9.5 三定问题及最值（精练）（教师版）VIP

9.5三定问题及最值（精练）1．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．(1)求的方程；(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）依题意，得，则，又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，所以，即，则，所以椭圆的方程为.（2）因为椭圆的方程为，所以，因为为第一象限上的动点，设，则，

易得，则直线的方程为，，则直线的方程为，联立，解得，即，而，则直线的方程为，令，则，解得，即，又，则，，所以，又，即，显然，与不重合，所以.2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．【答案】(1)(2)证明见详解【解析】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即,同理可得，则，所以线段的中点是定点.

3．（2006·湖南·高考真题）已知，抛物线，且的公共弦过椭圆的右焦点．(1)当轴时，求m、p的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上；(2)是否存在m、p的值，使抛物线的焦点恰在直线上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，焦点不在直线上；(2)存在，或，且.【解析】（1）由题意得椭圆的右焦点为，当轴时，关于轴对称，由抛物线方程得，要使，需，此时直线的方程为，代入，得，所以，因为在抛物线上，所以，得，此时的焦点坐标为，该焦点不在直线上；（2）假设存在m、p的值，使抛物线的焦点恰在直线上，由（1）知直线的斜率存在，所以可设直线的方程为，由，得，设，则，由，得，所以，因为的焦点恰在直线上，所以，所以，所以，所以，因为过，的焦点，所以，所以，所以，化简得，解得，所以，所以，所以代入得，所以满足条件的m、p存在，此时或，且.4．（2023·河南·校联考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，是（为坐标原点）的中点，且.(1)求的方程；(2)不过坐标原点的直线与椭圆相交于两点（异于椭圆的顶点），直线与轴的交点分别为，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，定点为【解析】（1）设椭圆的半焦距为，是的中点，，，解得：，，，椭圆的方程为：.（2）由（1）得：，，设，则直线的方程为，直线的方程为，，，，，即，，又，，，即，整理可得：；①若直线的斜率存在，设直线，由得：，其中，，，代入式得：，整理可得：，或，当时，直线，恒过点，如图所示，

此时点与在轴的同一侧，不满足，故舍去；当时，直线，恒过点，符合题意，如图所示，

②若直线的斜率不存在，则，由得：，解得：或，此时直线的方程为或，又直线与椭圆不相交，故舍去，满足条件，，恒过点.综上所述：直线恒过定点.5．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知圆：，圆：，圆M与圆外切，且与圆内切．(1)求圆心M的轨迹C的方程；(2)若A，B，Q是C上的三点，且直线AB不与x轴垂直，O为坐标原点，，则当的面积最大时，求的值．【答案】(1)(2)1【解析】（1）由题意设圆M的半径为r，则，，所以，故圆心M的轨迹是以，为焦点，4为长轴长的椭圆，所以，，则，所以C的方程为．

（2）设，，，直线AB的方程为．将代入，整理得，，即，则，，所以，故．又原点O到直线AB的距离为，所以，当且仅当，即（*）时，等号成立．由，得，代入，整理得，即（**）．而，由（*）可知，代入（**）式得．故的值为1.

6．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右顶点分别为、，过点作直线与椭圆交于、两点，且、位于第一象限，在线段上，直线与直线相交于点，连接、，直线、的斜率分别记为、，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由题意知，，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，即，解得，，，因此，椭圆的方程为．（2）解：如下图所示：不妨设、，由图可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，因为点，则，则，联立可得，，可得，即，解得，由韦达定理可得，解得，所以，，易知、，由于在直线上，设，又由于在直线上，则，所以，，.7．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知椭圆C：的离心率，短轴长为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）由题意得，解得，，故椭圆C的方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，，，，,则，，，，此时，，；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为，联立可得，设，，联立可得，则，，因为，，所以，，所以，

8．（2023·四川绵阳·统考二模）已知椭圆C：的焦距为4，左右顶点分别为，，椭圆上异于，的任意一点P，都满足直线，的斜率之积为．(1)若椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数m的取值范围；(2)过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q．那么，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【解析】（1）由题意得：，，，，①∵点P在C上，∴代入①式，∴，∴,∵，∴，，椭圆C方程，设，，，

设：联立得，，，.∴，中点在l上，，∴.（2）设联立得，，，，联立得，则，∴，∵为定值，设为，∴，∴，，∴存在，使得为定值.

