人教版八年级数学上册整式乘法与因式分解章末重难点题型试卷

专题09整式乘法与因式分解章末重难点题型【举一反三】

【人教版】

考点6分解因式考点1勒士运算

考点7利用因式分解求值考点2因式分解的概念

考点8利用乘法公式求值考点3幕的混合运算

考点9因式分解探究题考点4寨的逆向运算

考点10乘法治溷究题考点5整式化简求值

续册诉】

【考点1幕的基本运算】

【方法点拨】同底数幕的乘法法则:优'・优=优'+"（"2,"都是正整数）

同底数基相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

暴的乘方法则：=V"（八"都是正整数）

幕的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方法则：（aby=anbn（〃是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

同底数幕的除法法则：（4H0,加，〃都是正整数，且加＞〃）

同底数幕相除，底数不变，指数相减。

【例1】（2019•黔东南州期中）下列运算正确的是（）

A.j?+x3=jt5B.（-2a2）3=-8a6

C.7•x3=x6D.x6-?%2=^3

【变式1-1］（2019•蜀山区期中）下列运算中，正确的是（）

A.3X3,2X2=6X6B.（-/y）2=x4y

C.(2?)3=6*6D.金+1^=2?

2

【变式1-2](2019•淄博期中)下列运算正确的是()

A.a2*a3=a6B.(-a2)3=-a5

C.(”W0)D.(-be)44-(-be)2--廿c2

【变式1-3](2019春•成安县期中)下列运算正确的是()

A.(-2ab)-(-3ab)3=-54a4b4

B.5，・(3/)2=15”

C.(-0.16)・(-10贬)3=-p

D.(2X10")(Lx10")=1()2"

2

【考点2因式分解的概念】

【方法点拨】因式分解：

(1)把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.

(2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.

(3)分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止

【例2】(2019春•莘县期末)下列从左到右的变形，是因式分解的是()

A.(3-x)(3+x)=9-X2

B.(y+1)(y-3)=(3-y)(y+1)

C.4yz-2y^z+z=2y(2z-zy)+z

D.-8?+8x-2=-2(2x-1)2

【变式2-1](2019春•邢台期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.a(x-y)—ax-ayB..r3-x—x(x+1)(x-1)

C.(x+l)(x+3)=f+4x+3D.+2x+l—x(x+2)+1

【变式2-2](2019秋•西城区校级期中)下列各式从左到右的变形属于分解因式的是()

A.(67+1)(tz-1)=a2-1

B.，-4=(x+2)(x-2)

C.，-4+3x=(x+2)(x-2)+3x

D.x2-1=x(A--i-)

【变式2-3】(2019春•瑶海区期末)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是()

A.-^―-1=(A+l)(A.-1)B.(a+b)2=cP,+2ab+b2

x2XX

C.J?-x-2=(x+1)(x-2)D.ax-ay-a=a(x-y)-1

【考点3塞的混合运算】

【方法点拨】掌握基的基本运算公式是解题的关键.

【例3】(2019春•铜山区期中)计算：

(1)(y2)3-?y6.y

(2)/+(y2)44-/-(-j2)2

【变式3-1](2019春•海陵区校级月考)计算

(1)丁・金-⑵,)2+3。+).

(2)(-2/)3+(-3?)2+(?)2«?

【变式3-2】(2019秋•资中县月考)计算：

(1)(m4)2+m5*mi+(-m')4'm4

(2)X6-?X3,X2+JC3,(-x)

【变式3-3](2019春•海陵区校级月考)计算

(1)(-1)20|9+(TT-3.14)(工)7.

3

(2)(-2?y)3-(-2?y)2+6%63,3+2%6^

【考点4幕的逆向运算】

【例4】(2019春•茂名期中)已知：产=4,Z=8.

(1)求的值；

(2)求产+"的值;

(3)求产"⑵的值.

【变式4-1](2019春•天宁区校级期中)根据已知求值：

(1)已知储"=2,/=5,求a'""的值；

(2)已知32X9'"义27=321,求“？的值.

【变式4-2](2019春•丹阳市期中)已知10'=。，5、=6,求：

(1)50r的值；

(2)2*的值；

(3)20r的值.(结果用含a、匕的代数式表示)

【变式4-3](2019春•盐都区月考)基本事实：若/'=/(a>0,且“W1,小〃都是正整数)，则机=%试

利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！

①如果2X8"X16'=222,求x的值；

②如果2计2+2"1=24,求x的值.

