二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结（含答案）

二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结

【知识点1解二次函数的实际应用问题的一般步骤】

审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，己知量有几个，己知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关

系（即函数关系）；

设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；

列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；

解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；

检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；

答：写出答案.

【题型1利用二次函数解决几何图形问题】

【例1】（2020春•萧山区月考）如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现

在制作一个窗户边框的材料总长度为6米.（11取3）

（1）若设扇形半径为x,请用含x的代数式表示出A8.并求出x的取值范围.

（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）

【解题思路】（1）根据2A8+7半径+瓠长=6列出代数式即可；

（2）设面积为S,列出关于x的二次函数求得最大值即可.

【解答过程】解：（1）根据题意得：2A8+7x+TLr=24BM（k=6,

整理得：AB=3-5x：

根据3-5x>0,

所以工的取值范围是：04q

（2）设面积为S,则S=2x（3-5x）—孝（x—搭）？+招，

1

当4=君时，5最大=居.

【变式1・1】(2020•安徽模拟)如图，某住宅小区有一块矩形场地ABC。，AB=\6m,BC=\2m,开发商准

备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花,

②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼.

(1)设矩形观赏鱼用地尸的面积为冲？，AG长为笛川，求y与x之间的函数关系式；

(2)求矩形观赏鱼用地〃〃尸面积的最大值.

【解题思路】(1)根据矩形的性质得到CQ=4B=16,AD=BC=\2,根据正方形AEPG和正方形JKC/

形状大小相同，矩形G”/。和矩形EBKL形状大小相同，得到OG=12-x,FL=x-(12-x)=2x-12,

BE=16-x,LI=(16-x)-x=16-2r,根据矩形的面积公式即可得到结论；

(2)根据二次函数的性质即可得到结论.

【解答过程】解：(1)在矩形48co中，CO=A8=16,AD=BC=l2t

•・•正方形AEFG和正方形JKC/形状大小相同，矩形GH/O和矩形EBKL形状形状大小相同，AG=x,

••DG=12-FL=x-(12-x)=2r-12,BE=16-Jt,Ll=(16-x)-x=16-2x,

•：S矩形UHF=FL・LJ，

：.y=(2x-12)(16-2x)=-4?+56x-192；

(2)由(1)得，y=-47+56x-192=-4(x-7)2+4,

9：FL=2x-12>0,ZJ=16-2x>0,

-8,

・•・〃=-4<0,

，当x=7时，y的最大值=4；

故矩形观赏鱼用地UHF面积的最大值为4m2.

【变式1-2](2020•富顺县三模)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足

够长)，用28〃?长的篱笆围成一个矩形花园A3CO(篱笆只围A&BC两边),设花园的面

积为Sm2.

2

(1)若花园的面积为192m2,求x的值；

(2)写出花园面积S与x的函数关系式.x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？

(3)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是a(14W〃W22)和6济，要将这棵树围在花园内(含

边界，不考虑树的粗细)，设花园面积S的最大值为y,直接写出y与。的关系式.

【解题思路】(1)根据题意得出长X宽=192,进而得出答案；

(2)由题意可得出：S=x(28-x)=-f+28x=-(x-14)2+196,再利用二次函数增减性求得最值;

(3)根据题意确定x的取值范围，利用二次函数增减性计算即可.

【解答过程】解：(1)依题意得S=x(28・x),

当S=192时，有S=x(28-x)=192,

BPx2-28x+l92=0,

解得：xi=12,X2=16»

答：花园的面积为192m2,1的值为12m或16m；

(2)由题意可得出：

S=x(28-x)

=-f+28x

=-(x-14)2+196,

答：x为I4〃i时，花园面积S有最大值，最大值为196m2；

(3)依题意得：

[28-x>a

tx>6

解得：60W28”,

S=x(28-x)=-f+28x=-(x-14)2+196,

*：a=-1<0,当xW14,y随x的增大而增大，

又6WxW28-a,

・••当x=28・a时，函数有最大值，是y=-(28-«-14)2+196=-(14-a)2+196.

【变式1・3】(2020•温州模拟)某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为。米的墙，现准备用20米

3

的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开.小俊设计了如图甲和乙的两种方案:

方案甲中4£)的长不超过墙长：方案乙中4£)的长大于墙长.

