九年级数学沪教版上册24.1相似形

24.1相似形

1.定义：形状相同的图形称为相似形

【注意】对相似三角形的定义应从以下几方面理解：

（1）“形状相同的图形”是将一个图形放大或缩小后得到的

（2）“大小不一定相同的相似形”说明了相似图形有两种情况：一是大小不同；二是大小相同。对于大

小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到。

对于大小相同的两个相似形，它们可以重合，这时它们是全等形。

（3）所谓形状相同，应与位置无关，与摆放角度无关，与摆放方向也无关。

例：下列各组中的图形，不是相似图形的是（）

（A）同一座城市的两张比例尺不同的地图（B）一个人现在的照片和他十年前的照片

（C）两个正方形（D）国旗上的五角星

2.相似图形的识别方法

（1）感观法（2）测量法（3）对比分析法

3.相似图形的性质

如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

【注意】（1）当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1

（2）根据此性质，我们可以判定两个多边形是否相似。

4.方格法画与已知图形相似的图形

（1）利用“方格法”画与已知图形相似的图形的依据是“两多边形对应角相等，对应边的长度成比例,

则两多边形相似”。

（2）利用“方格法”画与已知图形相似的图形的方法：在格子图中画与己知图形相似的图形时，首先应

确定对应边所成的比例数，然后根据比例数在格子点上找出对应边的长

度，再根据对应角相等即可画出图形。

例；如图在正方形网格上，若使AABCS^PBD,则点P应在（）

24.2比例线段

L两条线段的比

如果a:b=c:d（或旦=£）,那么就说a、b、c、d成比例。

bd

两条线段的长度的比叫做两条线段的比。

【注意】（1）两条线段的比，就是在同一单位下它们的长度比。因此,比与所选线段的长度单位无关,

但必须选定同一长度单位。

（2）由于a、Z?长度都是正数，所以两条线段的比是一个正数。

nn

（3）两条线段的比是有顺序的，不可颠倒，除了。=〃时外，但一与一互为倒数。

ba

2.成比例线段

在四条线段a、b、c、d中，如果。与方的比等于c与d,即q=£,我们把这四条线段叫做成比例线段,

bd

简称比例线段。

【注意】（1）比例线段所表示的是四条线段的关系。

（2）比例线段所表示的是一种相等关系，因此表示比例线段的式子中必须有等号存在。

（3）线段a、b、c、d成比例是顺序地表示为a:5=c:d

（4）判断四条线段是否成比例，只要把这四条线段长度的大小顺序排好，判断前两条线段之比与后两条

线段之比是否相等即可。

3.比例的基本性质

ac

两个外项的积等于两个内项的积，即如果一=—,那么4

bd

,ac,bdabcd

如果m一=一,那么一=一,一=一,—=一,-o

bdaccdab

4.合比性质

.acFb/a+bc+da-bc-daca_c

如果m一=一,那么----=-----；-----=-----,-----=-----

bdbdbda-bc-da+bc+d

nr

【注意】（1）在对比例式一=一进行变形时，要注意是分子加减分母经原分母，而不要理解反了

bd

a+bc+da+bb

（2）合比性质与比例基本性质结合起来运用可得到很多结论，如:-----=------=>------

bdc+d~d

例：（1）若一二4,求——-----的值。（2）若一二一，求------的值。

yy%+yb5b

5.等比性质

,ac7F-Q+Cac,

如果m—————k9那么----——————k

bdb+dbd

【注意】（1）等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。例如：

如果幺=&=%=...=左，那么q+0+幺=幺="左

bxb2b3A+仇+b34b24

（2）在运用等比性质时，一定要注意性质满足的条件是所有比的分母的和不为0

例：已知幺=9=9=3,求“―2'+4e的值（b—2d+4/-0）

bdfb-2d+4f

6.黄金分割

如图，如果点C把线段AB分割成AC和CB（AOCB）两条线段，且坐坐2=变萼，那么称这种

A3（全）AC（长）

分割为黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC（长）是BC（短）与AB（全）的比例中项，AC