【考点5整式化简求值】

[例5](2018春•高新区校级期中)先化简，再求值：[(2x+y)2+(2r+y)(y-2x)-6y]+2y,其中x=

【变式5-1](2018秋•南召县期末)先化简，再求值：当|x-2|+(y+1)2=0时，求[(3x+2y)(3x-2y)+

(2y+x)(2y-3x)]+4x的值.

【变式5-2](2019春•成都校级月考)已知将(/+3+3)(7-2x-机)乘开的结果不含小和/项.

(1)求机、n的值；

(2)当TH、〃取第(1)小题的值时，求(m-n)(n^+mn+n2)的值.

【变式5-3](2019春•青羊区校级期中)若(x2+mx,)(x2-3x+n)的积中不含*与/项.

3

(1)求加、n的值；

(2)求代数式(-2〃?2〃)2+(3/77«)'+»?20|7«2018.

【考点6分解因式】

【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不

能再分为止！不能分解的不要死搬硬套.

【例6】(2019秋•惠民县期末)分解因式：

(1)(3%-2)2-(2x+7)2

(2)Sab-8/?2-2a2.

【变式6-1](2019春•娄底期中)因式分解：

(1)2x(,a-b)+3yCb-a)

(2)x(x2-xy)-(4A2-4xy)

【变式6-2](2018春•临清市期末)因式分解,

(1)3X2J-18^2+27y3

(2)/(x-2)+(2-x)

【变式6-3](2019秋•和平区期末)分解因式：

(1)I-/-%2-2ab；

（2）9a2（x-y）+4层（y-x）.

【考点7利用因式分解求值】

【例7】已知M+y2-4x+10y+26=0,求6x-Ly的值.

5

【变式7-1](2019秋•崇明县期中)已知x+y=4,/+y=14,求/y-2/丫2+孙3的值.

【变式7-2](2019秋•西城区校级期中)已知小2=〃+2①,加+2②,其中加工".求加3-2帆”+〃3的值.

【变式7-3]利用分解因式求值.

(1)已知：x+y=l,Xy=—i-,利用因式分解求：x(x+y)(x-y)-x(x+y))的值.

(2)已知a+Z?=2,ab—2,求•^•a3b+a2b24-^ab?的值.

【考点8利用乘法公式求值】

1例8](2019春•新津县校级月考)已知加-”=3,加〃=2,求：

(1)(ffi+n)2的值；

(2)m2-5/nn+n2的值.

【变式8-1](2019春•杭州期末)已知a-6=7,ab=-12.

(1)求的，-他2的值；

(2)求屋+廿的值；

(3)求a+b的值.

【变式8-2](2019春•邵东县期中)已知有理数〃z,〃满足(〃?+")2=9,("?-〃)2=1,求下列各式的值.

(1)mn；

(2)A?72+H2-mn.

【变式8-3](2019春•杭州期中)已知Ca+b)2=5,(a-b)2=3,求下列式子的值:

(1)2+1人

(2)6ab.

【考点9因式分解探究题】

【例9】(2018秋•江汉区校级月考)阅读材料：若加2-2加+2〃2-8/16=0,求根，〃的值.

解：V/n2-2znn+2n2-8n+16=0,(nz2-2/n/?+n2)+(n2-8z?+16)=0.

2222

/.(，〃-〃)+(/?-4)2=0,(fn-n)22o,(〃-4)^0,/.Cm-n)=0,(〃-4)=0,，〃=4,

m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)己知：^+2xy+2y1+2y+1=0,求2x+y的值；

(2)已知：ZiABC的三边长°,b,c都是正整数，且满足：/+启-[2a-163+100=0,求△ABC的最

大边C的值；

(3)已知：a-5h+2c=20,4^+8c2+20c+125=0,直接写出a的值.

【变式9-1](2017春•靖江市校级期中)在理解例题的基础上，完成下列两个问题：

例题:若nr+2mn+2n2-6n+9=0.求m和n的值.

解：因为m2+2〃?〃+2〃2-6”+9=("尸+2〃7〃+〃2)+(»2-6n+9)=(m+n)2+(w-3)2=0

所以”?+〃=0,3=0即机=-3.〃=3

问题：

(1)若/+2xy+2y2-4.V+4=0,求孙的值.

(2)若a、b、c是△ABC的长，满足“2+房=1()4+%-41,c是AABC中最长边的边长，且c为偶数，

那么。可能是哪几个数？

【变式9-2](2019春•上虞区期末)阅读下列材料，然后解答问题：

问题：分解因式：?+3?-4.