(1)若。=6.

①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？

②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？

(2)若0<aV6.5,哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由.

图甲图乙

【解题思路】(1)①设A8的长是1米，根据矩形的面积公式列出方程；

②列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；

(2)设AB=x,能围成的矩形花圃的面积为S,根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法

解答.

【解答过程】解：(1)①设A3的长是x米，则4)=20-3x,

根据题意得，x(20-3x)=25,

解得：X]=5,X2=

5

-

3AO=15>6,

答：AO的长是5米；

②设BC的长是x米，矩形花圃的最大面积是y平方米，则AG/pO-x-G-6)]=竽一枭,

根据题意得，y=x—=—#+竽x=一宗%—竽/(x>6),

・・・当工二竽时，y有最大值为罢.

答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是半平方米；

6

(2)设BC=x,能闱成的矩形花圃的面积为S,

4

按图中的方案，S=xx/W=-1x2+^v=-1(x-10)2+衅,

OOOOD

・••在x=aV10时，S的值随x的增大而增大，

・••当x=a的最大值〃时，S的值最大，为5=—3(九一10)2+苧；

按图乙方案，S=1[20-x-(x.a)卜=一,(x-。芋0)2+(丐jQL,

22

...当广竽时，s的值最大为5=殁»_,此时。取最大值〃时，s的值最大为S="6-；

..(n+20)2i2^100,9n2-120n+400”

・------------I-,(n-10)+-5-]=---------ox--------->0»

2433J24

故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃.

【知识点2销售问题中的常用公式】

(1)利润=售价•进价二进价x利润率

(2)利润率=黑’X100%

(3)总利润:总售价■总进价:销售量*(单件售价.单件成本)

【题型2利用二次函数解决销售利润问题】

[例2]2020年1月，全国爆发新型冠状病毒肺炎，2月某工厂购进某防护材料若干千克，成本为每千克

30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价但不高于成本价2倍，经试销，销售量y(千克)与销售

单价x(元)的关系如图所示.

(1)求y与工的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)若在销售过程中每天还要支付其池费用450元，当销售单价为多少元时，当天该工厂日利润最大，

【蟀题思路】(1)直接利用待定系数法求出一次函数关系式；

(2)利用销量X每件利润=总利润，避而结合二次函数增减性得出答案.

【解答过程】解：(1)设)，与x的函数关系式为：y=kx+b(2W0),

5

根据图象可得方程组｛粱非：:篇

解得由二彘，

・•・）与X的函数关系式为：y=-2X+200,X的取值范围是：30WxW60；

（2）设日利润为伍则可以列出函数关系式为：

w=（-2X+200）（x-30）-450

=-2?+260x-6450,

当a-卷=65，

又.・・30WxW60,

・••当x=60时,w取得最大值,卬=1950,

答：当销售单价为60元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为1950元.

【变式2“】某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量），（个）与销售单价%（元）之间

满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：

销售单价工（元）8595105115

日销售量y（个）17512575m

日销售利润w（元）87518751875875

（注：日销售利润=日销售量X（销售单价■成本单价））

（1）求》关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及加的值：

（2）根据以上信息，填空：

该产品的成本单价是元,当销售单价x=元时，日销售利润卬最大,最大值是元：

（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在

（1）中的关系.若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单

价应不超过多少元？

【解题思路】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式；

（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和卬的最大值；

（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本.

【解答过程】解；（1）设），关于工的函数解析式为丁="+乩

（85k+b=175洱的=-5

I95fc+b=125,〃b=600'

即y关于x的函数解析式是y=-5x+600,

当x=115时，y=-5X115+600=25,

即加的值是25；

（2）设成本为。元/个，

当x=85时，875=175X（85-a）,得a=80,

卬=（-5x+600）（x-80）=-+1000.148000=-5（x-100）2+2000,

・••当x=100时，卬取得最大值，此时卬=2000,

故答案为：80,100,2000；

（3）设科技创新后成本为b元，

当x=90时，

（-5X90+600）（90-b）23750,

解得,人W65,

答：该产品的成本单价应不超过65元.

