1.1.1集合（第2课时表示集合的方法）课件高一上学期数学

第1章集合与逻辑

集合第2课时表示集合的方法湘教版

数学

必修第一

册课标要求1.掌握集合的两种表示方法——列举法和描述法.2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一列举法把集合中的元素

.这种表示法叫作列举法.

一一列举出来名师点睛用列举法表示集合时,必须注意以下几点:(1)元素与元素之间需用“,”隔开.(2)不必考虑元素出现的前后顺序,但不能重复.(3)一般地,列举法适用于有限集:①元素个数有限且比较少时,可以全部列举出来,如{1,2,3};②元素个数有限且比较多时,可以列举一部分,中间用省略号表示,称为中间省略列举,如从1到1

000的所有正整数组成的集合,可以表示为{1,2,3,…,1

000}.(4)对于含有较多元素的无限集,如果元素的排列呈现一定的规律,在不发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.如自然数集N可以表示为{0,1,2,3,…},称为尾端省略列举.(5)这里集合的“{

}”已包含“所有”的意思.例如{整数},即整数集Z,所以不能写成{全体整数}.过关自诊1.[2024甘肃会宁第一中学校考期中]已知集合M={(x,y)|2x+y=2且x-y=1},则M=(

)A.{1,0} B.{(1,0)}C.(1,0) D.{1}B2.用列举法表示下列集合:(1)方程x2-9=0的解构成的集合;(2)不大于100的自然数构成的集合.解

(1){-3,3}.(2){0,1,2,3,…,100}.知识点二描述法把集合中元素

,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,以确定这个集合.这种表示法叫作描述法.

名师点睛使用描述法表示集合时要注意:(1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.(2)用简明、准确的语言进行描述,如方程、不等式、几何图形等.(3)不能出现未被说明的字母,如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的.共有的(4)元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系来看,若x∈R是明确的,则x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1或x>1}.(6)“{

}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数},但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的,因为“{

}”本身既表示集合的意思,也表示了“所有”“全体”的意思.此处是初学者容易犯的错误,要注意领会.过关自诊1.不等式5x<2023在实数范围内的解集可表示为

.

2.用列举法与描述法表示集合的区别是什么?提示

表示方法列举法描述法一般形式{a1,a2,a3,…,an}{x∈I|p(x)}适用范围有限集或规律性较强的无限集有限集、无限集均可特点直观、明了抽象、概括知识点三区间的概念设a,b是两个实数,a<b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间

开区间(a,b)

{x|a≤x<b}左闭右开区间[a,b)

{x|a<x≤b}

(a,b]

{x|x≥a}—

{x|x>a}—(a,+∞)

—(-∞,a]

{x|x<a}—(-∞,a)

[a,b]{x|a<x<b}左开右闭区间[a,+∞){x|x≤a}名师点睛1.区间的左端点的值小于右端点的值.2.区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.3.几何表示时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点.过关自诊1.(1)如图,如何把满足数轴上的数的集合表示出来?(2)能否用更为简洁的符号表示A={x|-3<x≤2}?(3)区间与数集有何关系?提示

(1)A={x|-3<x≤2}(2)可以用区间表示为(-3,2].(3)①联系:区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示,是集合的另一种表达形式;②区别:不连续的数集不能用区间表示,如整数集、自然数集等.2.将下列集合用区间及数轴表示出来:(1){x|x<2};(2){x|x≥3};(3){x|-1≤x<5}.解

(1){x|x<2}用区间表示为(-∞,2),用数轴表示如下:(2){x|x≥3}用区间表示为[3,+∞),用数轴表示如下:(3){x|-1≤x<5}用区间表示为[-1,5),用数轴表示如下:重难探究·能力素养速提升探究点一用列举法表示集合【例1】

用列举法表示下列集合:(1)36与60的公约数构成的集合;(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根构成的集合;解

36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}.解

方程(x-4)2(x-2)=0的根是4,2,所求集合可表示为{2,4}.规律方法

列举法应用的解题策略(1)一般地,当集合中元素的个数较少时,可采用列举法;当集合中元素较多或无限,且有一定规律时,也可用列举法表示,但必须把元素间的规律呈现清楚,才能用省略号.(2)要弄清楚集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他的元素,从而用相应的形式写出元素表示集合.变式训练1试用列举法表示下列集合:(1)满足-3≤x≤0,且x∈Z;(2)倒数等于其本身数的集合;解

∵-3≤x≤0,且x∈Z,∴x=-3,-2,-1,0.故满足条件的集合为{-3,-2,-1,0}.(3)满足x+y=3,且x∈N,y∈N的有序数对;(4)方程x2-4x+4=0的解.

