2024-2025版高中数学单元素养评价二数列素养评价检测含解析新人教A版必修5

PAGE单元素养评价(二)(其次章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.数列-2,1,-QUOTE,QUOTE,-QUOTE…的一个通项公式为()A.an=(-1)n+1QUOTE B.an=(-1)nQUOTEC.an=(-1)nQUOTE D.an=(-1)n+1QUOTE【解析】选C.依据题意,数列-2,1,-QUOTE,QUOTE,-QUOTE…的前5项可以写成(-1)1×QUOTE,(-1)2×QUOTE,(-1)3×QUOTE,(-1)4×QUOTE,(-1)5×QUOTE,则数列的一个通项公式可以为an=(-1)n×QUOTE.2.在等差数列{an}中,若a3=2,a6=4,则等差数列{an}的公差d= ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为在等差数列{an}中,a3=2,a6=4,所以等差数列{an}的公差d=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.已知等比数列{an}前9项的积为512,且a8=32,则a2= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.依据题意,等比数列{an}前9项的积为512,即a1a=(a5)9=512,解得:a5=2,则a2a8=QUOTE=4,若a8=32,则a2=QUOTE.4.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则QUOTE的值为 ()A.±QUOTE B.QUOTE C.1 D.±1【解析】选D.由题知2a=1+3,所以a=2.由b2=4得b=±2,所以QUOTE=±1.5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a8=15-a5,则S9等于 ()A.18 B.36 C.45 D.60【解析】选C.因为a2+a8=15-a5,a2+a8=2a5,所以a5=5,所以S9=QUOTE×2a5=45.6.在等差数列{an}中,若a6,a7是方程x2+3x-1=0的两根,则{an}的前12项的和为 ()A.6 B.18 C.-18 D.-6【解析】选C.在等差数列{an}中,a6,a7是方程x2+3x-1=0的两根,所以a6+a7=-3,所以{an}的前12项的和为S12=QUOTE(a1+a12)=QUOTE(a6+a7)=QUOTE×(-3)=-18.7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+a,则数列{QUOTE}的前n项和为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.9n-1【解析】选A.依题意,等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+a,所以a1=3+a,a2=(9+a)-(3+a)=6,a3=(27+a)-(9+a)=18,所以QUOTE=a1×a3得a=-1,所以a1=2,q=3,所以数列{QUOTE}的首项为4,公比为9,所以数列{QUOTE}的前n项和Tn=QUOTE=QUOTE.8.已知数列{an}的通项公式为an=QUOTE(n∈N*),则满意an+1>an>0的n的最大值为 ()A.11 B.12 C.13 D.24【解析】选A.an=QUOTE(n∈N*),n≤12时an>0且单调递增,n≥13时,an<0.则满意an+1>an>0的n的取值为n≤11,n的最大值为11.9.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箍,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是匀称改变的,其质量为M,现将该金枝截成长度相等的10段,记第i段的质量为ai(i=1,2,…,10).且a1<a2<a3<…<a10,若80ai=7M,则i= ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选A.由题意知由细到粗每段的质量成等差数列,设公差为d,则QUOTE,可以求得a1=QUOTE,d=QUOTE,所以金杖总质量为M=10×QUOTE+QUOTE×QUOTE=15,因为80ai=7M,所以80×QUOTE=105.解得i=4.10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=a3,且a3≠0,则QUOTE= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.3【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,因为S3=a3,且a3≠0,所以3a1+3d=a1+2d,化为-2a1=d≠0.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.11.已知数列{an}满意log2an+1=1+log2an(n∈N*),且a1+a2+…+a10=1,则log2(a101+a102+…+a110)的值等于 ()A.10B.100C.210D.2100【解析】选B.由题意log2an+1-log2an=1,整理得:QUOTE=2(常数),且a1+a2+…+a10=1,则QUOTE=1,解得:a1=QUOTE,所以a101=a1·2100=QUOTE,则log2(a101+a102+…+a110)=log2QUOTE=log22100=100.12.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且S9是S3与S6的等差中项,则 ()A.a2,a5,a8成等差数列 B.a2,a8,a5成等差数列C.a2,a4,a6成等差数列 D.a2,a6,a4成等差数列【解析】选B.因为S9是S3与S6的等差中项,所以2S9=S3+S6,若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.但a1≠0,即得S3+S6≠2S9,与题设冲突,q≠1.又依题意S3+S6=2S9可得QUOTE+QUOTE=2×QUOTE,整理得q3(2q6-q3-1)=0.由q≠0得方程2q6-q3-1=0.(2q3+1)(q3-1)=0,因为q≠1,q3-1≠0,所以2q3+1=0,所以q3=-QUOTE,q6=QUOTE.因为a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3)=QUOTEa1q,a8=a1q7=q6·a1q=QUOTEa1q,则a2+a5=2a8,则a2,a8,a5成等差数列.二、填空题(每小题5分,共20分)13.公差为2的等差数列{an}中,a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前10项和为.