【变式2-2]（2020•安徽二模）某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，

帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）

与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单

价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年

销售完，达到产销平衡，所获毛利润为卬万元.（毛利润=销售额-生产费用）

（1）请直接写出），与x以及z与x之间的函数关系式；

（2）求卬与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？

（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

【解题思路】（1）利用待定系数法可求出），与“以及z与x之间的函数关系式；

（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额■生产费用，可得出卬与x之间的函数关系式，再利用配方

7

法求函数最值即可；

(3)首先求出x的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案即可.

【解答过程】解：(1)图①可得函数经过点(100,1000),

设抛物线的解析式为丁=/(〃工0),

将点(100,1000)代入得：1000=10000^,

解得:“余，

故y与X之间的关系式为尸宗.

图②可得：函数经过点(0,30)、(100,20),

设2=区也则已吗y=20,

解得：色=一焉.

3=30

故z与x之间的关系式为z=-点x+30；

(2)W=zx-y=—■J+30x-■J

=-#+30/

=(x2-150x)

=-1(x-75)2+1125,

F4)»

・•・当x=75时,W有最大值1125,

.••年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；

(3)令y=360,得看2=360,

解得：x=±60(负值舍去)，

由图象可知，当0〈)W360时，0〈rW60,

rtlW=(x-75)2+1125的性质可知，

当0VxW60时，卬随x的增大而增大,

故当工=60时，W有最大值1080,

答：今年最多可获得毛利润1080万元.

8

【变式2・3】(2020•邢台二模)一家经营打印耗材的门店经销各种打印耗材，其中某一品牌硒鼓的进价为。

元/个，售价为X元/个.下面是门店在销售一段时间后销售情况的反馈：

①若每个硒鼓按定价30元的8折出售，可获20%的利润；

②如果硒鼓按30元/个的价格出售，每月可售出500个，在此基础上，售吩每增加5元，月销售量就减

少50个.

(1)求。的值，并写出该品牌硒鼓每月的销售量y(个)与售价x(元/个)之间的函数关系式，并注明

自变量x的取值范围；

(2)求该耗材店销售这种硒鼓每月获得的利润W(元)与售价x(元/个)之间的函数关系式，并求每月

获得的最大利润；

(3)在新冠肺炎流行期间，这种硒鼓的进价降低为〃元/个，售价为x元/个(〃/xW48).耗材店在2

月份仍然按照销售量与售价关系不变的方式销售，并决定将当月销售这种硒鼓获得的利润全部捐赠给火

神山医院，支援武汉抗击新冠肺炎.若要使这个月销售这种硒鼓获得的利阀G(元)随售价x(元/个)

的增大而增大，请直接写出〃的取值范围.

【解题思路】(1)根据实际售价-进价=进价X利润率建立关于。的方程，解之可得〃的值；用原销售

量-因价格上涨而减少的销售量可得答案.

(2)根据“总利润=每个硒鼓利润X销售量”列出关于x的函数，配方成顶点式，再利用二次函数的性

质求解可得；

(3)根据以上相等关系，并结合新进价列出关于x的二次函数，找到其对称轴，利用二次函数的增减性

求解可得.

【解答过程】解：(1)30X0.8-4=20%。，

解得a=20.

y=500-10(x-30),即y=-IOA+800(20WxW48).

(2)根据题意，得W=(x-20)(-lOx+800)=-10(x-50)2+9000.

V-10<0,销售单价不能超过48元/个，

即当20WxW48时，卬随x的增大而增大，

・,•当工=48时，W有最大值，最大值为8960.

答：当售价为48元/个时，每月获得的利润最大，最大利润为8960元.

(3)根据题意，得G=(x-〃)(-10x+800)=-10?+(800+10〃)X-800〃，对称轴》=哼^.

VA=-10<0,

•・,当〃WxW48时，该商品利润G随x的增大而增大,

解得〃216.

・・•进价是降低的，

：.n的取值范围是16W〃V20.

【题型3利用二次函数解决抛物线形轨迹问题】

【例3】（2020秋•淹池县期末）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下。点打出一球向球洞A点

飞去,球的路线为抛物线,如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米.已

知山坡0A与水平方向OC的夹角为30°,0、A两点相距8V5米.

