图可能是下列四个选项中的（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．【详解】解：根据正方体的平面展开图的特征，A选项折叠后“数”和“好”是相对面，不符合题意；B选项折叠后“数”和“好”是相对面，不符合题意；D选项折叠后“数”在正面、“好”在底部时，“学”却在“数”的右边，与题干图不一致，不符合题意；∴是该正方体的展开图的是C选项，故选：C．【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟知正方体展开图的各种情形．例3：（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可．【详解】解：由题意可知：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱．故选：B【点睛】本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键．变式1.（2023·江苏无锡·校考三模）一块直角边分别为6和8的三角形木板，绕长度为8的边旋转一周，则斜边扫过的面积是（）A．45 B． C．60 D．【答案】D【分析】先根据题意画出图形，求出圆锥的侧面积即可．【详解】如图，一块直角边分别为6和8的三角形木板，绕长度为8的边旋转一周，得到一个底面半径为6，高为8的圆锥，斜边即圆锥的母线扫过的面积即为圆锥的侧面积，∵，，∴．∴．故选D．【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键．变式2.（2023·河南信阳·二模）妹妹把一密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，水面的形状不可能是（

）A．三角形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆【答案】A【分析】根据圆柱体的截面形状，判断即可．【详解】解：因为圆柱的截面形状可能是圆形，椭圆形或长方形，所以，一个密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，则水面的形状不可能是三角形．故选：A．【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握圆柱体的截面形状是解题的关键．例5：（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为．

【答案】【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解．【详解】解：如图所示，依题意，，

∴图中阴影部分的面积为故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．变式1．（2023·浙江嘉兴·统考二模）2023年是农历兔年，小曹同学用边长为的正方形纸片制作了一副七巧板，再用这副七巧板拼成一只兔子（如图所示），已知，则与之间的距离为．

【答案】【分析】根据题意，分别求得①②号三角形的直角边长，根据⑥号平行四边形边上的高为④号正方形的边长，即①号直角三角形边长的一半，结合图形即可求解．【详解】解：∵正方形的边长为，则①②号三角形的直角边长为⑥号平行四边形边上的高为④号正方形的边长，即①号直角三角形边长的一半，∴，∴之间的距离为，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握七巧板的构成是解题的关键．例6：（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat

surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V468棱数E612面数F458（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：___________________．【答案】（1）表格详见解析；（2）【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；（2）从特殊到一般探究规律即可．【详解】解：（1）填表如下：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V4686棱数E691212面数F4568（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：．【点睛】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型．变式1．（2023·贵州铜仁·统考三模）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．(1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______．多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体m612正八面体n812正十二面体201230(2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______．(3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．【答案】(1)8；6(2)V+F-E=2(3)这个多面体的面数为16【分析】（1）观察图形即可得出结论；（2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2；（3）将所给数据代入（2）中的式子即可得到面数．【详解】（1）解：观察图形，长方体的定点数为8；正八面体的顶点数为6；多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体8612正八面体6812正十二面体201230故答案为：8；6；（2）解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；（3）解：由题意得：F+F-30=2，解得F=16，∴这个多面体的面数为16．【点睛】本题主要考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，正确理解题意是解题的关键．核心考点2.直线、射线、线段的相关概念例7：（2023·河北石家庄·校考模拟预测）如图，若射线与线段有一个公共点，则射线可能经过的点是（）

A．点D B．点E C．点Q D．点M【答案】A【分析】把P与各点的连线画出来，进而可得答案．【详解】解：如图，连接，，，，，由图可知与线段相交，

∴射线可能经过的点是D，故选：A．【点睛】本题考查了射线与线段．解题的关键在于熟练掌握射线、线段的特征．变式1.（2023·河北保定·校考三模）如图，直线，和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是（

）

A．① B．② C．③ D．④或⑤【答案】B【分析】根据线段的特点进行判断即可．【详解】解：∵线段与线段有公共点，∴点Q在②区域内，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了线段、直线和射线的定义，相交的定义，解题的关键是熟练掌握相交的定义．例8：（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可．【详解】解：∵两点之间线段最短，∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．变式1.（2023·陕西西安·模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是（

）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】B【分析】根据两点确定一条直线进行求解即可．【详解】解：锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是两点确定一条直线，故选B．【点睛】本题考查了两点确定一条直线，正确理解题意是解题的关键．变式2.（2023·浙江杭州·模拟预测）下面说法正确的是（

