专题11 常见函数模型中的应用（原卷版）

专题11常见函数模型的应用一、考情分析有一些常见的函数，如等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.二、解题秘籍(一)常见对数型函数模型1.函数在上是增函数，在是减函数，在处取得最大值0，2.的图象与直线在相切，以直线为切线的函数有：，，，，.3.与对数型函数有关的常见不等式有：，，.4.利用可得到，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.【例1】（2024届四川省江油中学高三上学期9月月考）已知函数.(1)当时，求函数在区间上的最大值；(2)若为函数的极值点，求证：【解析】（1）定义域为，则，当时，，，所以单调递增区间为，单调递减区间为；若，即时，在上单调递减，故；若，即时，在上单调递增，在上单调递减，故；若，即时，则在上单调递增，故.所以，；（2）（），则，因为是函数的极值点，所以，即，要证，只需证，即证：，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，即：，所以，所以，①当时，因为，，所以.②当时，因为，所以，所以，要证，只需证，即证对任意的恒成立，令（），则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即当时，成立.综上：原不等式成立.(二)常见指数型函数模型1.函数在上是减函数，在上是增函数，在处取得最小值0，2.与对数型函数有关的常见不等式有：，，.【例2】（2024届黑龙江省哈尔滨市高三上学期9月月考）已知函数．(1)若函数的图象与直线相切，求实数的值；(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．【解析】（1）设直线与函数的图象相切于点，因为,所以，由②③可得④，易知.由①得，代入④可得，即，即，解得.故.（2）令，可得，由题意可得只有一个根.易知不是方程的根，所以，所以由，可得.设，则与的图象只有一个交点.，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以.所以.又，时，，时，，画出函数的图象如图所示：

由图可知，若与的图象只有一个交点，则.所以实数的取值范围是.(三)常见三角函数模型1.函数在上是减函数，函数在上是增函数，2.与三角函数有关的常见不等式有：，，.【例3】（2023届四川省成都市高三上学期摸底）已知函数．(1)记函数的导函数是．证明：当时，；(2)设函数，，其中．若0为函数存在非负的极小值，求a的取值范围．【解析】(1)．令，则．∵，∴恒成立，即在R上为增函数．∵，∴．∴．(2)．由（1）知在R上为增函数．∴当时，有，即；当时，有，即．当时，由，解得，，且在R上单调递减．①当时，．∵当时，有；当时，有；当时，有，∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．∴满足0为函数的极小值点；②当时，．∴时，有恒成立，故在R上为减函数．∴函数不存在极小值点，不符合题意；③当时，．∵当时，有；当时，有；当时，有，∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．∴0为函数的极大值点，不符合题意．综上所述，若0为函数的极小值点，则a的取值范围为．(四)或.在上是增函数，在上是减函数，时取得最大值，利用性质解题易错点是该在上是减函数，但该函数在上没有零点，因为时.【例4】（2024届海南省定安县高三上学期开学考试）已知函数.(1)若是的极值点，求的值；(2)若a=1，讨论函数的单调性；(3)若恒成立，求a的取值范围；【解析】（1）由，得，因为是的极值点，所以，即，所以，经检验符合题意.（2）若a=1，.当，即时，，所以在上单调递减；当时，；在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，（3）的定义域为，若恒成立，则恒成立，即恒成立，令，只需，又，令得，时，，则单调递增；时，，则单调递减；所以，解得：；(五)或讨论的性质要注意，该在和单调递减，在单调递增【例5】设函数，其中是自然对数的底数，.(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围.【解析】(1)解：因为在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需，令，，当时，，当时，，所以，故，即.(2)当时,，当时，，当时，令，分离参数得，由（1）得，在和单调递减，在单调递增，可得图像为：所以，即,即.三、典例展示【例1】（2024届河南省部分名校高三上学期核心模拟）已知函数.(1)当时，求的单调区间;(2)若,当时,证明:.【解析】（1）的定义域为,当时,,所以,当时,;当时,,所以的单调递增区间为,单调递减区间为.（2）由,得,所以,则,要证,只需证,即证,需证.令,设,则,设,则,所以在上单调递增,则,所以,所以在上单调递增,由,得,则,所以,所以需证,即证.令，则,即证,设,则,所以在上单调递减,则,所以,即成立,故.【例2】（2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知函数.(1)是的导函数，求的最小值；(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）；(3)若恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）依题意，，所以，，所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，所以当时取得最小值为.（2）要证明：对任意正整数，都有，即证明，即证明，由（1）得，即令，所以，所以，所以对任意正整数，都有.（3）若不等式恒成立，此时，则恒成立，令，令，所以在区间上单调递增，所以，当时等号成立，所以，当时等号成立，所以.【例3】（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知函数．(1)当时，讨论在区间上的单调性；(2)当时，，求a的取值范围．【解析】（1），当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减；（2）设，；设，则，令，则，当，，当，，故函数在单调递增，在单调递减，所以；令，可得，故在单调递增时，；当时，，故在上单调递增.当时，，且当趋向正无穷时，趋向正无穷，若，则，函数在上单调递增，因此，，符合条件；若，则存在，使得，即，当时，，则在上单调递减，此时，不符合条件．综上，实数的取值范围是【例4】已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.【解析】(1)当时，函数，可得，令，可得，所以函数单调递增，因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)由函数，可得，令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，可得，所以，①当时，，此时当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的极小值为，无极大值；②当时，，又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，因为当时，令，可得，又因为，所以，即，所以，所以，，因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.【例5】已知函数．(1)当时，若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)设为的两个不同零点，证明：．【解析】(1)当时，，因为在上恒成立，所以在上恒成立，令，即在上恒成立，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.故，所以实数的取值范围是．(2)证明：要证明，即证，只需证和．由（1）知，当，时，，即，所以．要证，即证．因为为的两个不同零点，不妨设，所以，，则，两边同时乘以，可得，即．令，则．即证，即证，即证．令函数，，则，所以在上单调递增，所以．所以．故．四、跟踪检测1．（2023届陕西省咸阳市武功县高三上学期11月期中）已知函数，.(1)若，求函数的单调区间；(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；(3)若实数满足且，证明：.2．（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真）已知函数，且．(1)求实数a的取值范围；(2)已知，证明：．3．（2024届海南省琼中县高三上学期9月高考全真模拟）已知函数，且在处取得极值．(1)求a；(2)求证：．4．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考9月）已知函数，.(1)求实数的值；(2)证明：时，.5．（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）已知函数.(1)讨论函数的极值点个数；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.6．（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．7．（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，，求实数a的取值范围.8．（2024届江苏省镇江市高三上学期考试）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.9.已知函数，．(1)若，求函数的极值；(2)设，当时，（是函数的导数），求a的取值范围．10．设函数，．(1)若对任意，都有，求a的取值范围；(2)设，．当时，判断，，是否能构成等差数列，并说明理由．11．已知函数(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；(2)设是两个不相等的实数，且．求证：12．已知函数.(1)若在单调，求的取值范围.(2)若的图像