与AB的比值叫做黄金分割数。AC:A3=叵。：1^0.618:1

2

3=C5AB即3=（AB-AC）ABAC2+AB-AC=AB2

1,1,5,1J5

两边同时加上（QA3）2得（4。+]45）2=彳452,两边开平方得AC+5A5=A3

+J5-1J5-1

:.AC=———AB,只取AC=^——AB,

22

,ACV5-1

,AB-2

24.3三角形一边的平行线

1.三角形一边的平行线性质定理及推论

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

2.三角形的重心

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。

3.三角形一边的平行线判定定理及推论

如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那

么这条直线平行于三角形的第三边。

4.平行线分线段成比例定理

两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例

两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段

也相等。

5.通过上面的学习，含有比例线段的基本图形:

例:

1.如图，已知:在口A3CD的对角线AC上取一点G,过G作一直线分别交AB的延长线BC和AD及CD

的延长线开P、Q、E、S.求证:GP•GQ=GE•GS

分析:求线段的比或证明比例线段关键是通过找出“中间比”

来进行过渡，这是一种基本方法.证明中将行者等积式与比

例式进行互化是常用的方法.

2.如图，UABC中,AD是BC上中线,F是AD上一点，且AF:FD=1:3,联结BF,并延长AC于E.

求证:CE:EA=6:1

A

j\E

分析:作平行线是证明比例线段中常用的辅助线，能起到构造比（比例）

和平移比的作用，作不行线是应考虑两点:一是过哪一点作平行线,二是

作哪一直线一平行线.其原则为:通过作平行线出现存在比和比例的基

本图形,要得到的比例式中应尽可能多的出现已知或求证中的线段.

B

D

3.如图：在四边形ABCD中,M、N分别为AB、CD边的中点，延长AD、MN相交于点G,BC延长线交GM于H.

求证:AG:DG=BH:CH

4.如图，AABC中，点D在BC上,BD:DC=2:1,点E在AD上,AE:ED=2:3,BE的延长线交AC于点F,求BE:EF

的值.

如图，已知在△ABC中，AE:EB=CD:CB=1:3,AD与CE相交于点"，求型的值。

5、

HC

6、如图所示，在菱形A3CD中，点£、尸分别在BC、CD上，ZBAF=ZDAE,AE与BD

相交于点G.

①求证：BE=DF；

r)pAD

②当——=—时，求证：四边形BERG是平行四边形.

FCDF

7、如图，点P是菱形ABCD的.对角线5D上一点，联结CP并延长，交于点E,交54的延长线于

点F.

(1)求证：PC2=PEPF；

(2)若菱形边长为8,PE=2EF=6,

在AABC中，点D是3c上一点，且02=40。求证：Z1=Z2

8、如图,

DCAC

重心题型

1.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=13,BC=10,G是△ABC的重心，则BG=.

2.在ZkABC中，NC=90°,BC=12,点G为重心，且GD_LBC,那么CD=.

3.两个等腰直角三角形ACS和DCE的位置如图所示，点A、C、E和点5、C、D

分别在,一直线上，ZACB=9Q°,AE=4形,AB=3DE,点G、H分别是AACB、

ADCE的重心，联结G”,那么GH=.

4.我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一平面内有两个边长相等的等边三角形，如果

当它们的一边重合时重心距为2,那么当它们的一对角成对顶角时重心距为.

5.若直角三角形的重心到直角顶点的距离为2厘米，则这个直角三角形的斜边长为________厘米.

6.已知，△ABC的重心G到边中点。的距离是2,则边上的中线长是.

7.如图，点G是△ABC的重心，AGJ.GC,AC=4,那么BG的长为.

8汝口图，点G是ZiABC的重心，GH〃AC交BC于点H,若GH=2,那么AC=.

EF

9.点G是ZkABC的重心，如果EF过点G且EF〃BC,分别交AB、AC于点E、F,那么——的值

BC

为.