解答：把x=l代入多项式/+3』-4,发现此多项式的值为0,由此确定多项式f+3/-4中有因式(x

-1),于是可设/+3)-4=(厂l)(f+n;x+〃),分别求出胆,〃的值，再代入f+3--4=(犬-1)(7+〃优+〃)，

就容易分解多项式丁+37-4.这种分解因式的方法叫“试根法”.

(1)求上述式子中机,"的值；

(2)请你用“试根法”分解因式：?+?-16x-16.

【变式9-3](2018秋•雨花区校级月考)教科书中这样写道：“我们把多项式。2+2帅+/及J-2必+M叫做

完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出

现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决

问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题

或求代数式最大值，最小值等.

例如：分解因式7+2x-3=(7+2x+l)-4=(x+1)2-4—(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；例

如求代数式2f+4x-6的最小值.浮+氧-6=2(/+2x-3)=2(x+1)2-8.可知当x=-1时，2*+4x

-6有最小值，最小值是-8,根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)分解因式：m2-4m-5=.

(2)当a,一为何值时,多项式2a2+3启-4。+12b+18有最小值,并求出这个最小值.

(3)当a,。为何值时，多项式廿-4浦+5房-44+46+27有最小值，并求出这个最小值.

【考点10乘法公式探究题】

【例10】(2019春•东台市期中)如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块

小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）.

（2）观察图2请你写出（“+%）2、（«-/,）2、必之间的等量关系是；

（3）根据（2）中的结论，若x+y=5,,则x-y=；

4

（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图3,你有什么发现？—.

【变式10-1］（2019春•牟定县校级期末）图（1）是一个长为2根、宽为2〃的长方形，沿图中虚线用剪刀均

分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形.

（1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长等于多少？

（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积.

方法一：;方法二：:

（3）观察图（2）,你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

代数式：Cm+n），（w-n）4mn.；

（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+6=7,ab—5,求（a-b）2的值.

【变式10-2】（2018春•怀远县期末）如图1所示，边长为“的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图

2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形.

（1）设如图1中阴影部分面积为5i,如图2中阴影部分面积为S2,请直接用含mb的代数式表示51,

S2；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；

（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

【变式10-3】（2019春•槐荫区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，4种纸片是边

长为a的正方形，B种纸片是边长为匕的正方形，C种纸片是长为人宽为6的长方形.用A种纸片-

-张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形.

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；

方法1;方法2.

（2）观察图2,请你直接写出下列三个代数式：（a+6）2,“2+/，油之间的等量关系；

（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（“+b）（”+23）=/+3而+2廿，请你将该示意

图画在答题卡上；

（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b=5,a2+/?2=ll,求出?的值；

②已知（x-2018）2+（%-2020）2=34,求（%-2019）2的值.

图1图2

专题09整式乘法与因式分解章末重难点题型【举一反三】

【人教版】

《岂由母点II

工空刃分沂】

【考点1塞的基本运算】

【方法点拨】同底数'幕的乘法法则：〃"・优=优"+"（加，〃都是正整数）

同底数嘉相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

累的乘方法则：（加，〃都是正整数）

哥的乘方，底数不变，指数相乘。

枳的乘方法则：的=a"b"（〃是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

同底数界的除法法则：优"+。"=。"1"（。/0,加，〃都是正整数，且加》〃）

同底数基相除，底数不变，指数相减。

［例I］（2019•黔东南州期中）下列运算正确的是（）

A.B.（-2a2）3=_8a6

C.x^'^—x6D.

【分析】根据同类项的定义，幕的乘方以及积的乘方，同底数的基的乘法与除法法则即可作出判断.

【答案】解：人不是同类项，不能合并，故选项错误；

B、正确；

C.故选项错误；

。、X64-X2-X4,故选项错误.

故选:B.

【点睛】本题考查同底数塞的除法，合并同类项，同底数毒的乘法，塞的乘方很容易混淆，一定要记准

法则才能做题.

【变式1-1］（2019•蜀山区期中）下列运算中，正确的是（）

A.3X3*2X2=6X6B.（-2=x4y

364

C.（2x2）—6XD.X54-1-X—2X

2

【分析】根据整式的除法，塞的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即可.

【答案】解：A、3”2?=63故选项错误；

B、（-2=x4y2,故选项错误；

C、Ox2）3=8X6,故选项错误；

D、x5-?-l-x=2x4,故选项正确.