解

∵x+y=3,且x∈N,y∈N,∴当x=0时,y=3;当x=1时,y=2;当x=2时,y=1;当x=3时,y=0.∴满足条件的集合为{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.解

∵方程x2-4x+4=0的解为x=2,∴满足条件的集合为{2}.探究点二用描述法表示集合【例2】

用描述法表示以下集合:(1)所有不小于2,且不大于20的实数组成的集合;解

集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}.

(3)200以内的正奇数组成的集合;(4)方程x2-5x-6=0的解组成的集合.解

{x|x=2k+1,x<200,k∈N}.解

{x|x2-5x-6=0}.规律方法

用描述法表示集合时应注意的问题(1)写清楚该集合中的代表元素,即弄清代表元素是数、点还是其他形式;(2)准确说明集合中元素所满足的特征;(3)所有描述的内容都要写在集合符号内,并且不能出现未被说明的符号;(4)用于描述的语句力求简明、准确,多层描述时,应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系.变式训练2给出下列说法:①在平面直角坐标平面内,第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy>0};②所有奇数组成的集合为{x|x=2n+1};③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合.其中正确的有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.0个A探究点三含参数问题【例3】

若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.解

当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2},满足题意.当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.变式探究(1)本例中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值集合.(2)本例中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值集合.解得k<1,且k≠0,即{k|k<1,且k≠0}.(2)当集合A中含有1个元素时,由例3知,k=0或k=1;当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,规律方法

1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,而分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.探究点四区间概念的理解及应用【例4】

(1)若集合M是一个数集,且可应用区间(a,3a-1)表示,则实数a的取值范围用区间表示为

.

(3)若区间(5,a)的长度是12,则实数a的值是

.

解析

由区间长度的定义可知a-5=12,即a=17.

17变式训练3(1)若区间[2,a]的长度不超过5,则实数a的取值范围用区间表示为

.(2,7]解析

由题意可知a-2≤5,且a>2,所以2<a≤7,即实数a的取值范围是(2,7].学以致用·随堂检测促达标A级必备知识基础练123456789101.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是(

)A.{x|-3<x<11,x∈Q}B.{x|-3<x<11}C.{x|-3<x<11,x=2k,k∈N+}D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}D123456789102.集合{x∈N|x-2<2}用列举法表示是(

)A.{1,2,3} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4} D.{0,1,2,3}D解析

{x∈N|x-2<2}={x∈N|x<4}={0,1,2,3}.

123456789103.若用列举法表示集合A={(x,y)|2y-x=7且x+y=2},则下列表示正确的是(

)A.{x=-1,y=3} B.{(-1,3)}C.{3,-1} D.{-1,3}B所以A={(x,y)|2y-x=7且x+y=2}={(-1,3)}.故选B.

123456789104.设集合A={x|x2-3x+a=0,a∈R},若4∈A,则a=

,集合A用列举法表示为

.

-4{-1,4}解析

∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.123456789105.用适当的方法表示下列对象构成的集合:(1)绝对值不大于2的所有整数;(2)直线y=x+1与直线x+y=1的交点坐标构成的集合;(3)函数y=图象上的所有点.12345678910解

(1)由于|x|≤2,且x∈Z,所以x的值为-2,-1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数构成的集合,用列举法可表示为{-2,-1,0,1,2},用描述法可表示为{x||x|≤2,x∈Z}.12345678910B级关键能力提升练6.(多选题)已知x,y为非零实数,则集合M={m∣m=}中的元素可以为(

)A.0 B.-1 C.1 D.3BD解析

当x>0,y>0时,m=3;当x<0,y<0时,m=-1;当x>0,y<0时,m=-1;当x<0,y>0时,m=-1.故M中元素可以为-1,3.12345678910A.{(x,y)|x+y=3且x-y=1} B.{(x,y)|x=2且y=1}C.(2,1)