（1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；

（2）判断小明这一杆能否把高尔大球从O点直接打入球洞A点，并说明理由.

>4B

【蟀题思路】（1）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9,12）,经过原点（0,0）,设顶点式可求

抛物线的解析式；

（2）04与水平方向OC的夹角为30°,0A=8百米，解直角三角形可求点4的坐标，把点A的横坐标

x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符.

【解答过程】解：（1）•・•顶点8的坐标是（9,12）,

・•・设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12,

•・•点。的坐标是（0,0）

・•・把点O的坐标代入得：0=。（0-9）2+12,

解得〃=-务

工抛物线的解析式为尸一2（x-9）2+12

HFI4，18

叩尸—27^'~+gX；

10

(2)在RtZXAOC中,

VZAOC=30°,。4=8后

••・4C=OA・sin30。=8A/3X1=4百，

OC=OA・cos300=8V3x^=12.

・••点A的坐标为(12,4V3),

•・•当％=12时,尸苧H4次，

，小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点.

【变式3-1】如图，运动员甲在距篮下4〃?处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5机

时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.

(1)建立如图所示的直角坐标系，求效物线的解析式.

(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的

高度是多少？

(3)运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m,问：在(2)的条件下，运动员乙在运动员甲与篮板之间

的什么范围内能在空中截住球？

【解题思路】(1)设抛物线的表达式为依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值.

(2)设球出手时，他跳离地面的高度为痴，则可得/?+2.05=-0.2X(-2.5)2+35

(3)当y=3.3m,进而代入函数解析式，求出工的值，即可得出答案.

【解答过程】解：(1)•・•当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，

・・・抛物线的顶点坐标为(0,3.5),

・•・设抛物线的表达式为y=/+3.5.

由图知图象过以下点：(1.5,3.05).

J2.25〃+3.5=3.05,

解得：a=-0.2,

11

，抛物线的表达式为了=-0.2?+3.5.

（2）设球出手时，他跳离地面的高度为人加，

因为（1）中求得y=-0.2?+3.5,

则球出手时，球的高度为/1+1.8+0.25=M+2.05）机，

工力+2.05=-0.2X（-2.5）2+3.5,

・••力=0.2（m）.

答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m.

（3）由题意可得出：y=3.3>

则3.3=-0.2?+3.5

解得：XI=1,X2=-1，

A2.5-1=1.5（w）,1.5-1=0.5（m）

・•・乙在距离甲1.5米以内或离篮板0.5米以内能在空中截住球.

【变式3-2]（2021•嘉善县一模）已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员

接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即48=0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水

平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D,即8=4.4米.以直线BC为x轴，以直线48为），轴

建立平面直角坐标系（如图2）.

图1图2图3

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；

（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退〃?米后接球射门，击球点为4（如图3）,请直接写出

m的取值范围.

【解题思路】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6,4.4）,利用待定系数法即可求得函数的

解析式；

（2）求出当y=2.44时，x的值，取正；

（3）先求出y=0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离.

12

【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标是（6,4.4）,

设抛物线的解析式是：y=aCv-6）2+4.4,

把（0,0.4）代入得36a+4.4=04

解得即Y，

则抛物线是尸一3（x-6）2+4.4；

（2）・・•球门高为2.44米，即），=2.44,

则有2.44=-i（x-6）2+4.4,

解得:XI=10.2,^2=1.8,

从题干图2中，发现球门在CO右边，

••x=10.2,

即足球运动的水平距离是10.2米；

（3）不后退时，刚好击中横梁，

・・・往后退，则球可以进入球门，

而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，

当y=0时，

有0=一3（x・6）2+4.4,

解得：xi=6+VT10>X2=6-V110：

取2E值，x=6+V110»

・,・后退的距离需小于—10.2=（7V110-4.2）米

55

□

故布亍-4.2.

【变式3-3］（2020•绍兴）如图1,排球场长为18〃?，宽为9〃?，网高为2.24机，队员站在底线。点处发球,

球从点。的正上方19〃的C点发出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点A时,高度为2.88m,

即BA=2.88m,这时水平距离O8=7m,以直线0B为x轴，直线。C为），轴，建立平面直角坐标系，如

图2.

