2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与逻辑测评含解析湘教版必修第一册

PAGEPAGE7第1章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024重庆渝中模拟)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2=4},则∁MN=()A.{-1,1} B.{-1,0,1}C.{-2,-1,0,1} D.{-1,0,1,2}答案B解析由题意,M={-2,-1,0,1,2},N={-2,2},则∁MN={-1,0,1},故选B.2.已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}答案C解析由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},则A∩B={1,2}.3.设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案A解析由x3>8,得x>2⇒|x|>2;当|x|>2时,则x>2或x<-2,不能得到x3>8,比如x=-3.所以“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件.4.已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示()A.M∪N B.∁U(M∪N)C.(∁UM)∩N D.∁U(M∩N)答案B解析图中的阴影部分为M∪N的补集.5.(2024湖南模拟)已知a,b∈R,若集合a,,1={a2,a+b,0},则a2021+b2021的值为()A.-1 B.0 C.1 D.-1或0答案A解析∵a,,1={a2,a+b,0},∴b=0,∴{a,0,1}={a2,a,0},则1=a2,解得a=-1或a=1(舍去).则a2024+b2024=-1.故选A.6.(2024陕西西安经开第一中学高三模拟)集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0}.若B⊆A,则实数a的取值范围是()A.-,1B.-,1C.(-∞,-1)∪[0,+∞)D.-,0∪(0,1)答案A解析∵B⊆A,∴①当B=⌀时,即ax+1≤0无解,此时a=0,满意题意.②当B≠⌀时,即ax+1≤0有解,当a>0时,可得x≤-,要使B⊆A,则须要解得0<a<1.当a<0时,可得x≥-,要使B⊆A,则须要解得-≤a<0.综上,实数a的取值范围是-,1.故选A.7.(2024黑龙江大庆龙凤期中)设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,求实数a组成的集合的子集个数是()A.6 B.3 C.4 D.8答案D解析A={3,5},B={x|ax=1},∵A∩B=B,∴B⊆A.∴①当a=0时,B=⌀,符合题意;②当B≠⌀时,=3或=5,∴a=或a=,∴实数a组成的集合的元素有3个,∴实数a组成的集合的子集个数为23=8.故选D.8.设集合A={x|a-1<x<a+1},B={x|1<x<5}.若A∩B=⌀,则实数a的取值范围是()A.[0,6] B.(-∞,2]∪[4,+∞)C.(-∞,0]∪[6,+∞) D.[2,4]答案C解析∵A={x|a-1<x<a+1},∴A≠⌀.又A∩B=⌀,如图可知a+1≤1或a-1≥5.故a≤0或a≥6,即a的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞).二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则()A.A∩B={0,1} B.∁UB={4}C.A∪B={0,1,3,4} D.集合A的真子集个数为8答案AC解析因为A={0,1,4},B={0,1,3},所以A∩B={0,1},A∪B={0,1,3,4},选项A,C都正确;又全集U={0,1,2,3,4},所以∁UB={2,4},选项B错误;集合A={0,1,4}的真子集有7个,所以选项D错误.10.已知集合A={2,3},B={x|mx-6=0},若B⊆A,则实数m可以是()A.3或2 B.1 C.0 D.-1答案AC解析当m=0时,方程mx-6=0无解,B=⌀,满意B⊆A;当m≠0时,B=,因为B⊆A,所以=2或=3,解得m=3或m=2.11.下列四个命题的否定为真命题的是()A.p:全部四边形的内角和都是360°B.q:∃x∈R,x2+2x+2≤0C.r:∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数D.s:对全部实数a,都有|a|>0答案BD解析A.p:有的四边形的内角和不是360°,是假命题.B.q:∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这是由于∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立.C.r:∀x∈{x|x是无理数},x2不是无理数,假命题.D.s:存在实数a,使|a|≤0,真命题.12.下列说法正确的是()A.“a≠0”是“a2+a≠0”的必要而不充分条件B.若命题p:某班全部男生都爱踢足球,则p:某班至少有一个女生爱踢足球C.“随意菱形的对角线肯定相等”的否定是“菱形的对角线肯定不相等”D.“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的充要条件答案AD解析对于A,“a2+a≠0”⇔“a≠-1且a≠0”,“a≠0”“a≠-1且a≠0”,“a≠-1且a≠0”⇒“a≠0”,所以“a≠0”是“a2+a≠0”的必要而不充分条件;对于B,若命题p:某班全部男生都爱踢足球,则p:某班至少有一个男生不爱踢足球;对于C,“随意菱形的对角线肯定相等”的否定是“存在菱形,其对角线不相等”;对于D,当k>4,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示,明显交y轴于负半轴,交x轴于正半轴.当一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴时,即x=0,y=b-5<0,所以b<5.当y=0时,x=>0,因为b<5,所以k>4.所以选项D中的说法是正确的.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={5,6,7},则∁UA=,(∁UA)∩(∁UB)=.