2

故选：D.

【点睛】此题主要考查了整式的除法，募的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式，解答此题的关键是

熟练掌握整式的除法法则：(1)单项式除以单项式，把系数，同底数褰分别相除后，作为商的因式；对

于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.(2)多项式除以单项式，先把这

个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.

【变式1-2](2019•淄博期中)下列运算正确的是()

A.a2*a3=a6B.(-a2)3=-a5

C.al0-j-«9=a(aWO)D.(-be)44-(-be)2--b^c2

【分析】根据同底数累的乘法、除法、积的乘方和暴的乘方进行计算即可.

【答案】解：A、/./=二,故4错误；

B、(-/)3=故8错误；

C、(aWO),故C正确；

Dy(-be)44-(-be)'Be1,故/)错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了同底数事的乘法、除法、积的乘方和幕的乘方，掌握运算法则是解题的关键.

【变式1-3](2019春•成安县期中)下列运算正确的是()

A.(-2ab>(-3ab)3=-54aV

B.5/・(3/)2=15”

C.(-0.16)«(-10Z>2)3=-b1

D.(2X10")(AxiOrt)=1()2"

x

【分析】A、原式先利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出

判断；

8、原式先利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；

C、原式先利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；

。、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断.

【答案】解：A、(-2ab>(-3ab)3=(-2ab)<-27a3Z>3)=54aV,本选项错误;

B、5/・(3/)2=5/・(9/)=45x8,本选项错误；

C、(-0.16)«(-1000//)=160心，本选项错误；

D、(2X10n)("yXlO")=102",本选项正确，

故选：D.

【点睛】此题考查了单项式乘单项式，以及枳的乘方与累的乘方，熟练掌握法则是解本题的关键.

【考点2因式分解的概念】

【方法点拨】因式分解：

(4)把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.

(5)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.

(6)分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止“

【例2】(2019春•莘县期末)下列从左到右的变形，是因式分解的是()

A.(3-x)(3+x)=9-7

B.(y+1)(y-3)=(.3-y)(y+1)

C.4yz-2yiz+z—2y(2z-zy)+z

D.-8f+8x-2=-2(2x-1)2

【分析】分别利用因式分解的定义分析得出答案.

【答案】解：4、(3-x)(3+x)=9-?,是整式的乘法运算，故此选项错误；

B、(y+1)(y-3)W(3-y)(y+1),不符合因式分解的定义，故此选项错误；

C、4yz-2y2z+z=2y(2z-zy)+z,不符合因式分解的定义，故此选项错误：

。、-8?+8.r-2=-2(2x-1)2,正确.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了因式分解的定义，正确把握定义是解题关键.

【变式2-1](2019春•邢台期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.a(x-y)=ax-ayB.A-3-x—x(x+1)(x-1)

C.(JC+1)(JC+3)=/+4x+3D.x^+2x+1=x(x+2)+1

【分析】根据因式分解的意义即可判断.

【答案】解：因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积，

故选：B.

【点睛】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型.

【变式2-2】(2019秋•西城区校级期中)下列各式从左到右的变形属于分解因式的是()

A.(a+1)(a-1)—a1-1

B.7-4=(x+2)(x-2)

C.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x

D.7-l=x(x-—)

X

【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式.因此，要确定从左到右的变形中是否为

分解因式，只需根据定义来确定.

【答案】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；

B、/-4=(x+2)(x-2),故8符合题意；

C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C不符合题意；

。、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故。不符合题意；

故选:B.

【点睛】本题考查了因式分解的意义.这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时

还要注意变形是否正确.

【变式2-3】(2019春•瑶海区期末)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是()

A.JL-1=(1+1)1)B.(a+6)2=/+2C2

322

C.x2-x-2—(x+1)(x-2)D.ax-ay-a=a(x-y)-1

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.

【答案】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；

B、是整式的乘法，故B错误;

C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；

。、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故。错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式.

【考点3塞的混合运算】

【方法点拨】掌握幕的基本运算公式是解题的关键.

【例3】(2019春•铜山区期中)计算：

(1)(y2)3+)6.丫

(2)/+(y2)44-/-(-C)2

【分析】(1)先根据幕的乘方法则化简，再根据同底数恭的乘除法法则计算即可；

(2)先根据曷的乘方与积的乘方法则化简，再根据同底数基的除法化简，然后合并同类项即可.