10.在ZkABC中，BC=3,点G是ZkABC的重心，过点G作DG〃BC交边AB于点D,那么DG=

11.已知G是ZXABC的重心，点D、E分别是边AB、AC的点，DE〃BC,且经过重心G,如果ZkABC

的周长是30cm，那么ZkADE的周长是cm.

12.已知在ZXABC中，点G是ZkABC的重心，则^-----

SAABC

13.在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,AD1.BC,垂足为D,BE是边AC上的中线，AD与BE相交于点

G,那么AD=____________.

e

n____7A

.zf\

A，第8题曾

第3题图第7题图

黄金分割点题型

1.已知点C是线段AB的黄金分割点，AB=2,求较长线段AC=.

2.实数2与0.5的比例中项是.

3.已知线段a=4,c=9,那么a和c的比例中项?=.

4.已知C是线段AB的黄金分割点，AC:AB=^^~,那么CB:AC=.

2

5.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边上的黄金分割点，且BE>CE,

AE与BD相交于点F,那么BF:五。的值为.

6.已知ZkABC中，AB=AC=m,ZABC=72°,8及平分NA3C交AC于用，过耳作用⑦〃BC

交AB于不，作坊用平分/4耳片交AC于四，过"作用^"BC交AB于昂，则线段田功的长度

为（用含加的代数式表示）。

7.在aABC中，AB=AC,NA=36°,BD平分NABC交AC于点D,DE平分N3DC交BC于点E,

8.已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=5C-A5,则下列式子成立的是……（）

ACA/5-1AC75-1BC75-1CB45+1

A.=---------；B.=----------；C.-----------；D.=----------.

BC2AB2AB2AC2

9.如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是止二）■的为（）

2

AB

~BC

10.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP二行-1,则48的长是.

24.4相似三角形的判定

知识点一：相似三角形的概念

1.定义：如果两个三角形的三个角对应相等、三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。对应

相等的角的顶点是这两个相似三角形的对应顶点。

2.表示方法：AABC与ADEF相似，记作AABC-ADEF,读作“AABC相似于ADEF

【注意】在记两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地

找出相似三角形的对应角和对应边。

3.相似比：相似三角形对应边的比叫相似比。也叫相似系数，通常用左表示。

【注意】对于相似比这个概念，应注意顺序问题和对应问题。

知识点二：相似三角形的预备定理和判定定理

1.相似三角形的预备定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似（符合相似三角形的定

义）

2.相似三角形判定定理1

如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。简述：两角对应相等,

两个三角形相似。

【注意】（1）该判定只需两个角便可说明两个三角形相似，这是最简单而且也是常用的判别条件，一般

地，当题目中告诉角之间的关系，或线段的平行关系时，常选择该判别条件来求线段长度或说明线段的

比例关系等。

（2）该判别方法从另一个方面指出，对于三角形这种图形，两个角便可确定其形状，只是大小不确定，

要确定其大小，至少还需添加一条边的边长。

3.相似三角形判定定理2

如果一个三角形两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述:

两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

【注意】和全等一样，两边及其夹角。

4.相似三角形判定定理3

如果一个三角形三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述：三边对应成比

例，两个三角形相似。

【注意】在找到两边对应成比例时，一般找夹角，或者再找一边对应成比例。

知识点三：两个直角三角形相似的判定定理

如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这

两个直角三角形相似。简述：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

【注意】（1）当题目中出现直角三角形时，除了想到前面的方法外，还要多联系本方法

（2）该定理不具一般性，仅适用于直角三角形，一般三角形是不适用的。

例：1.如图，正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当4ADP与4PCQ相似时,

求BQ的值.

2如图，在AABC中,AB=BC,AD_LBC于BDELAC于E,M是DE的中点,BE、AM交于N.

DEAD

(1)求证：---=----;(2)求证：△BCEs^ADM.

