9.3 双曲线（精讲）（教师版）

9.3双曲线（精讲）一.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)若a<c，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若a>c，则集合P为空集.二．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)三.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝eq\r(2).四．直线与双曲线的位置关系和弦长1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．2.弦长公式设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2).一．求标准方程1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定量”2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解．3.常用设法：①与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共渐近线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．二.求双曲线离心率或其取值范围的方法1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.3.双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.4.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x(a＞0，b＞0)，即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，则双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.(3)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±eq\f(b,a)x的斜率k与离心率e的关系：e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(1＋k2).三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中①当P为短轴端点时，θ最大.②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.③焦点三角形的周长为2(a＋c).若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.考点一双曲线的定义及应用【例1-1】（2023·陕西渭南）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（

）A． B． C．或 D．不确定【答案】C【解析】设双曲线的左、右焦点为，则；则，由双曲线定义可得，即，所以或，由于，故点到它的左焦点的距离是或，故选：C【例1-2】（2023·广东潮州）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以要求的最小值，只需求的最小值.如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时，最小，最小值为.故的最小值为.

故选：C【例1-3】（2023·江苏）设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于，．【答案】22【解析】在双曲线中，实半轴长，半焦距，则，显然，又，解得，所以的周长等于，.故答案为：22；【一隅三反】1．（2023·江苏）（多选）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（）A．5 B．3C．7 D．6【答案】BC【解析】由双曲线的定义可知，即，所以或．故选：BC．2．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为.【答案】【解析】由题意知，.设双曲线的右焦点为，由是双曲线右支上的点，则，则，当且仅当三点共线时，等号成立.又，则.所以，的最小值为.故答案为：.

3．（2023·全国·课堂例题）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为.【答案】5【解析】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，

两圆的半径分别为，，易知，，故的最大值为.故答案为：5考点二双曲线的标准方程【例2-1】（2023秋·课时练习）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可得,由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即，所以.又因为焦点在轴上，所以曲线方程为.故选:A.【例2-2】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设双曲线的方程为（），代入点，得，故所求双曲线的方程为，其标准方程为．故选：A．【例2-3】（2023·江苏）下列选项中的曲线与共焦点的双曲线是（）A． B．1C．1 D．1【答案】D【解析】双曲线的焦点在x轴上，半焦距，对于A，方程，即，是焦点在x轴上的双曲线，而半焦距为，A不是；对于B，C，方程、都是焦点在y轴上的双曲线，BC不是；对于D，方程是焦点在x轴上的双曲线，半焦距为，D是.故选：D【一隅三反】（2023·江苏）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)，经过点；(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点；(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．(4)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；(5)焦点在轴上，经过点和点．(6)虚轴长为12，离心率为；(7)焦点在x轴上，离心率为，且过点；(8)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.(9)以直线为渐近线，过点；(10)与椭圆有公共焦点，离心率为.【答案】(1)．(2)(3)(4)(5)(6)或(7)(8)或(9)(10)【解析】（1）由，当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为，把点A的坐标代入，得，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为，把点A的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为．（2）法一：∵双曲线1的焦点在轴上，∴设所求双曲线的标准方程为，∴，即．①∵双曲线经过点，∴．②由①②得，故双曲线的标准方程为．法二：设所求双曲线的方程为．∵双曲线过点，∴，解得或（舍去）．故双曲线的标准方程为．（3）设双曲线的方程为．∵点在双曲线上，∴，解得，故双曲线的标准方程为．（4）由已知得，即,∵，∴.∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是;（5）设双曲线的方程为，则,∴双曲线方程为.（6）设双曲线的标准方程为或.由题意知，且，，，∴双曲线的标准方程为或；（7），，.又∵焦点在轴上，∴设双曲线的标准方程为，.把点代入方程，解得.∴双曲线的标准方程为.（8）设以为渐近线的双曲线方程为（），当时，，，得；当时，，，得；∴双曲线的标准方程为或.（9）方法一：由题意可设所求双曲线方程为，由题意，得解得，故所求双曲线的标准方程为；方法二：由题意可设所求双曲线方程为，将点的坐标代入方程解得，故所求双曲线的标准方程为；（10）方法一：由椭圆方程可得焦点坐标为，，即且焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为，因为，所以，则，故所求双曲线的标准方程为；方法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为，因为，所以，解得，故所求双曲线的标准方程为.考点三离心率与渐近线【例3-1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得：，解得：，即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是.故选：A.【例3-2】（2023·河南·校联考二模）已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为.由题意，点在双曲线的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根据双曲线定义得，解得，故双曲线的离心率.故选：D【例3-3】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：（，），斜率为的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设双曲线C的左焦点，右焦点为，P为第二象限上的点，连接PF，，QF，，根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形为平行四边形.因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，所以，即四边形为矩形，由直线l的斜率为，得，又，则是等边三角形，所以.在中，，则，故，又由双曲线定义知，所以，则.故选：B.【一隅三反】1．（2023·广西桂林）双曲线的渐近线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a＝3，b＝2，故渐近线方程为.故选：A．2．（2023春·新疆巴音郭楞）设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，因为轴，则点、关于轴对称，则为线段的中点，

