专题10.3 两个计数原理、排列与组合（原卷版）

专题10.3两个计数原理、排列与组合题型一分类及分步的简单应用题型二排列数及组合数问题题型三捆绑法及插空法题型四倍缩法题型五隔板法题型六特殊元素法题型七染色问题题型八平均分组问题题型九部分平均分组问题题型一 分类及分步的简单应用例1．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（）

A．90 B．180 C．270 D．360例2．有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有_____种不同的安排方法．（用数字回答）练习1．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有7部产生于魏晋南北朝时期．某校拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程的学习内容，则所选2部专著中至少有1部是魏晋南北朝时期的情况共有（

）A．42种 B．39种 C．10种 D．35种练习2．甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有_____种承包方式（用数字作答）.练习3．从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有_____种不同的选法.（用数字作答）练习4．2014年国务院印发《关于深化考试招生制度改革意见》，福建省在2021年高考进入“3+1+2”选科模式，即语文、数学、英语三门必考，物理和历史二选一，化学、政治、生物、地理四选二，在此规则下，学生共有_____种选科方式.练习5．有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为_____.题型二 排列数及组合数问题例3．已知（，且），则（

）A．28 B．42 C．43 D．56例4．（1）解不等式．（2）若，求正整数n．练习6．（多选）满足不等式的的值可能为（

）A．12 B．11 C．8 D．10练习7．已知，求n.练习8．计算：(1)若，求(2)若，求练习9．（1）解方程：（2）解不等式；练习10．（1）若，则x=_____.（2）不等式的解集为_____.题型三 捆绑法及插空法例5．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（

）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法例6．澉浦“八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（）A．480 B．240 C．384 D．1440练习11．要从甲、乙等8人中选5人在座谈会上发言，若甲乙都被选中且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有_____种．（用数字作答）练习12．（多选）我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展（X）、体艺特长（T）、实践创新（S）、生涯规划（C）、国际视野（I）、公民素养（G）、大学先修（D）、PBL项目课程（P）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（）A．某学生从中选3类，共有56种选法B．课程“X”“T”排在不相邻两天，共有种排法C．课程中“S”“C”“I”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“I”的中间，共有720种排法D．课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有种排法练习13．一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中，有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻空位不相邻，共有几种坐法？练习14．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像（排成一排）.(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？练习15．一天课程表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有_____种；要使数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有_____种．题型四 倍缩法例7．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（

）A． B． C． D．例8．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节目有_____种不同排法（用数字作答）练习16．小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（

）A．2760 B．3180 C．3200 D．3360练习17．五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等5名同学参加，抽签确定出场顺序．在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率为（

）．A． B． C． D．练习18．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（

）A．6种 B．12种 C．36种 D．72种练习19．（多选）用3，4，5，6，7，9六个数字组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（

）A．这样的六位数共有720个B．在这样的六位数中，偶数共有240个C．在这样的六位数中，4，6不相邻的共有144个D．在这样的六位数中，4个奇数数字从左到右、从小到大排序的共有30个练习20．甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有_____种.题型五 隔板法例9．方程的非负整数解的组的个数为（

）A． B．C． D．例10．现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为_____.练习21．在空间直角坐标系中，，则三棱锥内部整点(所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点)的个数为（

）A．35 B．36 C．84 D．21练习22．的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（

）A．72项 B．75项 C．78项 D．81项练习23．（多选）把8个相同的小球放到编号为1，2，3，4的4个盒子中，则（

）A．每个盒子中至少放1个小球的放法共有35种B．有空盒的放法共有161种C．恰有1个空盒的放法共有21种D．编号为2的盒子中至少放2个小球，其他3个盒子每个盒子至少放1个小球的放法共有20种练习24．在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有_____个（用数字回答）练习25．用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有_____个．题型六 特殊元素法例11．第届世界大学生夏季运动会于月日至月日在成都举办，现在从男女共名青年志愿者中，选出男女共名志愿者，安排到编号为、、、、的个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为、的赛场，编号为的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种例12．为了纪念世界地球日，复兴中学高三年级参观了地球自然博物馆，观后某班级小组7位同学合影，若同学与同学站在一起，同学站在边缘，则同学不与同学或相邻的概率为_____．练习26．从0，1，2，…，9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5242．这样的四位数共有（

）A．1692个 B．3672个 C．3708个 D．3888个练习27．用0，1，2，3，4，5共6个数字，可以组成_____个没有重复数字的六位奇数．练习28．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等.数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”.“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有_____个．（用数字作答）练习29．某34人班级派5人参观展览，班级里有11人喜欢唱，4人喜欢跳，5人喜欢rap，14人喜欢篮球，每个人只喜欢一种.5人站一队参观，但是当队伍中第个人分别喜欢唱、跳、rap、篮球时，上述4人会讨论蔡徐坤，展览馆不希望有人讨论蔡徐坤.当且仅当两个队伍中至少有一个位置上的人的喜好不同，两个队伍才被认为是不同的，则满足上述条件的不同的排队方案数为_____.练习30．现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有_____种题型七 染色问题例13．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（

）种不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480例14．在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄稼，共有（）种植方式．

A．240种 B．300种 C．360种 D．420种练习31．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（

）A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种练习32．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（

）

A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种练习33．（多选）如图，用种不同的颜色把图中四块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（

）A．B．当时，若同色，共有48种涂法C．当时，若不同色，共有48种涂法D．当时，总的涂色方法有420种练习34．有三种不同颜色供选择，给图中六个格子涂色，相邻格子颜色不能相同，共有_____种不同的涂色方案.练习35．用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有_____种．

题型八 平均分组问题例15．新高考按照“”的模式设置，其中“3”为语文，数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物，政治，地理4门科目中选考2门科目，若学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为（

）A． B． C． D．例16．临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为_____．练习36．某冷饮店有“桃喜芒芒”“草莓啵啵”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（

）A． B． C． D．练习37．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接