）A．两点间的连线的长度，叫做两点间的距离 B．连结两点的线段，叫做两点间的距离C．两点间的距离就是两点间的路程 D．两点间的距离是连结两点的线段的长度【答案】D【分析】根据两点间的距离的定义：连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，即可求解．【详解】连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，故A、B、C错误，D正确．故选：D．【点睛】本题考查了两点间的距离的定义，解题的关键是要明确：连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，不能漏掉“长度”．例9：（2023·黑龙江大庆·统考一模）哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4个车站，共有种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同）【答案】15【分析】把中途4站看作线段上的4个点，数出线段的数量即可求解．【详解】把中途4站看作线段上的4个点．线段共有：（条），所以有15种不同的票价．故答案为：15．【点睛】本题考查了线段数量问题，将问题转化是解题的关键．变式1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）2条直线最多有个交点，3条直线最多有个交点，按照规律依此类推，2023条直线最多有个交点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，，，由此发现规律，可得，从而得到，即可求解．【详解】解：根据题意得：，，，……，由此发现，，∴，∴．故选：B【点睛】本题主要考查了直线的交点个数，数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．变式2．（2023·安徽蚌埠·校考二模）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】根据题意画出图形即可求解．【详解】如图所示，将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为块，故选：C．【点睛】本题考查了直线分平面问题，理解题意是解题的关键．例10：（2023·河北沧州·校考模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(

)A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对【答案】A【分析】根据作图的方法以及线段的中点，三等分点的定义，即可求解．【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误．故选：A．

【点睛】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，画线段，分类讨论是解题的关键变式1．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，某同学用直尺画数轴．数轴上点A、分别在直尺的，处，若点A对应，直尺的0刻度位置对应，则线段中点对应的数为（

）

A．4 B．5 C．8 D．12【答案】A【分析】根据题意得出代表数轴上两个单位长度，求出线段中点对应直尺处，再求线段中点对应的数即可．【详解】解：∵点A、分别在直尺的，处，点A对应，直尺的0刻度位置对应，∴代表数轴上两个单位长度，∴线段中点对应直尺处，∴线段中点对应的数为：故选：A．【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离，理解题意是解题关键．变式2.（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由题意可求出，，，．再根据题意结合速度=路程÷时间讨论即可．【详解】解：由题意可知．∵，∴，，∴，．当大货车第一次到达D地时，用时，∴此时小车行驶路程为．∵，∴此过程两车不相遇；当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，∵，∴大货车到达C地用时．假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，则，解得：，即说明大货车到达C地之前没相遇；当大货车继续由C地返回B地时，∵，∴大货车到达B地用时．此时大货车共行驶．∵小车到达C地用时，∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠．∵小车中途在C地停靠3分钟，即，∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠．当大货车又从B地出发前往D地时，用时，∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，∴此时小车剩余停靠时间，∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了．假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为，则，解得：，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，∴此过程两车没相遇．当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，∴两车此过程必相遇．综上可知，两车相遇的次数为2次．故选A．【点睛】本题考查线段的n等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意，列出算式或方程是解题关键．核心考点3.角的相关概念例11：（2023·北京东城·校考二模）如图所示，用量角器度量，可以读出的度数为．【答案】【分析】由图形可直接得出．【详解】解：由图形所示，的度数为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．变式1.（2023·湖北恩施·校考模拟预测）用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把角按一定比例放大或缩小，角的度数不变．【详解】解：放大镜看一个的角，角的两边的张开程度没变，即角的度数不变，故选：D．【点睛】本题考查角的概念，关键是掌握图形的放大或缩小的性质．变式2.（2023·河北·统考中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（

）

A．南偏西方向B．南偏东方向C．北偏西方向D．北偏东方向【答案】D【分析】根据方向角的定义可得答案．【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向．故选D．

【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．变式3.（2023·浙江宁波·校考一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】说明是假命题只要举出两个锐角的和不是钝角即可．【详解】解：A．，，则，能说明；B．，，则，不能说明；C．，，不是锐角，不可以说明；D．，，不是锐角，不能说明；故选：A．【点睛】本题考查说明一个命题是假命题．比较简单，只需要条件符合，结论不符即可．例12：（2023·广东河源·三模）任意一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于．【答案】90【分析】本题主要考查了补角和余角．设这个锐角为x，可得一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于，即可求解．【详解】解：设这个锐角为x，依题意得：．故答案为：90．变式1.（2023·广东佛山·统考三模）已知，与互为余角，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据互为余角的定义即可求解．【详解】解：∵与互为余角，∴，又∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查互为余角的定义，熟练掌握如果两个角的和等于，则这两个角互为余角是解题的关键．变式2．（2023·陕西咸阳·校考三模）若，则补角的大小是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】两个角的和为则这两个角互为补角，根据补角的含义可得答案．【详解】解：∵，∴的补角为故选D．【点睛】本题考查的是互补的两个角之间的关系，掌握“两角互补的含义”是解本题的关键．变式3.（2023·北京大兴·统考一模）已知，，，四点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A． B． C．比大 D．与互补【答案】D【分析】分别求出、、、的大小，即可进行判断．【详解】解：由题意可得，，，，，∴选项A、B、C都不正确，，∴选项D正确，故选：D【点睛】此题考查了角的大小和计算，正确求解角的度数是解题的关键．变式4.（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为度．

【答案】55【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到．【详解】∵由作图可得，是的角平分线∴．故答案为：55．【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．核心考点4.相交线例13：（2023·河南·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：B【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．变式1.（2023·河南周口·统考二模）如图，直线和交于点，平分，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义进行计算即可．【详解】解：，，，∴，又平分，∴，故选：B．【点睛】本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角、邻补角的定义，掌握角平分线的定义是正确解答的前提．例14：（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三角形中，，，垂足为D，则下列说法不正确的是（

