右玉某中学高二（上）期末数学试卷（理科）

右玉一中高二（上）期末数学试卷（理科）

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共9题，共45分）

x2y2

1、点P是双曲线小川-（a>0,b>0）左支上的一点，其右焦点为F（c,0）,若M为线段FP的中点,

1

且M到坐标原点的距离为铲，则双曲线的离心率e范围是（）

A.（1,8]

B.（琦

c焉）

D.（2,3]

【考点】

【答案】B

x2y2

-------=]

【解析】解：设双曲线的左焦点为F1,因为点P是双曲线。二反（a>0,b>0）左支上的一点，其

1

右焦点为F（c,0）,若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为.，

1

由三角形中位线定理可知：OM=2PF1,PF1=PF-2a,PFNa+c.

14

所以彳+2a-a+C,1<6-3.

故选B.

It——

2、空间四边形OABC中，OB=OC,ZA0B=ZA0C=3,则COS<°4,的值是（）

1

A.2

泰

B.T

c.-

D.0

【考点】

【答案】D

TT——711

【解析】解：,；OB=OC,.OA.BC-.（0C_OB'）-.=1I-I|cos3-||•||cos=2||•（||-||）=0,

■,cosV^,>=0,

故选：D.

3、已知P（x,y）是直线kx+y+4=0（k>0）上一动点，PA是圆C：x2+y2-2y=0的一条切线，A是切点,

若PA长度最小值为2,则k的值为（）

A.3

B.2

C.2d2

【考点】

【答案】D

【解析】解：圆C：x2+y2-2y=0的圆心（0,1）,半径是r=1,YPA是圆C：x2+y2-2y=0的一条切线,

A是切点，PA长度最小值为2,

••・圆心到直线的距离PC最小，最小值为:口，

|1+4|

••・由点到直线的距离公式可得,RF

-,-k>0,/.k=2

故选：D.

（单位:cm）

4、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（

A.48+1

B.48+24

C.36+12

D.36+24

【考点】

【答案】A

【解析】解：此几何体为一个三棱锥，其底面是边长为6的等腰直角三角形，顶点在底面的投影是斜边的

1

中点由底面是边长为6的等腰直角三角形知其底面积是7*6X

又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3,棱锥高为4,

所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是4,底面边长为61R,其余两个侧面的斜高为，3-+4-=5

1

—*

故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积为24X6=12,

另两个侧面三角形的面积都是20'=15

故此几何体的全面积是18+2X15+12=48+12

故选A【考点精析】利用由三视图求面积、体积对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求体积的关

键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积.

5、下列各小题中，p是q的充分不必要条件的是()①p：m<-2或m>6,q：y=x2+mx+m+3有两个零

点;

p——

②乙/(x)—q：y=f(x)是偶函数；

③p：cosa=cosP,q：tana=tan3；

@p：ACB=A,q：(CUB)C(]UA)

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

【考点】

【答案】A

【解析】解：①p：mV-2或m>6,q：y=x2+mx+m+3有两个零点，贝IJ2\=m2-4(m+3)》0,解得m26或mW

-2,，p是q的充分不必要条件；

②由pnq,反之不成立，由于可能f(x)=0,，p是q的充分不必要条件；

n

③p：cosa=cosB,则a=2kn±3(kGZ),但是tana=tanB不一定成立，例如a=时；反之：

若tana=tan。,则a=kn+P,则cosa=cosB不一定成立，例如取k=2n-1时(nGZ),因此不满足p

是q的充分不必要条件；

④p：APIB=A,则AUB,则([UB)£([UA),即p=>q,反之也成立.，pu>q.

综上可得：P是q的充分不必要条件的是①②.

故选:A.

6、“经过两条相交直线有且只有一个平面”是()

A.全称命题

B.特称命题

C.pVq的形式

D.pAq的形式

【考点】

【答案】A

【解析】解：“经过两条相交直线有且只有一个平面”可化为：“任意经过两条相交直线，都有且只有一

个平面”，为全称命题，故选：A【考点精析】利用全称命题和空间中直线与直线之间的位置关系对题目

进行判断即可得到答案，需要熟知全称命题P：VjeM,PG）,它的否定力：3xeM,力6）；全称命

题的否定是特称命题；相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共

点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

7、一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题P是“甲同学解出试题”，命题q是“乙同学解出试

题”，则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为（）

A.Lp）VLq）

B.pVLq）

C.Lp）ALq）

D.pVq

【考点】

【答案】A

【解析】解：由于命题“至少有一位同学没有解出试题”指的是：“甲同学没有解出试题”或“乙同学没

有解出试题”，

故此命题可以表示为「pV「q

故选：A.

