三角形三边、三线、内角和与外角和压轴题八种模型全攻略（解析版） 七年级数学下册

专题10三角形三边、三线、内角和与外角和压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一三角形中的中线】 1【考点二三角形中的角平分线】 4【考点三三角形中的高线】 7【考点四三角形内角和定理的证明】 9【考点五与平行线有关的三角形内角和问题】 13【考点六与角平分线有关的三角形内角和问题】 18【考点七三角形的外角和性质】 22【考点八确定第三边的取值范围】 27【过关检测】 29【典型例题】【考点一三角形中的中线】例题：（2023上·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则．【答案】7【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；先根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的周长公式即可得．【详解】解：是的边上的中线，，的周长比的周长多，且，，即，解得，故答案为：7．【变式训练】1．（2023上·新疆阿勒泰·八年级校考期中）如图，在中，已知点D、E、F分别是的中点，且，则．【答案】1【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键；根据三角形中线平分三角形面积得到，同理得到，进而求出，则．【详解】解；∵点D是的中点，∴，同理可得，∴，∵点F为的中点，∴，故答案为：1．2．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则．【答案】或【分析】由图可得到的周长的周长，即可求解；分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可；本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键．【详解】解：如图，∵是的中点，∴，∴的周长的周长，故答案为：；如图，设，则，当四边形的周长的周长时，即，整理得，，∴，解得；当的周长四边形的周长时，即，整理得，∴，解得；∴或，故答案为：或．【考点二三角形中的角平分线】例题：（2022上·安徽阜阳·八年级校考期中）如图，平分，，，则

【答案】【分析】根据三角形的外角性质可得，求得，根据角平分线的定义即可求解．【详解】解：在中，，又∵，∴，∴，∵平分，∴．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·广东茂名·八年级统考期末）如图，在中，平分，平分，，则的度数为.【答案】/70度【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义，先利用三角形的内角和定理求得，再利用角平分线的定义求得进而可求解．【详解】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴，故答案为：．2．（2023下·河南驻马店·七年级统考期末）在中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是．（填写所有正确结论的序号）①；②；③；④．【答案】①②④【分析】由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④．【详解】∵，的平分线交于点O，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，故①正确，∵平分，∴，∵，∴；故②正确，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，故③错误；∵，∴，∵，∴．故④正确，综上正确的有：①②④．【点睛】此题考查了三角形内角和性质和外角和的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．【考点三三角形中的高线】例题：（2022上·山东淄博·七年级校考阶段练习）如图所示，在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是；边上的高是；在中，边上的高是；边上的高是．【答案】【分析】根据三角形的高的定义即可求出答案．【详解】解：根据三角形的高的定义：三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，这点和垂足之间的线段是三角形的这边上的高，得出：在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是；边上的高是；在中，边上的高是；边上的高是．故答案为：，，，，，．【点睛】本题主要考查对三角形的高的定义的理解和掌握，能区分一条线段是否是三角形的高是解此题的关键．【变式训练】1．（2023上·吉林·八年级统考阶段练习）如图，在中，是边上的高，若，，则的度数为．【答案】/50度【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形高的定义．由是边上的高，可得，根据，可求出，已知，则即可求解．【详解】解：是边上的高，，，，，，故答案为：．2．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，．(1)点B到的距离是________；点到的距离是_________cm．(2)画出表示点C到的距离的线段，并求这个距离．【答案】(1)4，3(2)见解析，cm【分析】本题考查点到直线的距离，三角形面积．（1）根据点到直线的距离就是过点作直线的垂直，这点与垂足间的线段长度，即可求解．（2）作于点，则线段的长度就是点到的距离．再根据面积公式即可求解．【详解】（1）解：，cm，cm，点到的距离cm，点到的距离cm．故答案为：4，3；（2）解：如图：线段的长就是表示点到的距离的线段，根据题意，，∵，∴(cm)．【考点四三角形内角和定理的证明】例题：小明在研究：三角形的内角和为．这个命题时进行了以下操作，请你根据他的思路填写证明过程．证明：过A点作______∵（已知）∴______，______（

）∵______（

）∴∴______（

）【答案】，，两直线平行，内错角相等，，平角定义，，等量代换【分析】本题考查了平行线的性质、平角的定义、三角形内角和定理，过A点作，根据平行线的性质以及平角的定义可得答案．【详解】证明：过A点作，∵（已知），∴，（两直线平行，内错角相等），∵（平角定义），∴，∴（等量代换），故答案为：，，两直线平行，内错角相等，，平角定义，，等量代换．【变式训练】1．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，有如下两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：请你参考小明的思路，写出实验方法2的证明过程．【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，过点A作，则，根据，等量代换即可得．解题的关键是掌握这些知识点．【详解】解：如图所示，过点A作，