9（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为、，为椭圆上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)设动直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，若，的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，最小值为【解析】（1）解：不妨设的坐标为，则，则，又、，则.故可得，可得，故可得椭圆的方程为.（2）解：因为，且、均为非零向量，则.当点、均为椭圆的顶点时，则；若直线、的斜率都存在时，设直线的方程为，则直线的方程为，联立可得，所以，，同理可得，此时，，当且仅当时，即当时，等号成立，又因为，故当时，的面积存在最小值，且最小值为.10．（2023·河南·统考三模）如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)；(2)存在定点使为定值，理由见解析.【解析】（1）由题意，可得，则椭圆方程为；（2）若直线斜率为，则直线斜率为，而，所以，，联立与椭圆，则，整理得，所以，则，故，联立与椭圆，则，整理得，所以，则，故，综上，，，当，即时，，此时，所以，即直线过定点；当，即时，若，则且，且，故直线过定点；若，则且，且，故直线过定点；综上，直线过定点，又于，易知轨迹是以为直径的圆上，故的中点到的距离为定值，所以，所求定点T为.

11．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．(1)求的内心坐标；(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在定点【解析】（1）∴椭圆的标准方程为，不妨取，则；因为中，，所以的内心在轴，设直线平分，交轴于，则为的内心，且，所以，则；（2）∵椭圆和弦均关于轴上下对称．若存在定点，则点必在轴上∴设当直线斜率存在时，设方程为，直线方程与椭圆方程联立，消去得，则①∵点的横坐标为1，均在直线上，，整理得，因为点在椭圆外，则直线的斜率必存在．∴存在定点满足题意

11．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知为坐标原点，定点，，圆，是圆内或圆上一动点，圆与以线段为直径的圆内切.(1)求动点的轨迹方程；(2)设的轨迹为曲线，若直线与曲线相切，过点作直线的垂线，垂足为，证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）圆的圆心为，半径为，依题意圆的半径，又两圆相内切，所以圆心距，所以，根据椭圆的定义可知动点是以，为焦点的椭圆，且，，则，所以动点的轨迹方程为.

（2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为，联立直线和椭圆的方程得，消去并整理得，因为直线与曲线相切，所以，整理得，因为与直线垂直，所以的方程为，由，解得，即，所以，所以，

当直线的斜率为时，则直线的方程为，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，则，

当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，则，

综上可得为定值.12．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知P为圆C：上一动点，点，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q．(1)求点Q的轨迹方程；(2)点M在圆上，且M在第一象限，过点M作圆的切线交Q点轨迹于A，B两点，问的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】(1)(2)的周长为定值【解析】（1）由题意得：圆，则圆心，半径，设中点为，则为线段的垂直平分线，则，所以，所以点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，即，，则，所以点轨迹方程为：；

（2）设，由题意可得，则，故，故，同理可得，因为，所以，同理可得，所以，即的周长为定值.

13．（2023·北京密云·统考三模）椭圆C：的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的方程和长轴长；(2)点M，N在C上，且.证明：直线MN过定点.【答案】(1)椭圆的方程为：，长轴长为(2)证明见解析【解析】（1）由题意得：，解得：，椭圆的方程为：，长轴长为；（2）设点，，，，整理可得：①，当直线斜率存在时，设，联立得：，由得：，则，，，，代入①式化简可得：，即，或，则直线方程为或，直线过定点或，又和点重合，故舍去，当直线斜率不存在时，则，此时，即，又，解得或（舍去），此时直线的方程为，过点，综上所述，直线过定点.

14．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知椭圆与直线相交于两点，椭圆上一动点，满足（其中表示两点连线的斜率），且为椭圆的左、右焦点，面积的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，求的内切圆面积的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）设，，则，所以，依题意可知，两点关于原点对称，设，则，由，得，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.

（2）易得，设直线，代入，得，则，设，，则，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.设的内切圆半径为，则，所以，所以的内切圆面积.所以的内切圆面积的最大值为.

15．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是定值，0【解析】（1）因为椭圆过点，所以，设满足，则，又，则，所以椭圆的方程.（2）直线，代入椭圆，可得，由于直线交椭圆于两点，所以，整理得.设，由于点与关于原点对称，所以，于是有，，又，于是有故直线的斜率与直线的斜率之和为0.