【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识，掌握“或”、“且”、“非”

的真值判断：“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,

其他情况时为假；“P或q”形式复合命题当P与q同为假时为假，其他情况时为真.

tx2y2

8、椭圆不,7=1与双曲线工彳=1有相同的焦点，则实数a的值是（）

1

A.2

B.1或-2

C.1或

D.1

【考点】

【答案】D

弓+x2y2

【解析】解：:.椭圆至’葭=1与双曲线片H=i有相同的焦点，,它们的焦点在x轴上，

且6-a2=a+4（a>0）,

解得a-1,

故选D.

9\已知命题p：3xR,x-2>Igx,命题q：Vx£R,x2>0,则（）

A.命题pVq是假命题

B.命题pAq是真命题

C.命题pA'q）是真命题

D.命题pV（「q）是假命题

【考点】

【答案】C

【解析】解：由于x=10时，x-2=8,lgx=lg10=1,故命题p为真命题，令x=0,则x2=0,故命题q为假

命题，

依据复合命题真假性的判断法则，

得到命题pVq是真命题，命题p/\q是假命题，［q是真命题，

进而得到命题pA(rq)是真命题，命题pV(「q)是真命题.

所以答案是C.

【考点精析】利用复合命题的真假和全称命题对题目进行判断即可得到答案，需要熟知“或”、

“且”、“非”的真值判断：“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P

与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真;

全称命题P：{{41所以答案是：12.

C(1,-1,5),则以AB,AC为边的平行四边形的面

积是______

【考点】

【答案】7'昼

【解析】解：(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),：.AB=(-2,-1,3),AC=(1,

-3,2),||二呵||=

(-2-1,3)•(1,-3,2)1

.,.cosZBAC=啊x/=2,

ZBAC=60°—(4分)

.,.S=Xsin60o

所以答案是：

y

12、若实数x、y满足(x-2)2+y2=3,则反的最大值为.

【考点】

【答案】:‘3

y

【解析】解：7=口，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值即为过原点的直线与圆相切

时该直线的斜率.

12kl

设=卜，则kx-y=O.由z=,得k=±,

故()max=,()min=-.

所以答案是：

【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线的斜率的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条

直线的倾斜角a(a/90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tana.

13、已知p：-x2+7x+820,q：x2-2x+1-4m2W0.若il-'p"是il-'q"的充分不必要条件，则实数m的

取值范围为.

【考点】

【答案】[-1,U

【解析】解：根据题意，对于p：-x2+7x+820u>-1WxW8,贝I]-'p：xV-1或x>8；

q：x2-2x+1-4m2W0o1-2|m|WxW1+2|m|,

则一1q：xV1-21ml或x>1+2|m|；

若“「p”是“「q”的充分不必要条件，

必有{x|x<-1或x>8}4{x|xV1-21ml或x>1+2|m|},

l-2|?n|>-1

即(1+2|rn|<8,(等号不同时成立)

解可得-1WmW1；

所以答案是：[-1,1].

三、解答题(共5题，共25分)

14、已知椭圆C：。二(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为彳.以原点为圆心,

椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+42=0相切.

(1)求椭圆C的方程;

(2)如图，若斜率为k(k手0)的直线I与x轴、椭圆C顺次相交于A,M,N(A点在椭圆右顶点的右

侧)，且NNF2F仁NMF2A.求证直线I恒过定点，并求出斜率k的取值范围.

【考点】

【答案】

x2y2

一十七

(1)解：由椭圆c：Q?^=1(a>b>0)可知焦点在X轴上,

c£

离心率e=«=2,

c2a2-b2i

.".e2=o2==2,即a2=2b2.

.•・以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+\'2=0相切,

，原点到直线X-y+=0的距离为b,

喧+«平

b二次+/二力+1=1,

/.b2=1,a2=2,

x2

二・椭圆方程为？+y2=1

(2)解：由题意，设直线I的方程为y=kx+m(k^O),M(x1,y1),N(x2,y2).

y=kx+m

年+y2=i

由2”,整理得：(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.

由4=16卜2|112-4(2k2+1)(2m2-2)>0,得m2<2k2+1,

4km2m2—2

2

由韦达定理可知：X1+X2=-2N+1,xix2=2k+1.

-,-ZNF2F1=ZMF2A,且NMF2A去90°,^MF2+^JVF2=0.