（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度），（机）与水平距离x（/«）之间的函数

关系式（不必写出X取值范围）.并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由.

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（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1,点P距底线1加，边线0.5m），问发球点

o在底线上的哪个位置？（参考数据：V5取1.4）

【解题思路】（1）求出抛物线表达式；再确定x=9和x=18时，对应函数的值即可求解；

（2）当y=0时，），=一击（x-7）2+2.88=0,解得：％=19或・5（舍去・5）,求出尸。=6鱼=8.4,

即可求解.

【解答过程】解：（1）设抛物线的表土式为：y=a（x-7）2+2.88,

将x=0，y=1.9代入上式并解得：—白，

故抛物线的表达式为：尸一击（x-7）2+2.88；

当尤=9时，尸一击（x-7）2+2.88=2.8>2.24,

当％=18时，尸一击（x-7）2+2.88=0.46>0,

故这次发球过网，但是出界了；

（2）如图，分别过点O,P作边线的平行线交于点Q,

在RlZXOPQ中，0Q=187=17,

当y=0时，一击(x-7)2+2.88=0,解得:%=19或-5(舍去-5),

，。尸=19,而0。=17,

故PQ=6&=8.4,

79-8.4-0.5=0.1,

・•・发球点0在底线上且距右边线0.1米处.

14

【题型4利用二次函数解决车过隧道问题】

【例4】(2020秋•海淀区校级月考)小宇遇到了这样一个问题：

如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的•部分，经测量，隧道顶的跨度为4〃?，

最高处到地面的距离CO为4〃?，两侧墙高AM和8N均为3加，今有宽24〃的卡车在隧道中间行驶，如

果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点。的距离应不小于0.6阳,那么卡车载物后的限高应是多少

米？(精确到0.1加

为解决这个问题，小宇以48中点。为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛

物线的表达式为y=ax2+c.

(1)写出M、。、N、F四个点的坐标；

(2)求出抛物的表达式；

(3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题.

【解题思路】(1)根据题中信息直接写出"、C、N、尸四个点的坐标即可；

(2)将点M、。点的坐标代入抛物线的表达式为、=加+C利用待定系数法求解即：

(3)在)，=一］/+4中，令x=L2,求得相应的y值，从而可得点。的坐标，结合卡车载物后的最高点

E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于06〃，可得卡车载物最高点距地面的距离，然后精确到0.1〃?，

即可得出答案.

【解答过程】解：(1)由题意得：M(-2,3)、C(0,4)、N(2,3)、F(1.2,0)；

(2)将M(・2,3)、C(0,4)代入y=o?+c,得：

(4a+c=3

tc=4'

解得：卜=一/，

=4

15

・•・抛物的表达式为5=一%。4；

(3)在丁=一#+4中，令x=1.2,得：

y=-1xl.22+4=3.64,

・•・点D的坐标为(1.2,3.64),即点D与地面的距离为3.64m,

•・•卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6皿，

:,点E离地面的距离不超过3.04小，

・••卡车载物后的限高应是3.0〃?.

【变式4-1］(2021•海城市模拟)如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形0ABe构成.矩形一边OA的长

是12m,另一边OC的长是1m.抛物线上的最高点。到地面OA的距离为7M以OA所在直线为x轴，

以OC所在直线为)，轴，建立平面直角坐标系.

(1)求该抛物线所对应的函数表达式.

(2)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5〃?，求两

排灯之间的水平距离.

(3)隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于［用的空

隙.现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘力〃处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度.

【解题思路】(1)设抛物线所对应的函数表达式为y=aQ-6)2+7,将点C(0,1)代入所设解析式

求出a的值即可得出函数解析式；

(2)将y=5代入解析式求出x的值，将所求x的值相减可得答案；

(3)求出x=2时y的值，再减去［可得答案.

【解答过程】解：(1)由题意设抛物线所对应的函数表达式为(x-6)2+7,

将点C(0,1)代入上式，36。+7=1,

解得Q=一/

・•・该抛物线所对应的函数表达式为y=-1(x-6)2+7.