）

A．线段的长是点A到的距离 B．线段的长是点C到的距离C．线段的长是点B到的距离 D．线段的长是点B到的距离【答案】B【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离判断即可得到答案．【详解】解：A、线段的长是点A到的距离，正确，不合题意；B、线段的长是点A到的距离，错误，符合题意；C、线段的长是点B到的距离，正确，不合题意；D、线段的长是点B到的距离，正确，不合题意；故选：B．【点睛】此题考查的是点到直线的距离，掌握其概念是解决此题的关键．变式1.（2023·吉林长春·模拟预测）长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小致同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小致这样走的数学依据．

【答案】垂线段最短【分析】由垂线段的性质，垂线段最短，即可解得．【详解】解：由题意可得：小致这样走的数学依据垂线段最短，故答案为：垂线段最短．【点睛】本题考查垂线段最短，正确理解垂线段最短的含义是关键．变式2.（2023·浙江杭州·校联考三模）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且，其中，则点P到直线l的距离可能是（）

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】A【分析】根据垂线段最短解决此题．【详解】解：根据垂线段最短，，∵，∴A符合要求．故选：A．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，熟知“垂线段最短”是解答此题的关键．例15：（2023·山东淄博·统考一模）有以下命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等．其中假命题的是（

）A．①② B．② C．③ D．②③【答案】C【分析】根据对顶角相等、平行公理、平行线的性质，对选项一一进行分析，即可得出答案．【详解】解：①对顶角相等，故该命题是真命题；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该命题是真命题；③两直线平行，同位角相等，故该命题是假命题．故选：C．【点睛】本题主要考查真假命题的判断、对顶角相等、平行线的性质、平行公理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键．变式1．（2023·河北石家庄·考模拟预测）如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到答案．【详解】解：经过刻度尺平移测量，③符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了平行线，利用了平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．变式2.（2023·四川宜宾·模拟预测）有下列说法：对顶角相等；同位角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线的距离即为垂线段；同旁内角互补，两直线平行其中正确的有．【答案】【分析】分别利用平行线的性质、对顶角的性质及平行公理对四个选项逐一判断后即可确定正确选项．【详解】解：对顶角相等，故正确；只有在两直线平行的条件下，同位角一定相等，故错误；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；点到直线的距离即为垂线段的长度，故错误；同旁内角互补，两直线平行，正确；故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质、对顶角的性质及平行公理的知识，属于基础定理及定义，难度不大．例16：（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，直线l1，l2被直线l3所截，则（）A．∠1和∠2是同位角B．∠1和∠2是内错角C．∠1和∠3是同位角D．∠1和∠3是内错角【答案】C【分析】两条直线a、b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，被截两直线a、b的同一侧的角（都在左侧或者都在右侧），把这样的两个角称为同位角；根据定义分别判断即可．【详解】解：∠1和∠2既不是同位角，也不是内错角，故选项A、B错误；∠1和∠3是同位角，故选项C正确，选项D错误；故答案为：C．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形是解题的关键．变式1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，与的位置关系是（）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角【答案】A【分析】根据的位置，结合同位角的定义可得答案．【详解】如图所示，和两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，所以和是同位角．故选：A．【点睛】本题考查的是同位角的识别，掌握同位角的含义是解题的关键．核心考点5.平行线的性质与判定例17：（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据含有角的直角三角尺，得到的值，再利用平行线的性质得到的值，即可解答．【详解】解：图中是含有角的直角三角尺，，，，，故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．变式1.（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（

）

A．50° B．40° C．35° D．45°【答案】B【分析】根据邻补角求出，利用角平分线求出，再根据平行线的性质求出的度数．【详解】解：∵，∴∵是的平分线，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角，正确掌握平行线的性质是解题的关键．变式2.（2023·湖南·统考中考真题）如图，直线直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出∠2的度数．【详解】解：如图所示，∵直线直线n，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．例18：（2023·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．【详解】解：∵∴，，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．变式1.（2023·湖南邵阳·统考一模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质解答，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：，，∴，，∵，∴．故选：B．变式2.（2023·山西太原·统考二模）利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】将实际问题转化为方向角的问题即可解答．【详解】解：如图，

，，，故选：B．【点睛】本题考查方位角，解答此类题的关键是认清方位角，再结合三角形的内角与外角的关系求解．例19：（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知：如图，于点，于点，．

(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据于点，于点可知，故，再由可得出，据此可得出结论．（2）根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求解．【详解】（1）于点，于点，，，，，．（2），，，，，．【点睛】本题考查平行线的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是准确找出同位角，内错角，由此进行角度之间的代换．变式1．（2023·江苏扬州·校考二模）完成下面的证明：已知：如图，，，．求证：．证明：（已知），∴（），∴在中，（），∵（已知），∴，∵，∴=（