CEDC

3.如图,D是AABC内一点,E是UABC外一点，ZEBC=ZDBA,ZECB=ZDAB.

求证：ZBDE=ZBAC

4.已知如图，在AABC中,AB>AC,在边AB上取点D,在AC上取点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于

点P,求证：生=BD

CPCE

24.5相似三角形的性质

知识点一：相似三角形的对应边、对应角的关系

相似三角形的对应边成比例、对应角相等。

【注意】相似三角形的对应边成比例是证明比例线段的最重要的方法之一，把这一性质与比例的基本性

质相结合可以在已知三条线段的情况下，求出第四条线段的长度，因此这一性质也是求线段长的重要方

法；而相似三角形的对应角相等则是继“平行线的性质”、“全等三角形对应角相等”以及“等边对等角

之后又一种证明两角相等的重要方法，同时也可求有关角的度数。

例：如图，已知在等边4ABC的边BC、AC上分别有点M、N,已知/AMN

=60°,AABC的边长为10cm,且BM=4cm,求CN的长。

知识点二：相似三角形性质定理1

相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似三角形的相似比。

例：如图，已知在AABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC,且

长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2,若BC=30cm,AD=10Cm,

求矩形EFGH的面积。

例：如图，在ZkABC中，AB=3,AC=2,D是边AB上的一点，

Ap

ZACD=ZB,NBA。平分线AQ与CD、BC分别相交于点P和点Q，求而

的值。

知识点三：相似三角形性质定理2

相似三角形周长的比等于相似比。

【注意】利用这一性质可在已知两个相似三角形相似比和其中一个三角形的周长的情况下求另一个三角

形的周长。同时可得到：相似三角形对应高的比=对应中线的比=对应角平分线的比=周长的比=相似

比，

知识点四：相似三角形性质定理3

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

例：如图，已知AABC中，DE〃FG〃BC,且AD=DF=FB,那么AABC被分成的三部分面积之比

Sx:S2:S3—()

(A)1：1：1(B)1：2：3(C)1：3：5(D)1：4：9

如图所示，在AABC中，DE〃AB〃FG,且FG到DE、AB的距离之比为1：2,

若AABC的面积为32,4CDE的面积为2,则4CFG的面积=.

G

'B

AFAE

1.在AABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF〃BE,——=——

FECE

(1)求证：DE〃BC；

Ap2

(2)如果---=—,S^=2,求3BC的值。

j—,-w—tcLXrD\LJFrLAXAnDL

rn3

2.如图，在AABC中，点。在边3c上，ZCAD=ZB,点E在边AB上，联结CE交AD于点H,

点尸在CE上，且满足CF-CE=CD-3C.

(1)求证：AACFSA£C4；

qcn

(2)当CE平分NACB时，求证：^^=—

SACAEBC

3.如图，在△ABC中，点。为边BC上一点，S.AD=AB,AE±BC,垂足为点E.过点。作。尸〃AB,

交边AC于点E联结EREF-=-BDEC.

2

(1)求证：AEDFsLEFC；

(2)如果53=上，求证：AB=BD.

SVADC4

（第3题图）

4、已知：如图，在△ABC中，DEIIBC,AD2=AEAC

求证：(1)ABCDs^CDE

CD2AD

⑵

BC-AB

B

5.已知：如图，E是的对角线AC上一点，射线BE与交于点F与CD的延长线交于点G.

(1)求证：3E1是E可口EG的比例中项;

(2)若4尸:尸。=3:2,求的值.

SAGBC

6、已知：如图，在△ABC中，平分NABC,点石为BD延长线上一点，且一=——

BCBD

(1)求证：AE=AD；

(2)若点尸为线段BD上一点，CF=CD,BF=2,BE=6,△跳C的面积为3,

求△ABD的面积.

C

7、已知：如图，在中，AB=AC,M是边3C的中点，ZDME=ZB,ME＞与射线54

相交于点。，ME与边AC相交于点E.

BDCM

(1)求证:

DM~EM

(2)如果求