16

(2)把)，=5代入y=一如-6)2+7中，一融—6产+7=5,

解得％1=6+2V3,X2=6-2V3,

6+2>/3-(6-2V3)=4V3,

所以两排灯之间的水平距离为4V5m；

(3)把％=2代入、=-9(>一6)2+7中，y=-1(2-6)2+7=^,

131

——-=4,

33

所以这辆货运汽车载物后的最大高度为4〃?.

【变式4-2](2020•武汉模拟)某坦克剖队需要经过一个拱桥(如图所示)，拱桥的轮廓是抛物线形，拱

高OC=6m,跨度43=20加，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH,相邻两支柱的距离均为5k

(1)以43的中点为原点，45所在直线为x轴，支柱CO所在直线为)，轴，建立平面直角坐标系，求抛

物线的解析式；

(2)若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；

(3)拱桥下面是双向行车道(正中间是一条宽2M的隔离带)，其中的一条行车道是坦克的行进方向，

现每辆坦克长4m，宽2M,高3m,行驶速度为24M皿，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计,

试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1(X)0小的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？

【解题思路】(1)根据题目可知4,8,C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解.

(2)把x=5代入可求出支柱的长度，然后算出总造价即可.

(3)先求出坦克方队的长，然后算出速度，从而求得通过隧道的时间即可.

【解答过程】【解】(1)设y=/+。,把C(0,6)、3(10,0)代入，

3

得。=一而,c=6.

・•・),=一乔+6.

(2)当x=5时，y=-X52+6=p

911

・・・跖=10—1=芸，8=10-6=4,

17

支柱的总造价为2（2x9+2X10+4）=70（万元）.

（3）.・•坦克的图为3米，令y=3时，—磊/+6=3,

解得：X=±5A/L

V7<5>/2<8,坦克宽为2米，

，可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120+3X4=160（米），

坦克的行驶速度为24加〃?=400米/分，

・•・通过隧道的最短时间为吟曾=2.9（分）.

【变式4-3］（2020秋•海州区校级期末）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，

宽度OM为16米.现以O点为原点，O例所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）.

（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5

米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB,使A.D点在抛物线上.B、C点在地面

OM线上（如图2所示）.为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆48、AD.0c的长度之和的最大

值是多少，请你帮施工队计算一下.

【解题思路】（1）抛物线的顶点坐标为（8,8）,则其表达式为：y=aQ-8）2+8,将点。（0,0）

代入上式，即可求解；

（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，

车最左侧边沿的x=7.5-3.5=4,即可求解；

（3）点A、D关于函数对称轴对称,则设AO=2机，则AB=产一5（厂8）2+8=8—$/,=AB+AD+DC

OOW

=2m+2AB=—^nr+2fn+\6f即可求解.

【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标为（8,8）,

18

则其表达式为：y=a(x-8)2+8,

将点。(0,0)代入上式得：0=644+8,解得：a=-1,

故函数的表达式为：y=—(x-8)2+8,即产一款+太(04W16)；

(2)双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，

车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5-3.5=4,

当JC=4时，y=6,即允许的最大高度为6米，

5.8<6,故该车辆能通行；

(3)设点8Cm,0),则点A(m,~^m2+2m'),

由抛物线的表达式知，其对称轴为x=8,则8c=2(8-m)=\6-2m=AD,

则AB=

o

1G

则设:w=AB+AD+DC=2m+2AB=-yn2+2m+16,

<0,故卬有最大值，

当m=4时，卬的最大值为20,

故AB、AD,。。的长度之和的最大值是20.

【题型5利用二次函数解决拱桥形问题】

【例5】(2020秋♦渝水区校级月考)某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5加时，水面宽8m.一木船宽

3

4m,高2m,载货后，木船露出水面的部分为7储以拱顶。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,

A、8为抛物线与水面的交点.

(1)B点的坐标为；

(2)求抛物线解析式；

(3)当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？

【解题思路】(1)当水面距拱顶5根时，水面宽8〃?，则8(4,-5)；

19

(2)设抛物线的解析式为)，=/,将点8的坐标代入上式即可求解；

(3)将尸2代入上式，得尸一徐^一/,则H=2,而1.8<2,即可求解.