【答案】解：(1)(y2)3-i-y6*y=y6-^-y6,y=y；

(2)y4+(y2)4-i-y4-(-y2)2=y4+y8-?y4-y4=y4+y4-y4=y4.

【点睛】本题主要考查了事的运算以及整式的加减，熟练掌握幕的运算法则是解答本题的关键.

【变式3-1](2019春•海陵区校级月考)计算

(1)x3,%5-(2r4)2+%104-^.

(2)(-2?)3+(-3?)2+(?)

【分析】(1)根据同底数基的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；

(2)根据同底数暴的乘法、积的乘方的法则计算即可.

【答案】解：(I)原式=产-4?+/=-2x8

(2)原式=-816+9/+、6=25

【点睛】本题考查了同底数塞的乘法和除法、积的乘方，熟记法则是解题的关键.

【变式3-2](2019秋•资中县月考)计算：

(1)(w4)2+/n5,m3+(-w)4,m4

(2)x6-i-x3,x2+x?*(-x)2.

【分析】(1)直接利用幕的乘方运算法则以及同底数幕的乘法运算法则计算得出答案；

(2)直接利用同底数幕的乘法运算法则计算得出答案.

【答案】解：(I)原式=〃产+m8+根8

=3m8；

(2)原式=4-3+2+/.7

=2v5.

【点睛】此题主要考查了塞的乘方运算以及同底数基的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键.

【变式3-3】(2019春•海陵区校级月考)计算

(1)(-I)2019+(TT-3.14)0-脸)「I.

(2)(-2xIy)3-(-2?y)2+6xy+2x6y2

【分析】(1)直接利用负指数基的性质、零指数'幕的性质分别化简得出答案；

(2)直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则分别计算得出答案.

【答案】解：(1)原式=-1+1-3

=-3；

(2)原式=_8xy_4x6)2+6x6y3+2x6y2

=-2x6y3-2x6y2.

【点睛】此题主要考查了实数运算以及积的乘方运算，正确化简各式是解题关键.

【考点4基的逆向运算】

【例4】(2019春•茂名期中)已知：口=4,L=8.

(1)求，”的值；

(2)求/什”的值；

(3)求丁团⑵的值.

【分析】(1)直接利用事的乘方运算法则计算得出答案；

(2)直接利用同底数箱的乘法运算法则计算得出答案：

(3)直接利用累的乘方运算法则以及同底数鬲的除法运算法则计算得出答案.

【答案】解:(1)；”=4,/=8,

(Z1)』16；

(2)vyn=4,/=8,

，"+"=/、/=4X8=32：

(3)-4,父=8,

.•./，"-2"=(yn)3+(/)2

=43-?82

=1.

【点睛】此题主要考查了整式的乘除运算，正确将原式变形是解题关键.

【变式4-1](2019春•天宁区校级期中)根据已知求值：

(1)已知a、=2,-=5,求的值;

(2)已知32X9"$27=321,求m的值.

【分析】(1)根据同底数塞的乘法法则解答即可；

(2)根据某的乘方可得9'”=32q27=33,再根据同底数哥的乘法法则解答即可.

【答案】解：⑴'：am=2,an=5,

m+nmn

：.a=a>a=2X5=\0i

（2）V32X9H,X27=321.

即32X2raX33=321,

2+2,〃+3=21»

解得zn=8.

【点睛】本题主要考查了塞的乘方与积的乘方以及同底数幕的乘法，熟练掌握幕的运算法则是解答本题

的关键.

【变式4-2］（2019春•丹阳市期中）已知l，=a,5x=b,求：

（1）50V的值；

（2）2、的值；

（3）2（/的值.（结果用含a、b的代数式表示）

【分析】（1）根据积的乘方的法则计算；

（2）根据积的乘方（商的乘方）的法则计算；

（3）根据积的乘方的法则计算.

txx

【答案】解：（1）50=10X5=a*;

（2）2'=±=xy=-；=$；

【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是能够熟练的运用积的乘方的法则.

【变式4-3］（2019春•盐都区月考）基本事实：若（。＞0,且。#1,办〃都是正整数），则机=〃.试

利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！

①如果2X8"X16'=222,求x的值；

②如果2^2+2^1=24,求x的值.

【分析】①根据事的乘方和同底数幕的乘法法则把原式变形为21+7X=222,得出I+7X=22,求解即可；

②把2*+2+2+变形为2*Q2+2）,得出2'=4,求解即可.