∴，∵，∴．2．（23-24七年级上·河南南阳·期末）在学习完七年级上册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．(1)观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下结论：三角形的内角和等于．问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确．聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程．证明：如图1所示，，，是的三个内角，过点A作．∵（已知），①（理由：②）（平角定义），（理由：③）三角形内角和等于．(2)拓展探究：听完小明的说理过程后，善于思考的小亮同学提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们构造平行线能起到转移角的作用．对于问题1，小亮还有其他证明方法：如图2所示，已知，，是的三个内角，延长到，过点作．请你按照小亮同学的解答思路证明．(3)迁移应用：已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在直线与之间．①如图3，点在点A的左侧，若，则．（填角的度数）②如图4，点在点A的右侧，且，，若，则．（用含的代数式表示）【答案】(1)①；②两直线平行，内错角相等；③等量代换(2)见解析(3)①；②【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．（1）根据平行线的性质进行解答即可；（2）根据平行线的性质，进行证明即可；（3）①过点E作，根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，，即可求出结果；②过点E作，根据角平分线的定义，，根据平行线的性质得出，，根据求出结果即可．【详解】（1）证明：如图1所示，，，是的三个内角，过点A作．∵（已知），（理由：两直线平行，内错角相等）（平角定义），（理由：等量代换）三角形内角和等于．故答案为：①；②两直线平行，内错角相等；③等量代换．（2）证明：∵，∴，，∵，∴．（3）解：①过点E作，如图所示：∵平分，平分，，，∴，，∵，，∴，∴，，∴．②过点E作，如图所示：∵平分，平分，，，∴，，∵，，∴，∴，，∴．【考点五与平行线有关的三角形内角和问题】例题：（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，，连接、、，且．(1)若，求的度数．(2)若，求证：．(3)若与互补，求与的数量关系，并证明．【答案】(1)(2)见解析(3)，见解析【分析】本题考查了平行线的性质，余角和补角，垂线，熟练掌握平行线的性质，以及余角和补角的意义是解题的关键．（1）利用平行线的性质可得，再根垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答；（2）根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后根据已知和三角形内角和定理可得，从而进行计算即可解答；（3）根据已知可得，然后再利用等量代换可得，进行计算即可解答．【详解】（1）解：∵，，，，，的度数为；（2）证明：，，，，，，，；（3）解：，理由：与互补，，，，，．【变式训练】1．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图示，已知，平分，平分．(1)与有什么数量关系？请说明理由．(2)与平行吗？请说明理由．【答案】(1)，理由见解(2)，理由见解【分析】（1）根据，得到，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）由（1）知，根据角平分线的定义得到，进而得到，依据同旁内角互补，两直线平行即可得出结论．【详解】（1），证明：，，，；（2），证明：由（1）知，平分，平分，，，即，．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线的性质，理解相关知识是解答关键．2．（22-23七年级下·四川成都·阶段练习）已知，点E为直线、所确定的平面内一点．

(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，点在的延长线上，连接、，若，，，求的度数．(3)在（2）的条件下，如图3，过点F作交的延长线于点G，连接，作交于点H，使，当时，求的度数．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）首先延长，证明，然后由两直线平行，同位角相等，即可证得：；（2）延长，交与，则可求出，然后由三角形内角和定理得出，即可得出；（3）根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出，然后根据已知条件和三角形内角和定理即可求得．【详解】（1）解：证明：延长，交与，如图