【解答过程】解：(1)当水面距拱顶5机时，水面宽8加，

则点B(4,-5),

故答案为(4,-5)；

(2)设抛物线的解析式为

将点8的坐标代入上式得-5=aX42,解得。=一会，

・,•该抛物线的解析式为尸-船2；

(3)将x=2代入上式，得y=

53

V-+-=2,

44

而1.8<2,

当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥.

【变式5-1](2020秋•泗阳县期末)河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽6机时，水面离桥拱顶部3m.

(1)如图建立平面直角坐标系，试求效物线的解析式；

(2)一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5帆，宽为4m.现因暴雨河水水位上升了\m,这艘

小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由.

【解题思路】(1)根据题意可以知道A、B的坐标，在利用点C得坐标从而求出抛物线的解析式.

(2)代入x=2求出)，的值，用其减去1求出可通过船的做最高高度，与0.5比较大小从而得出答案.

【解答过程】解：(1)设抛物线的解圻式为y=aG-xi)(x-%2).

A1-3,0),4(3,0),C(0,3).

y=a(x+3)(x-3).

在洛点C(0,3)带入y=a(x+3)(厂3)中的得a=-

20

所以抛物线的解析式为y=一打2+3,

（2）小船可以通过，

理由：当x=2时，y——x22+3

52

V--1=->0.5,

33

・••暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过.

【变式5-2］（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽A8与桥长8均为24m,在距

离。点6米的七处，测得桥面到桥拱的距离E尸为1.5加，以桥拱顶点。为原点，桥面为x轴建立平面直

角坐标系.

（1）求桥拱顶部。离水面的距离.

（2）如图2,桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相

同的抛物线，其最低点到桥面距离为bn.

①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值.

【解题思路】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解

即可;

【解答过程】解：（1）根据题意可知点尸的坐标为（6,-1.5）,可设拱桥侧面所在二次函数表达式为:

将尸（6,-1.5）代入有:-1.5—36a1,求得古，

,1/

,,J,=-24r,

当x=12时，yi-去X12?--6,

21

・••桥拱顶部离水面高度为6〃?.

（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物浅的顶点坐标为（6,1）,可设其表达式为"一eCv-6）2+1,

将”（0,4）代入其表达式有：4—42（0-6）2+1,求得〃2,

12

・•.右边钢缆所在抛物线表达式为：”一2（X-6）2+1,左边钢缆所在抛物线表达式为：V3=—（x+6）2+1

1212

②设彩带的长度为

则L-）吃-y\==（x-6）2+1-（―=|x2—x+4=—4）2+2,

・•・当一4时，L制小位—2,

答：彩带长度的最小值是2〃?.

【变式5・3】（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面084可视为抛物

线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽04=8加，桥拱顶点8到水面的距离是4m.

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距。点0.4冽时，桥下水位刚好在OA

处，有一名身高1.68次的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由

（线设船底与水面齐平）.

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线），=加+以+cQR0）,该抛物线在x轴下方部分与桥拱084

在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移机（m>0）个单位长度，平移后的函

数图象在8WxW9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求用的取值范围.

【解题思路】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B（4,4）,先设抛物线的顶点式（A-

-4）2+4,再根据图象过原点，求出。的值即可；

（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出），的值，然后和1.68比较即可；

（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移机各单位，根据二次函数的性质求出机的取值

范围.

【解答过程】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8机，桥拱顶点B到水面的距离是4〃?，

22

结合函数图象可知，顶点B(4,4),点0(0,0),

设二次函数的表达式为y=a(x-4)2+4,

将点O(0,0)代入函数表达式，

解得：a=

，二次函数的表达式为丁=一/(x-4)2+4,

即y=—/f+Zr(0WxW8)；

(2)工人不会碰到头，理由如下：

•・•小船距。点0.4加，小船宽1.2团，工人直立在小船中间，

由题意得：工人距O点距离为0.4+*xl.2=l,

•••洛=1代入y=+2x,

解得：y=\=1.75,

•・•1.75机>1.68m,

・♦.此时工人不会碰到头；

(3)抛物线,，=-%2+您在工轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于X轴成轴对称.

新函数图象的对称轴也是直线x=4,

此时，当0WxW4或xN8时，y的值随x值的增大而减小，

将新函数图象向右平移机个单位长度