【解析】由题意,(a1+4)2=a1(a1+10),解得a1=8,所以S10=8×10+QUOTE×2=170.答案:17014.在等比数列{an}中,Sn表示前n项和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q等于.

【解析】在等比数列{an}中,因为a3=2S2+1,a4=2S3+1,所以a4-a3=2S3+1-(2S2+1)=2(S3-S2)=2a3,所以a4=3a3,所以q=QUOTE=3.答案:315.若数列{an}满意QUOTE-QUOTE=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列,已知数列QUOTE为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=.

【解析】由数列QUOTE为调和数列,可得QUOTE-QUOTE=xn+1-xn=d(n∈N*,d为常数),所以{xn}是公差为d的等差数列,又x1+x2+…+x20=200=QUOTE(x1+x20),所以x1+x20=20,又x5+x16=x1+x20,所以x5+x16=20.答案:2016.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即依据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及常数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b-a),这里,x被称为乐观系数.阅历表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,据此可得最佳乐观系数x的值等于.

【解析】因为c-a=x(b-a),b-c=(b-a)-x(b-a),(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,所以[x(b-a)]2=(b-a)2-x(b-a)2,所以x2+x-1=0,解得x=QUOTE,因为0<x<1,所以x=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(共70分)17.(10分)设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,且a1=1.(1)若a1,a2,a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;(2)Sn为数列{an}的前n项和,当q=2时,令bn=log2(Sn+1),求证:数列{bn}是等差数列.【解析】(1)因为{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,且a1=1.a1,a2,a3成等差数列,所以2a2=a1+a3,所以2q=1+q2,解得q=1,所以数列{an}的通项公式an=1.(2)因为Sn为数列{an}的前n项和,当q=2时,所以Sn=QUOTE=2n-1,因为bn=log2(Sn+1)=log22n=n,所以bn+1-bn=n+1-n=1.所以数列{bn}是等差数列.18.(12分)(2024·全国Ⅱ卷)已知数列{an}和{bn}满意a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.【解析】(1)由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=QUOTE(an+bn).又因为a1+b1=1,所以QUOTE是首项为1,公比为QUOTE的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以QUOTE是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知,an+bn=QUOTE,an-bn=2n-1.所以an=QUOTE[(an+bn)+(an-bn)]=QUOTE+n-QUOTE,bn=QUOTE[(an+bn)-(an-bn)]=QUOTE-n+QUOTE.19.(12分)正项等比数列{an}中,已知a3=4,a4=a2+6.(1)求{an}的前n项和Sn;(2)对于(1)中的Sn,设b1=S1,且bn+1-bn=Sn(n∈N*),求数列{bn}的通项公式.【解析】(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),则由a3=4及a4=a2+6得4q=QUOTE+6,化简得2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-QUOTE(舍去),于是a1=QUOTE=1,所以Sn=QUOTE=2n-1,n∈N*.(2)由已知b1=S1=1,bn+1-bn=Sn=2n-1(n∈N*),所以当n≥2时,由累加法得bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n-1+2n-2+…+21)-(n-1)+1=QUOTE-n+2=2n-n,又b1=1也适合上式,所以{bn}的通项公式为bn=2n-n,n∈N*.20.(12分)Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q>0.(1)求an及Sn;(2)是否存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意可得QUOTE,解得a1=1,q=3,所以an=3n-1,Sn=QUOTE=QUOTE.(2)假设存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列,因为S1+λ=λ+1,S2+λ=λ+4,S3+λ=λ+13,所以(λ+4)2=(λ+1)(λ+13),解得λ=QUOTE,此时Sn+QUOTE=QUOTE×3n,则QUOTE=3,故存在常数QUOTE,使得数列QUOTE是等比数列.21.(12分)在数列{an}中,Sn为{an}的前n项和,2Sn+2n=3an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=QUOTE,数列{bn}的前n项和为Tn,证明Tn<QUOTE.【解析】(1)因为2Sn+2n=3an,所以2Sn+1+2(n+1)=3an+1,两式相减得an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),因为2S1+2=3a1,解得a1=2.所以数列{an+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以an=3n-1.(2)bn=QUOTE=QUOTE,所以Tn=QUOTEQUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…