，，，，；（2）延长，交与，如图

，，，，，，，，，即；（3）如图3，，，

，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．【考点六与角平分线有关的三角形内角和问题】例题：（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．(1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长；(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的基本知识．(1)利用三角形的面积公式求出即可解决问题；(2)根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据角的和差关系即可求出．【详解】（1）解：为边上的高，，的面积为，，为边上的中线，点是的中点，；（2）解：，，为边上的高，，，．为的角平分线，，．【变式训练】1．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点P．(1)如果，求的度数；(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，利用数形结合的思想是解题关键．（1）由三角形内角和定理可求出，再根据角平分线的定义可得出，，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出；（2）由三角形内角和定理可求出，进而得出．再根据角平分线的定义得出，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出．【详解】（1）∵，∴．∵，分别是和的角平分线，∴，，∴，∴；（2）∵，∴．∵，分别是和的角平分线，∴，∴，∴．2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：如图，为的角平分线，过延长线上的任意一点H作的垂线，分别交于三点．(1)如果，，则___________；(2)求证：．【答案】(1)；(2)证明见详解；【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线、高线性质：（1）根据，得到，根据角平分线得到，根据内角和求出，结合内外角关系即可得到答案；（2）根据三角形内角和用得到，根据角平分线得到，根据内角和求出，结合内外角关系即可得到答案；【详解】（1）解：∵，，∴，∵为的角平分线，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：；（2）证明：∵，∴，为的角平分线，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【考点七三角形的外角和性质】例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，平分的内角，平分的外角，相交于点E．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答本题的关键．（1）由角平分线的定义可得、，再根据平角的性质可得，最后根据角的和差即可解答；（2）先说明，再根据角平分线的定义可得，，最后根据角的和差即可解答．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，∴．【变式训练】1．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点P．(1)如果，则的度数为；(2)如图②，分别作外角的角平分线，两条角平分线相交于点Q，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图③，延长线段交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)∠E的度数是或或或【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，（1）在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，求出，再在中，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据三角形外角性质得出，求出，根据角平分线的定义得出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；（3）根据角平分线的定义和平角的定义求出，分为四种情况：①，②，③，④，再求出答案即可；熟练掌握其的综合应用是解决此题的关键．【详解】（1）∵，∴，∵点P是和的角平分线的交点，∴，∴，∴；故答案为：；（2），理由如下：∵，∴，∵点Q是和的角平分线的交点，∴，∴，∴；（3）∵平分，平分，∴，，∵，，如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：①，则；②，则；③，则；④，则，综合上述，的度数是或或或．2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，，．(1)如图1，若点P在线段上，且，则；(2)如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为；(3)如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为．(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由．(5)若点P运动到的外部，且与点A分别位于直线两侧时，请在图5中画出一种情形，直接写出此时之间的关系，无需说明理由．【答案】(1)130(2)(3)(4)，理由见解析(5)或【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角的性质等，熟知三角形外角的性质是解题的关键．（1）连接，证明即可得到答案；（2）同（1），证明即可得到答案；（3）利用三角形外角的性质求解即可；（4）利用三角形外角的性质求解即可；（5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可．【详解】（1）解：如图，连接，∵，，∴，∵，，∴，故答案为：130；（2）解：如图，连接，∵，，∴，故答案为：；（3）解：设与交于F，∵，，∴，∴，故答案为：；（4）解：，理由如下：如图所示，连接，∵，，∴，∴；（5）解：或．如图，∵，，，∴；如图，∵，，，∴，综上可知，或．【考点八确定第三边的取值范围】例题：（2023上·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）已知三角形三条边的长度为3、x、9，x的取值范围是【答案】【分析】本题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．【详解】根据题意，得即，故答案为：．【变式训练】1．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期中）小明要做一个三角形镜框，他现有和的两根木条，则第三根木条x的取值范围是．【答案】【分析】本题考查三角形三边关系，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．【详解】解：由三角形三边关系定理得：，即，故答案为：．2．（2024上·北京顺义·八年级统考期末）若三角形的两边长分别为4和6，则第三边的长度可以为（写出一个即可）．【答案】6（只要满足大于2小于10均可）【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出第三边的取值范围即可得到答案．【详解】解：∵三角形的两边长分别为4和6，∴第三边长，∴第三边长，∴第三边的长度可以为6，故答案为：6（只要满足大于2小于10均可）．【过关检测】一、单选题1．（2024年江苏省宿迁市九年级中考数学二模模拟试题）现有两根长度为3和4（单位：cm）的小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形的是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可．【详解】解：设第三根木棒的长为，则，即．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．2．（2024·河南商丘·一模）如图，已知，，则∠3的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外交，根据，得到，利用三角形的外角的性质，进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴；故选D．3．（22-23七年级下·重庆黔江·期中）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，于H，下面判断正确的有（

）是的角平分线；是的边上的中线；是的边上的高；是的角平分线和高．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可．【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念知是的角平分线，故原说法错误，不符合题意；②根据三角形的中线的概念知是的边上的中线，故原说法错误，不符合题意；③根据三角形的高的概念知是的边上的高，故原说法正确，符合题意；④根据三角形的角平分线和高的概念知是的角平分线和高，故原说法正确，符合题意；说法正确的有③④，共2个，故选：B．4．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，和是两个外角的平分线，、、三点在一条直线上，下列结论中：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】①根据、是与的平分线，可得，，再由邻补角的性质，可得①正确；②根据和是两个外角的平分线，可得，可得②正确；③根据，可得，可得，可得③正确；④根据，可得④正确；⑤根据，平分，可得，再由，可得，可得⑤正确，即可求解．【详解】解：①、是与的平分线，，，，，即，，故①正确；②和是两个外角的平分线，，故②正确；③，，是的平分线，，，故③正确；④，，故④正确；⑤，平分，，，，，，故⑤正确．综上所述，正确的有5个．故选：D．【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，三角形的内角和，邻补角的性质，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（

