2025届高考数学一轮总复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和跟踪检测文含解析

PAGE第六章数列第三节等比数列及其前n项和A级·基础过关|固根基|1.已知{an}为等比数列且满意a6－a2＝30，a3－a1＝3，则数列{an}的前5项和S5＝()A．15 B．31C．40 D．121解析：选B设等比数列{an}的公比为q，因为{an}为等比数列且满意a6－a2＝30，a3－a1＝3，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q5－a1q＝30，,a1q2－a1＝3，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2，))所以S5＝eq\f(1－25,1－2)＝31，所以数列{an}的前5项和S5＝31.2．在等比数列{an}中，设其前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C.eq\f(57,8) D.eq\f(55,8)解析：选A因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝eq\f(1,8)，所以a7＋a8＋a9＝eq\f(1,8).3．(一题多解)(2025届福建厦门模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，则λ＝()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：选A解法一：当n＝1时，a1＝S1＝4＋λ.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2n＋1,2n)＝2.因为{an}是等比数列，所以eq\f(a2,a1)＝2，即eq\f(4,4＋λ)＝2，解得λ＝－2.故选A.解法二：依题意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8，因为{an}是等比数列，所以aeq\o\al(2,2)＝a1·a3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.4．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则mA．4 B．7C．10 D．12解析：选A因为{an}是等比数列，所以am－1am＋1＝aeq\o\al(2,m).又am－1am＋1－2am＝0，则aeq\o\al(2,m)－2am＝0，所以am＝2或am＝0(舍去)．由等比数列的性质可知前2m－1项的积T2m－1＝aeq\o\al(2m－1,m)，即22m－1＝128，故m＝4.故选A.5．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，…，an－1anA．12 B．13C．14 D．15解析：选C因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，则公比q＝eq\f(b2,b1)＝eq\f(12,4)＝3.所以bm＝4×3m－1令bm＝324，即4×3m－1解得m＝5，所以b5＝324，即a13a14所以n＝14.6．(2025届济南模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________．解析：因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，所以eq\f(2（1－q9）,1－q)＝eq\f(1－q3,1－q)＋eq\f(1－q6,1－q)，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－eq\f(1,2)，故a2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝4，解得a2＝8，故a8＝a2·q6＝a2·(q3)2＝8×eq\f(1,4)＝2.答案：27．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则an＝________，S6＝________．解析：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝eq\f(－1×（1－26）,1－2)＝－63.答案：－2n－1－638．已知在等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是________．解析：设等比数列{an}的公比为q，则S3＝a1＋a2＋a3＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)＋1＋q))＝1＋q＋eq\f(1,q).当公比q>0时，S3＝1＋q＋eq\f(1,q)≥1＋2eq\r(q·\f(1,q))＝3，当且仅当q＝1时，等号成立；当公比q<0时，S3＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－q－\f(1,q)))≤1－2eq\r(（－q）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,q))))＝－1，当且仅当q＝－1时，等号成立．所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．(2025届昆明市诊断测试)已知数列{an}是等比数列，公比q<1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设m∈Z，若Sn<m恒成立，求m的最小值．解：(1)由a2＝2，S3＝7，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q＝2，,a1＋a1q＋a1q2＝7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,q＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2))(舍去)．所以an＝4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－3).(2)由(1)可知，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))<8.又Sn<m恒成立，m∈Z，所以m的最小值为8.10．(2025届南昌市第一次模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满意S4＝2a4－1，S3＝2a(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满意bn＝Sn(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由S4－S3＝a4，得2a4－2a3＝a4，所以eq\f(a4,a3)＝2，所以q＝2.又因为S3＝2a3所以a1＋2a1＋4a1＝8所以a1＝1，所以an＝2n－1.(2)由(1)知a1＝1，q＝2，则Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，所以bn＝2n－1，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2＋22＋…＋2n－n＝eq\f(2（1－2n）,1－2)－n＝2n＋1－2－n.B级·素养提升|练实力|11.(2025届安徽池州模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不犯难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，其次天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是()A．此人其次天走了九十六里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第三天走的路程占全程的eq\f(1,8)D．此人后三天共走了四十二里路解析：选C记每天走的路程里数为an(n＝1，2，3，…，6)，由题意知{an}是公比为eq\f(1,2)的等比数列，由S6＝378，得eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，所以a2＝192×eq\f(1,2)＝96，此人第一天走的路程比后五天走的路程多192－(378－192)＝6(里)，a3＝192×eq\f(1,4)＝48，eq\f(48,378)>eq\f(1,8)，前3天走的路程为192＋96＋48＝336(里)，则后3天走的路程为378－336＝42(里)，故选C.12．(2025届长春市高三质量监测)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋2n＋1，设bn＝eq\f(an,2n).(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和Sn.解：(1)证明：当n≥2时，bn－bn－1＝eq\f(an,2n)－eq\f(an－1,2n－1)＝eq\f(an－2an－1,2n)＝1，又b1＝1，所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，bn＝n，所以eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以Sn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).13．(2025届湖北省五校联考)已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.解：(1)因为数列{an}是等差数列，a2＝6，所以S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，所以b1因为b2＝2，数列{bn}是等比数列，所以公比q＝eq\f(b2,b1)＝2，所以bn＝2n－1.所以b3＝4，因为a1b3＝12，所以a1＝3，因为a2＝6，数列{an}是等差数列，所以公差d＝a2－a1＝3，所以an＝3n.(2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，所以Cn＋1＝(－1)n＋12n，所以eq\f(Cn＋1,Cn)＝－2，又C1＝－1，所以数列{bncos(anπ)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列，所以Tn＝eq\f(－1×[1－（－2）n],1＋2)＝－eq\f(1,3)[1－(－2)n]．14．(2025届湖北黄冈调研)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq\f(n＋1,2n)·an(n∈N*)．(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(an,4n－an)，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn<2.解：(1)证明：由题设得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(1,2)·eq\f(an,n)，又eq\f(a1,1)＝2，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首项为2，公比为eq\f(1,2)的等比数列，所以eq\f(an,n)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\u