【答案】解：（7）,.,2X8AX16A=2X23XX24x=21+3-^4x=21+7f=222,

；.l+7x=22,

.*.x=3；

(2)V2V+2+2%+I=24,

：.2X(22+2)=24,

；.2*=4,

***x=2.

【点睛】此题考查了基的乘方与积的乘方、同底数基的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.

【考点5整式化简求值】

[例5](2018春•高新区校级期中)先化简，再求值：[⑵+y)2+(2x+y)(y-2x)-6y]^2y,其中尸

-，y=3.

【分析】根据完全平方公式、平方差公式、多项式除单项式的法则把原式化简，代入计算即司二

【答案】解：[(2x+y)2+(2x+y)(y-2x)-6y]-?2y

=(4/+40+)2+)2-4/_6)，)+2y

=(4xy+2y2-6y)4~2y

=2x+y-3,

jEx=-,y=3代入得：原式=2X(-.)+3-3=-1.

【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键.

【变式5-1](2018秋•南召县期末)先化简，再求值：当,-2|+(y+1)2=0时，求[(3x+2y)(3x-2y)+

(2y+x)(2y-3x)]+4x的值.

【分析】根据k-2|+(y+1)2=。可以起的x、),的值，然后将题目中所求式子化简，再将x、)，的值代入

化简后的式子即可解答本题.

【答案】解：；|x-2|+(y+1)2=0,

>\x-2=0,y+\=0,

解得，x=2,y=-1,

•*.[(3x+2y)(3x-2y)+(2y+x)(2y-3x)]4-4x

=(97-4)2+4y2--3/)-r4x

=(6X2-4xy)+4x

=1.5x-y

=1.5X2-(-1)

=3+1

=4.

【点睛】本题考查整式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确整式化筒求值的方法，利用

非负数的性质解答.

【变式5-2](2019春•成都校级月考)己知将(，+〃x+3)(7-2x-M乘开的结果不含/和/项.

(1)求办n的值；

(2)当m、〃取第(1)小题的值时,求(〃?-〃)(in^+mn+n2)的值.

【分析】(1)原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据乘开的结果不含丁和，项，求出“与〃

的值即可；

(2)原式利用多项式乘以多项式法则计算，把山与〃的值代入计算即可求出值.

【答案】解：(1)原式=x"-2X3-/MA^+nx3-2nx2-mnx+ix1-6x-3ni=x4+(〃-2)x3+(3-m-2n)/+

(/H/?+6)x-3mf

由乘开的结果不含丁和小项，得至U"-2=0,3-m-2n=O,

解得：m=-1,n=2；

(2)当m=-1,n=2时，原式=»?+”?2〃+加”2--〃3=加3_“3=_1-8=-9.

【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【变式5-3](2019春•青羊区校级期中)若的积中不含x与小项.

(1)求/»、n的值；

(2)求代数式(-2,〃2〃)2+(3/777?)1+/?12<)17«2()18.

【分析】(1)原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含X和丁项，求出加与〃的值；

(2)原式利用哥的乘方与积的乘方，负整数指数基法则变形，将各自的值代入计算即可求出值.

【答案】解：(1)(，"-3)1+(-3/»+〃-')/+(〃7〃+1)x-n,

由积中不含X和十项，得到"7-3=0,皿7+1=0,

解得：加=3,〃=-口，

ptfaiw1

(2)原式=46%2++(加)2O1/.J?

=36.

【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，以及负整数指数暴，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【考点6分解因式】

【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不

能再分为止！不能分解的不要死搬硬套.

【例6】(2019秋•惠民县期末)分解因式：

(1)(3x-2)2-⑵+7)2

(2)Sab-Sb2-2a2.

【分析】(1)原式利用平方差公式分解即可；

(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【答案】解：(1)原式=[(3x-2)+(2x+7)1[(3x-2)-(2r+7)]

=(3x-2+2x+7)(3x-2-2x-7)

=(5x+5)(x-9)

=5(x+1)(x-9)；

(2)原式=-2(«2-4血4/)=-2(a-2b)2.

【点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

【变式6-1](2019春•娄底期中)因式分解：

(1)2x(a-h)+3yCh-a)

(2)x(W-肛)-(4X2-4xy)

【分析】(1)原式变形后，提取公因式即可得到结果；

(2)原式提取公因式即可得到结果.

【答案】解：(1)原式=2x(〃-。)-3y(a-h)=(〃-。)(2r-3y)；

(2)原式=7(x-y)-4x(x-y)=x(x-y)(x-4).