因为为等边三角形，则，所以，，所以，，则，所以，，则，因此，该双曲线的离心率为.故选：D.3．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知是双曲线C：的左焦点，，直线与双曲线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】双曲线的渐近线为，又，，所以直线的斜率为，因为直线与双曲线有且只有一个公共点，所以根据双曲线的几何性质，直线与双曲线的一条渐进线平行，所以，即，所以，又，所以，所以，解得或（舍去），所以，故选：B考点四直线与双曲线的位置关系【例4-1】（2023湖南）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．【答案】(1)或或；(2)或(3)或【解析】（1）联立，消整理得，（*）因为直线l与双曲线C有两个公共点，所以，整理得解得：或或.（2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．当时，因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，则，解得；综上，或.（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，所以，解得：或.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与双曲线有两个不同的交点，则的取值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为，直线与双曲线有两个不同的交点，又直线过原点则则的取值可以是.故选：B．2．（2023·重庆·统考二模）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条【答案】A【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点.若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.故选：A.3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线可得，，，所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为，因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行，所以，解得.故选：B.4（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（

）条．A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由双曲线得其渐近线方程为．①过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；②设过点且与双曲线相切的直线为，联立，化为得到，解得．则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点．综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条．故选:.考点五弦长与中点弦【例5-1】（2023·全国·课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长．【答案】8【解析】由双曲线，得，，焦点为，倾斜角，法一：直线斜率，直线方程为，联立消得，，由韦达定理知，代入弦长公式，得.法二：.故答案为：8.【例5-2】（2023·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为；故可设，与双曲线联立可得，，由弦长公式知，则或.故存在四条直线满足条件.故选：D【例5-3】（2023·福建）已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为（）A．3 B．4C．5 D．6【答案】D【解析】设，，则有与，两式相减得：，即，又因为为AB的中点，所以，得到，即直线AB的斜率为6.故选：D.【一隅三反】1．（2023·安徽）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，则，两式相减得直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A2．（2023春·河南周口）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点，则有，两式做差后整理得，由已知，，又，，得故选：B3．（2023河北）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点．(1)求直线的方程．(2)求线段的长．【答案】(1)(2)【解析】（1）设，代入双曲线方程得，两式相减得，即，因为为的中点，所以，所以，所以直线的斜率为所以的方程为，即，经验证符合题意，所以直线的方程为；（2）将代入中得，故，所以.考点六直线与双曲线的综合运用【例6】（2023秋·安徽）已知双曲线C：（，）的离心率为2，在C上.(1)求双曲线C的方程；(2)不经过点P的直线l与C