）．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用以上知识解决问题是关键；先证明，，可判断①，由，可判断②，由可得，可判断③，再结合平行线的性质证明可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∵的平分线交于点，∴，∴，故①符合题意；∵，∴，∴，∵，∴，故②符合题意；∵，∴，若，∴，而，∴，与题干条件不符，故③不符合题意；由③可得：当，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故④符合题意；故选C二、填空题6．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，求=．【答案】【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：三角形内角和是．解题时注意方程思想的运用．先设，根据三角形内角和定理列出方程，求得的值，最后根据直角三角形求得的度数．【详解】解：设，则，是边上的高解得．故答案为：．7．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知为的中线，，的周长为，则的周长为．

【答案】23【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键．根据三角形中线的定义可得，再表示出和的周长的差就是、的差，然后计算即可．【详解】解：∵是边上的中线，∴，∴，∵的周长为，∴周长为：．故答案为：23．8．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点是两条角平分线的交点，如果，那么．【答案】/115度【分析】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理．由及平分可求出，再根据三角形内角和定理即可．【详解】解：∵平分∴∵∴∴．故答案为：．9．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，D、H分别是边的中点，E、G是上的点，且，F是的中点，若四边形的面积为20，则图中阴影部分面积为．【答案】8【分析】本题考查根据三角形中线求面积，连接，，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，结合，可得相关三角形之间面积的比例关系，即可求解．【详解】解：如图，连接，，D、H分别是边的中点，，，，，，四边形的面积为20，，，，，，，F是的中点，，即图中阴影部分面积为8，故答案为：8．10．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则．【答案】/【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质是解决本题的关键．利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系，先用表示出、并找出规律，再利用规律得到结论．【详解】解：和的平分线交于点，，．，．，．同理可得：，．．故答案为：三、解答题11．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）在中，．(1)设、的平分线交于点，求的度数；(2)设的外角、的平分线交于点，求的度数；(3)与有怎样的数量关系?【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可；（）利用角平分线的定义和三角形的内角和即可；（）根据（）、（）可得出结论；本题考查了三角形角平分线和外角性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于及角平分线定义是解题的关键．【详解】（1）如图，

∵，的平分线、相交于，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴；（2）如图，

∵的外角、的平分线交于点，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（3），理由：由（）得：，由（）得：，∴．12．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知分别在的延长线上，．(1)求证：；(2)若，求证：平分；(3)在（2）的条件下，若，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理的应用．（1）根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质证明，结合即可得到结论；（3）先求解，结合垂线的定义与三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】（1）解：，，，，；（2），，∵，∴，∴平分．（3）∵，，∴，，，．13．（23-24七年级下·山东淄博·期中）如图1，在中，，分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点．(1)；(2)分别作与的平分线，且两条角平分线交于点．①依题意在图1中补全图形；②求的度数；【答案】(1)；(2)①图见解析，②．【分析】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．（1）对点进行标记，可设由直角三角形两锐角互余以及角平分线定义可得据此确定的值，由三角形外角的性质得到据此解答；（2）根据角平分线的作法作图即可；设由角平分线的定义结合角度间关系得到：将②代入①即可求解．【详解】（1）解：如图，∵平分平分设，，故答案为：．（2）解：①依题意，作与的平分线，且两条角平分线交于点，补全图形如图：②如图，设∵平分∴∵∴同理，得∴∴将②代入①，得：∴即．14．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，，且相交于点．(1)证明：；(2)如图2，连接，当时，在的延长线上取点，使，连接，若，求的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线交于点，当，且时，求的面积．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的面积，熟练掌握三角形内角和外角的性质是解题关键．（1）根据对顶角相等和三角形内角和定理，即可证明结论；（2）由已知条件可得，，再利用三角形外角的性质，得到，然后由三角形内角和定理，求得，即可求出的度数；（3）由题意得出，进而得到，再根据，即可求出的面积．【详解】（1）证明：，，；（2）解：由（1）可知，，，，，，，，，；（3）解：由（2）可知，，平分，，，，，，，，和为等高三角形，，．15．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）阅读下面的材料，并解决问题．(1)已知在中，，图1﹣图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请