【点睛】此题考查了因式分解■提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.

【变式6-2](2018春•临清市期末)因式分解:

(1)3/)，-18^2+27/

(2)x2(x-2)+(2-x)

【分析】(1)直接提取公因式3y,进而运用完全平方公式分解因式得出答案；

(2)直接提取公因式(x-2),进而运用平方差公式分解因式得出答案.

【答案】解：(1)3?y18xv2+27y3

=3y(x2-6孙+9)2)

=3yCx-3y)2；

(2)x2(x-2)+(2-x)

=(x-2)(x2-1)

=(x-2)(jt+l)(x-1).

【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键.

【变式6-3](2019秋•和平区期末)分解因式:

(1)1--2ab；

(2)9a之(x-y)+4标(y-x).

【分析】(1)原式后三项提取-1,利用完全平方公式及平方差公式分解即可；

(2)原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

2

【答案】解：(1)原式=1-(a+b)=(1+a+b)(1-a-b);

(2)原式=9。2(x-y)-4tr(x-y)=(x-y)(9a2-4b1)=(x-y)(3a+2Z>)*(3a-2b).

【点睛】此题考查了因式分解-分组分解法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解

的方法是解本题的关键.

【考点7利用因式分解求值】

【例7】已知4f+/-4x+10y+26=0,求6x-y的值.

【分析】已知等式利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出

值.

【答案】解：：4x2+y2-4x+10.y+26=4(x-1)2+(>'+5)2=0,

3)尸-5,

则原式=3+1=4.

【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

【变式7-1](2019秋•崇明县期中)已知x+y=4,x2+y2=14,求%3y-Zx2/+孙3的值.

【分析】首先由x+y=4,得到(x+y)2=16,然后利用完全平方公式得到7+)?+与=16,而$+)2=14,

由此可以求出刈的值，再把/y-kV+xy3提取公因式xy,最后代入已知数据计算即可求解.

【答案】解：：x+y=4,

(x+y)2=16,

.,.x2+y^+2xy—16,

而x2+y2—l4,

••xy=1f

.\xiy-2的2+城

=xy(x2-2xy+y2)

=14-2

=12.

【点睛】此题主要考查了因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求

解.

【变式7-2](2019秋•西城区校级期中)已知加2=〃+2①，川二"+2②，其中m求“3-2加〃+〃3的值.

【分析】根据因式分解的方法即可求出答案.

【答案】解：①-②得：谭-n2=n-m

/.(m+n)(/〃-〃)=n-m,

.•・/〃+〃=-1

・,•原式="?(n?2-n)+〃(M-tn)

=2/77+277

=-2

【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型.

【变式7-3]利用分解因式求值.

||5I

(1)已知：x+y=1,I,利用因式分解求：x(x+y)(x-y)-x(x+y)之的值.

(2)已知〃+/?=2,ab=2,求的值.

【分析】(1)所求式子提取公因式x+y后变形，将x+y与孙的值代入计算即可求出值；

(2)所求式子提取公因式后，利用完全平方公式分解因式，将"人与时的值代入计算即可求出值.

【答案】解：(1)%(x+y)(x-y)-x(x+y)2=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=-2xy(x+y),

当x+y=l,xy=-□时，原式=-2X(-|^|)Xl=l；

(2)原式=口而(〃+。)，

当a+b=2,帅=2时，原式=j|x2X4=4.

【点睛】此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键.

【考点8利用乘法公式求值】

【例8】(2019春•新津县校级月考)已知m-〃=3,m九=2,求：

(1)(加+〃)2的值;

(2)m2-5mn+n2的值.

【分析】(1)根据完全平方公式得到(m+n)2=,“2+〃2+2,"“=(〃?-〃)2+4〃?”即可解题：

(2)根据完全平方公式得到-5"?〃+〃2=(〃?+")2-7,“〃即可解题.

【答案】解：，〃"=2,

(1)(m+n)2=m2+n2+2/nn=(m-n)2+4mn=9+8=17；

(2)m2-5zn〃+"2=(m+n)2-7mn=9-14=-5.

【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是正确运用(罐-〃)2="2+〃2-2m”.

【变式8-1](2019春•杭州期末)已知4-6=7,ab=-12.

(1)求crh-a区的值；

(2)求J+廿的值；

(3)求a+b的值.