又F2(1,0),

yxy2kxi+mkx2+m

则4-1+盯一1=0,即+X2-1=0,

化简得：2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0.

将x1+x2=-,x1x2=,代入上式,求得m=-2k,

，直线I的方程为y=kx-2k=k(x-2),

，直线过定点(2,0).

将m=-2k代入m2V2k2+1,

得4k2V2k2+1,即k2<,

又于0,

・・•直线I的斜率k的取值范围是(-,0)U(0,)

【解析】(1)由题意可知：椭圆焦点在x轴上，离心率e==,求得a2=2b2.由原点到直线x-y+=0的距

离为b,即b===1,即可求得2=2,即可求得椭圆的标准方程；(2)设直线I的方程为丫=1«<+巾(k羊0),

代入椭圆方程，由△>(),求得m2V2k2+1,由韦达定理可知：x1+x2=-,x1x2=,ZNF2F1=ZMF2A,且

NMF2A去90°,+=0,由直线的斜率公式，求得2kxix2+(m-k)(x1+x2)-2m=0.即可求得m=-2k,代

入直线方程求得y=kx-2k=k(x-2),则直线过定点(2,0),由m2V2k2+1,即可求得斜率k的取值范

围.

1

15、已知经过点A(-4,0)的动直线I与抛物线G：x2=2py(p>0)相交于B、0,当直线I的斜率是加寸,

一一

Ar=-1AR

4.(I)求抛物线G的方程；

(II)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.

【考点】

1

【答案】解：(I)直线I的斜率是5时，直线BC的方程为：x=2y-4,设B(x1,y1),C(x2,y2),

d=2w

x=2y-4j整理得：2y2-(8+p)y+8=0,

8+p

由韦达定理可知：y1+y2=2,yi.y2=4,

AC=-AB

由4,则y1=4y2,

由p>0,解得：y1=1,y2=4,

P-2,

・•・抛物线G：x2=4y；

(II)设I：y=k(x+4),BC中点坐标为(xO,yO)

f=4y

由」=左(工+4),整理得：x2-4kx-16k=0,

一+“

由韦达定理可知:x1+x2=2k,则x0=2=2k,则yO=k(x0+4)=2k2+4k,

1

；.BC的中垂线方程为y-(2k2+4k)=-k(x-2k),

；.BC的中垂线在y轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2（k+1）2,

对于方程由△=16k2+64k>0,解得：k>0或kV-4.

.\b的取值范围（2,+8）

【解析】（1）设出B,C的坐标，利用点斜式求得直线I的方程，与抛物线方程联立消去x,利用韦达定理

一1一

Ar=-AR

表示出x1+x2和x1x2，由,4根据求得y2=4y1,最后联立方程求得y1,y2和p,则抛物

线的方程可得.（2）设直线I的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，

利用韦达定理表示出x1+x2,进而求得xO,利用直线方程求得yO,进而可表示出AB的中垂线的方程,

求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围.

16、在四棱锥P-ABCD中，ABJLAD,CD±AD,PA_L平面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.（I）求

证：BM〃平面PAD；

（II）平面PAD内是否存在一点N,使MNJ■平面PBD?若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理

由.

【考点】

1

I—

【答案】证明：(I)如图，取PD中点E,连接EM、AE,.,.EM=2CD,而ABCD,

••・四边形ABME是平行四边形，」.BMaAE

,；AEu平面ADP,BMC平面ADP,

；.BM〃平面PAD.

(II)解：：PA_L平面ABCD,

.-.PA±AB,而AB_LAD,PACAD=A,

，AB_L平面PAD,.'.AB±PD；PA=AD,E是PD的中点，

.,,PD±AE,ABAAE=A,r.PDJ_平面ABME

作MN_LBE,交AE于点N,则MN_L平面PBD由题意知△BMES/\MEN,而BM=AE='Q,EM=CD=1,

EVEMEA/21@

由EM-BM,得EN=EM==2,

■■.AN=,即点N为AE的中点.

【解析】(I)取PD中点E,连接EM、AE,由已知得四边形ABME是平行四边形，由此能证明BM〃平面PAD.(II)

由已知PA_LAB,AB±AD,从而AB_L平面PAD,进而AB_LPD,由此得到PD_L平面ABME,作MN_LBE,交AE于

点N,则MNL平面PBD,从而求出点N为AE的中点.

【考点精析】掌握直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的性质是解答本题的根本，需要知道平面

外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；