专题3.6 对数与对数函数（原卷版）

专题3.6对数与对数函数题型一对数的运算题型二换底公式的应用题型三对数函数的概念题型四对数函数的图象问题题型五对数型函数过定点问题题型六对数函数的定义域和值域问题题型七利用对数的单调性解不等式或比较大小题型八由对数函数的单调性求参数题型九对数函数的最值问题题型十对数函数的实际应用题型十一反函数题型一 对数的运算例1．（2023·山东淄博·统考二模）设，满足，则__________.例2．（2023·天津·统考二模）已知，则（

）A．3 B．5 C． D．练习1．（2021秋·高三课时练习）计算：log43×=____．练习2．计算：(1)；(2)练习3．（2021秋·高三课时练习）（多选）下列正确的是（）A． B．C．若，则 D．若，则练习4．（2023春·湖北·高一校联考期中）已知，则的值为_______________．练习5．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知，，若，则的值为（

）A． B．5 C． D．25题型二 换底公式的应用例3．求下列各式的值．(1)．(2)已知，，求的值．例4．（2023·全国·高三专题练习）=______练习6．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）若，且，则__________．练习7．（2022秋·新疆喀什·高三校考阶段练习）若，则＝___．练习8．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知,则＝（

）A．a+b B．2a-b C． D．练习9．（2022秋·江西景德镇·高三景德镇一中校考期末）（多选）已知，，且满足，，则的可能取值为（

）A． B．3 C． D．9练习10．（2022秋·山东青岛·高三校考期中）若，则的范围是（

）A． B． C． D．题型三 对数函数的概念例5．（2022秋·高三课时练习）（多选）下列函数为对数函数的是（

）A．（，且） B．C． D．例6．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）若对数函数的图象过点，则__________．练习11．（2022·高三课时练习）下列函数是对数函数的是()A．

B．

C．

D．练习12．（2021·高三课时练习）给出下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是______．（将符合的序号全填上）练习13．（2022·高三单元测试）下列函数中，是对数函数的是（

）A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1C．D．y＝log5x练习14．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）写出满足条件“函数在上单调递增，且”的一个函数___________.练习15．（2023·高三课时练习）若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为______.题型四 对数函数的图象问题例7．（2023秋·山东德州·高一统考期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（

）A．B．C．D．例8．（2023·全国·高三专题练习）函数与的大致图像是（

）A．B．C． D．练习16．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三铁路一中校考期末）（多选）如图是三个对数函数的图象，则（

）A． B．C． D．练习17．（2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市第一中学校考阶段练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（

）A． B．C． D．练习18．（2021秋·陕西汉中·高三校联考期中）已知，则函数与函数的图像可能是（

）A． B．C． D．练习19．（2021秋·陕西汉中·高三校联考期中）函数的图像是（

）A． B．C． D．练习20．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为________．题型五 对数型函数过定点问题例9．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象恒过定点（

）A． B． C． D．例10．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．练习21．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则______.练习22．（2022秋·高三单元测试）已知函数，则无论取何值，图象恒过的定点坐标__________.练习23．（2022秋·河南开封·高一校考阶段练习）函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则＝________.练习24．（2023春·湖南·高三校联考期中）幂函数的图象过点，则函数恒过定点___________.练习25．（2022秋·青海西宁·高三西宁五中校考期末）已知函数，（，且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值是（

）A．16 B．6 C． D．题型六 对数函数的定义域和值域问题例11．（2023·湖北·校联考三模）函数的定义域是（

）A． B． C． D．例12．（2023·全国·高三专题练习）设，则值域是_______练习26．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（

）A． B．C． D．练习27．（2023秋·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数的值域为_______________.练习28．（2023秋·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．练习29．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数的定义域是（

）A． B． C． D．练习30．（2023春·河南信阳·高三统考开学考试）（多选）已知函数，则（

）A．的定义域为 B．的图象关于轴对称C．的值域为 D．是减函数题型七 利用对数的单调性解不等式或比较大小例13．（浙江省S9联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题）已知，，，，则（

）A． B． C． D．例14．（2023·天津·高三专题练习）集合，，则（

）A． B．C． D．练习31．（2022秋·高三课时练习）已知，则实数的取值范围是_______.练习32．（吉林省长春市2023届高一下学期5月四模数学试题）已知，，，则a，b，c的大小关系为__________．练习33．（安徽省皖北县中联盟2023届高三5月联考数学试题）已知集合，，则集合（

）A． B．C． D．练习34．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．练习35．（2018·北京·高三强基计划）已知函数，若实数m满足，则实数m的取值范围是____________．题型八 由对数函数的单调性求参数例15．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）已知是R上的单调递增函数，则实数a的值可以是（

）A．4 B． C． D．8例16．（2023春·河南平顶山·高三汝州市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______．练习36．（2023秋·湖南常德·高三汉寿县第一中学校考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．练习37．（2023·高三课时练习）已知在上是严格减函数，则实数a的取值范围是______.练习38．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数，且满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．练习39．（2023秋·山东济宁·高三统考期末）已知且，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．练习40．（2023春·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数的取值范围（

）A． B． C． D．题型九 对数函数的最值问题例17．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考开学考试）已知，，设函数，_____.例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．练习41．（2023·高三课时练习）函数的最小值是______．练习42．（2023春·四川达州·高二四川省万源中学校考开学考试）已知，且，则的最大值为___________．练习43．（2023秋·山东青岛·高一统考期末）已知函数且的图象过点.(1)求的值及的定义域；(2)求在上的最大值；(3)若，比较与的大小.练习44．（2023·全国·高三专题练习）设函数的最大值为M，最小值为N，则的值为________．练习45．（2022秋·湖南邵阳·高三校考阶段练习）已知函数，则有（

）A．最小值 B．最大值C．最小值 D．最大值题型十 对数函数的实际应用例19．（2023春·四川宜宾·高三校考阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（

）倍．（参考数据：，，）A． B． C． D．例20．（2021秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考期末）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为_________；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是_________.练习46．（2021秋·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期中）（多选）声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：）．下列选项中正确的是（

）A．闻阈的声强级为B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）C．如果声强变为原来的倍，对应声强级也变为原来的倍D．声强级增加，则声强变为原来的倍．练习47．（2023·全国·高三专题练习）中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do､Re､Mi､Fa､Sol､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为的等比数列.已知两个音高，的频率分别为，，且满足函数关系：，已知两个纯五度音高的频率比，则它们相差的半音个数________.(其中，，结果四舍五入保留整数部分).练习48．（2021秋·高三课时练习）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（

）A．2566 B．2567 C．2568 D．2569练习49．（2022秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（

）（参考数据：）A．1559 B．3943 C．1579 D．2512练习50．（2022·高三单元测试）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震