【分析】(1)直接提取公因式岫，进而分解因式得出答案；

(2)直接利用完全平方公式进而求出答案；

(3)直接利用(2)中所求，结合完全平方公式求出答案.

【答案】解：(1)，：a-b=7,ab=-12,

：.a1b-ab1=ab(a-b)=-12X7=-84；

(2),：a-h=l,ah=-12,

(«-b)2=49,

'.c^+b2-2必=49,

.'.a2+b2=25；

(3),：a2+b2=25,

：.(a+b)2=25+2ab=25-24=l,

:.a+b=±1.

【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及提取公因式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键.

【变式8-2](2019春•邵东县期中)已知有理数〃?，〃满足(m+〃)2=9,(胆-〃)2=1,求下列各式的值.

(1)mn；

(2)川+M-nin.

【分析】(1)已知等式利用完全平方公式化简，相减即可求出〃?〃的值;

(2)已知等式利用完全平方公式化简，相加即可求出"P+J的值.

【答案】解:(m+")2=,"2+〃2+2,"〃=9①，(优-2=〃/+"2_2/"〃=[②，

(1)①-②得：4〃"1=8,

贝ijtnn=2；

(2)①+②得：2(//+/)=]o,

则nr+n2=5.

所以m2+n2-mn=5-2=3.

【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

[变式8-3](2019春•杭州期中)已知(。+〃)2=5,(a-b)2=3,求下列式子的值：

(1)a2+b2；

(2)6ab.

【分析】(I)直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出J+廿的值；

(2)直接利用(I)中所求，进而得出时的值，求出答案即可.

【答案】解：(1)(a+b)2=5,(a-b)2=3,

：.(^+2ab+b2-=5,a2-2ab+层=3,

：.2(d+庐)=8,

解得：a2+b2=4；

22

(2)V«+/?=4,

：.4+2ab=5,

解得:

•**6ab=3.

【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键.

【考点9因式分解探究题】

【例9】(2018秋•江汉区校级月考)阅读材料：若,炉-2"皿+2〃2-8〃+16=0,求相，〃的值.

解：m2-2nin+2n2-8n+16=0,/.(m2-2mn+n2)+(n2-8/1+16)=0.

(.in-n)2+(n-4)2=0,'/Cm-n)2^0,(n-4)2^0,/.(m-n)2=0,(n-4)2=0,；.”=4,

/M=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知：jc2+2xy+2y2+2y+l=0,求2x+y的值；

(2)已知：ZVLBC的三边长小b,c都是正整数，且满足：/+廿一］2a-168+100=0,求△ABC的最

大边c的值；

(3)已知：a-5ft+2c=20,4«fe+8c2+20c+125=0,直接写出“的值.

【分析】(1)把已知条件变形为(x+y)2+(>1)2=0,利用非负数性质得出x,y的值，即可求得2x+y

的值；

(2))先把(^+序-12a-166+100=0变形为(a-6)2+(6-8)2=0,得出。=6,匕=8,再根据组成三

角形的条件得出c的范围，然后根据c是正整数就可以确定aABC的最大边c的值；

(3)由a-5H2c=20,Wa=5b-2c+20,代入4M+8(?+200+125=0再配方求得〃，c的值，进而得出

〃的值.

【答案】解：(1),.•/+、+2y2+2)+1=0,

/.(/+2x_y+y2)+(y2+2)s-l)=0,

(x+y)2+(y+1)2=0,

，x+y=0,y+l=0,

/.x=Ly=-1,

：.2x+y=2-1=1,

即2x+y的值是1.

(2)VaW-\2a-16Z?+100=0,

A(a2-12a+36)+(层-16b+64)=0,

(a-6)2+(Z?-8)2=0,

・56=0,6-8=0,

，a=6,0=8,

V8-6<c<8+6,c28,c为正整数,

；.8WcV14,

.1△ABC的最大边c的值可能是8、9、10、11、12、13.

(3),：a-5b+2c=20,

.,.a=5h-2c+20,

：4"+8c2+20c+125=0,

A4(56-2c+20)ZH-8C2+20C+125=0,

.•.20序_8*c+80*+8c2+20e+125=0,

，⑵-2c)2+(4^+10)2+(2c+5)2=0,

."=12.5.

【点睛】(1)此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分

解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.

(2)此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和

大于第三边；任意两边之差小于第三边.

【变式9-1](2017春•靖江市校级期中)在理解例题的基础上，完成下列两个问题：

例题:若nr+2mn+2n2-6〃+9=0.求