16．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知曲线上的动点满足，且.(1)求的方程；(2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.①直线经过定点；②点在定直线上.【答案】(1)()(2)答案见解析【解析】（1）因为，所以曲线是以、为焦点，以为实轴长的双曲线的右支,所以，即，又因为，所以，得，所以曲线的方程为().（2）若选择①证明②成立.依题意，在双曲线右支上，此时直线的斜率必不为，设直线方程为，，不妨设在第一象限，在第四象限.因为，所以，且，求导得，所以过点的直线方程为，化简为①，同理②，联立方程①②得,交点的横坐标为，因为、点在直线上，所以，所以，所以的横坐标.即点在定直线上.若选择②证明①成立.不妨设在第一象限，在第四象限.设，因为，所以，且，求导得，所以过点的直线方程为，化简为①，同理②联立方程①②得交点的横坐标为，由题意，，即③.因为，所以过直线的方程为，化简，整理得由③式可得,易知，即直线过定点.17．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知点在双曲线上．(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）将代入双曲线中，，解得，故双曲线方程为，下面证明上一点的切线方程为，理由如下：当切线方程的斜率存在时，设过点的切线方程为，与联立得，，由化简得，因为，代入上式得，整理得，同除以得，，即，因为，，所以，联立，两式相乘得，，从而，故，即，令，则，即，解得，即，当切线斜率不存在时，此时切点为，切线方程为，满足，综上：上一点的切线方程为，设，则过点的切线方程为，故为过点的切线方程，双曲线的两条渐近线方程为，联立与，解得,联立与，解得,直线方程为，即，故点到直线的距离为，且，故的面积为，为定值；（2）若直线斜率不存在，此时直线与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件，故直线斜率存在，设直线方程，与联立得，由，因为恒成立，所以，故，解得,设，则，设点的坐标为，则由得，，变形得到，将代入，解得，将代入中，解得，则，故点恒在一条定直线上.18（2023·山西阳泉·统考二模）已知双曲线经过点，直线、分别是双曲线的渐近线，过分别作和的平行线和，直线交轴于点，直线交轴于点，且（是坐标原点）(1)求双曲线的方程；(2)设、分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点的直线交双曲线于、两个不同点，直线与相交于点，证明：点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）解：由题意得，，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，在直线的方程中，令可得，即点，同理可得，，由可得，因此，双曲线的方程为.（2）证明：由（1）得、、，若直线与轴重合，则、为双曲线的顶点，不合乎题意，设、，直线的方程为，联立可得，所以，，解得，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与的方程，可得，所以，，因为，解得，因此，点在定直线上.19．（2023·四川成都·校联考二模）已知和是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于M，N两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线与直线的斜率之积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为，直线与直线相交于点，直线PO与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．【答案】(1)(2)证明见解析，定直线为【解析】（1）设，，所以，即，由题意知，所以，所以，则椭圆的标准方程为．（2）证明：设直线的方程为：，联立椭圆的方程，得，所以，则，由根与系数的关系，得，，设，由P，S，三点共线，得，由P，N，三点共线，得，则．所以直线OP的斜率为，则直线OP的方程为，联立直线OP与直线的方程，可得，解得，所以点在一条定直线上，该定直线的方程为．20．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上的一点，为的内心，且.(1)求C的离心率；(2)设点为双曲线C右支上异于其顶点的动点，直线与双曲线左支交于点S.双曲线的右顶点为，直线，分别与圆O：相交，交点分别为异于点D的点M，N，判断直线是否过定点，求出定点，如果不过定点，请说明理由.【答案】(1)2(2)过定点【解析】（1）如图所示，

延长IP到A且，延长到B且，由，得，∴I是的重心，，同理，，即，又，，，，又I是的内心，则，由，得，又，则，即；（2）弦MN过定点,

由已知右顶点，结合（1）得，，，所以双曲线方程为.则，，设点，直线ST的方程为：，联立，得，则，，，，则，即，也就是，∴MN为圆O的直径，故弦MN恒过圆心.21．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）设，由可得，，所以，所以，即，因为，解得：．（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将代入得，，，所以，且，解得或．设点到直线的距离为，所以，，所以的面积，而或，所以，当时，的面积．22．（2023·天津·统考高考真题）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.(2).【解析】（1）如图，

由题意得，解得，所以，所以椭圆的方程为，离心率为.（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，设直线的方程为，联立方程组，消去整理得：，由韦达定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直线的方程为.23．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析.【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，

直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.24（2022·天津·统考高考真题）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．(1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，离心率为.（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，由，①，，由可得，②由可得，③联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．25．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)见解析【解析】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为,直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴,∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.26．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