答案{4,5,6,7,8}{4,8}解析∁UA={4,5,6,7,8},(∁UA)∩(∁UB)={4,5,6,7,8}∩{1,2,3,4,8}={4,8}.14.命题“∀x∈[0,+∞),x2+x≥0”的否定是.

答案∃x∈[0,+∞),x2+x<015.已知全集U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=.

答案-3解析∵∁UA={1,2},∴A={0,3},∴0,3是关于x的方程x2+mx=0的两个根,∴m=-3.16.某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.王小二略加思索,又给王小一出了一道题:若命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围.你认为,两位同学题中m的取值范围是否一样?(填“是”或“否”).

答案是解析若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,则该命题的否定是真命题,即命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,所以两位同学题中m的取值范围是一样的.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2024广东东莞高一检测)已知全集U为R,集合A={x|0<x≤2},B={x|-2<x+1<2},求:(1)A∩B;(2)(∁UA)∩(∁UB).解B={x|-3<x<1},(1)因为A={x|0<x≤2},所以A∩B={x|0<x<1}.(2)∁UA={x|x≤0或x>2},∁UB={x|x≤-3或x≥1},所以(∁UA)∩(∁UB)={x|x≤-3或x>2}.18.(12分)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁RA)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.解(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁RA={x|x<2或x≥7},则(∁RA)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2,所以a的取值范围是(2,+∞).19.(12分)(2024辽宁盘锦高一检测)已知p:实数x满意a<x<4a(其中a>0),q:实数x满意2<x≤5.(1)若a=1,且p与q都为真命题,求实数x的取值范围.(2)若p是q的必要而不充分条件,求实数a的取值范围.解(1)若a=1,p为真,p:1<x<4,q为真,q:2<x≤5.∵p,q都为真命题,∴x的取值范围为(2,4).(2)设A={x|a<x<4a,a>0},B={x|2<x≤5}.∵p是q的必要而不充分条件,∴B⫋A,∴∴解得<a≤2.综上所述,a的范围为.20.(12分)设全集U=R,集合A={x|-5<x<4},集合B={x|x<-6或x>1},集合C={x|x-m<0},若C⊇(A∩B)且C⊇[(∁UA)∩(∁UB)],求实数m的取值范围.解因为A={x|-5<x<4},B={x|x<-6或x>1},所以A∩B={x|1<x<4},∁UA={x|x≤-5或x≥4},∁UB={x|-6≤x≤1},所以(∁UA)∩(∁UB)={x|-6≤x≤-5}.又C={x|x<m},当C⊇(A∩B)时,m≥4,当C⊇[(∁UA)∩(∁UB)]时,m>-5.所以实数m的取值范围为[4,+∞).21.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.解集合A是方程ax2-3x+2=0在实数范围内的解组成的集合.(1)A是空集,即方程ax2-3x+2=0无解,得∴a>,即实数a的取值范围是.(2)当a=0时,方程只有一解,方程的解为x=;当a≠0,且Δ=0,即a=时,方程有两个相等的实数根,A中只有一个元素,∴当a=0或a=时,A中只有一个元素,分别是.(3)A中至多有一个元素,包括A是空集和A中只有一个元素两种状况,依据(1),(2)的结果,得a=0或a≥,即a的取值范围是.22.(12分)(2024北京海淀期中)已知集合An={(x1,x2,…,xn)|xi∈{0,1}(i=1,2,…,n)},若x,y∈An,记x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn),定义x⊗y=(x1+y1)(x2+y2)…(xn+yn).(1)若x=(1,1,1,1)且x⊗y=4,求y.(2)令B={x⊗y|x,y∈An},若m=card(B),求证:m+n为偶数(card(B)表示集合B中元素的个数).(3)若集合A⊆An,且A中的每一个元素均含有4个0和4个1,对随意x,y∈A,都有x⊗y=4,求A中最多有多少个元素.(1)解由4=1×1×1×4=1×1×2×2(不考虑依次),而xi+yi只可能为0或1或2,则x⊗y=4只可能为2个yi为0,2个yi