人教版高中数学精讲精练必修二7.2 复数的四则运算（精讲）（解析版）

7.2复数的四则运算（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一复数的加减运算【例1】（2022·高一课时练习）已知为虚数单位，计算下列各式．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【一隅三反】1．（2022广东湛江）计算：(1)；(2)；（3）；（4）；（5）；（6）.（7）（8）【答案】(1)(2)（3）；（4）；（5）0；（6）8.（7）；（8）.【解析】(1)；(2)；（3）（4）（5）（6）=8（7）；（8）.考点二复数的乘除运算【例2-1】（2022·高一课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)4(2)(3)(4)【解析】（1）．（2）原式．（3）．（4）原式．【例2-2】（2022·高一课时练习）计算：(1)；(2)．（3）i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020＋2021i2021.【答案】(1)(2)（3）1010＋1011i【解析】（1）原式．原式（3）原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋…＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2021i＝1010＋1011i.【一隅三反】1．（2022·全国·高一假期作业）设，则_______.【答案】【解析】由题意化简，则，故答案为：2．（2023·高一课时练习）______．（其中i是虚数单位）【答案】【解析】.故答案为：3（2023·高一课时练习）计算．(1)；(2)．(3)；(4)；(5).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）解法1：原式．解法2：原式．（2）原式．（3）原式.（4）原式.（5），，，原式.考点三共轭复数【例3】（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知复数，则的共轭复数为___________.【答案】【解析】因为，所以，所以的共轭复数为.故答案为：【一隅三反】1．（2022·高一单元测试）已知为虚数单位，复数的共轭复数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，共轭复数为.故选：C.2．（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（

）．A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限．【答案】D【解析】，所以其共轭复数为，它在复平面所对应的点坐标为，位于第四象限.故选：D.3．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第四十中学校考阶段练习）已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的共轭复数为___________.【答案】【解析】由于，所以，所以.故答案为：考点四在复数内解方程【例4-1】（2022·全国·高一专题练习）已知是关于x的方程的根，则实数______.【答案】2【解析】因为是关于x的方程的根，所以也是方程的根，所以，得，故答案为：2【例4-2】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】因为方程有两个虚根和，所以，则，又由求根公式知两虚根为，，所以，则，解得，满足要求，所以.故选：C.【例4-3】（2022·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）由于，所以.（2）由于，所以.【一隅三反】1．（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）已知是关于x的方程的一个根，则该方程的另一个根为________．【答案】【解析】是关于的方程的一个根，设该方程的另一个根为，可得，解得.故答案为：．2．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）已知是实系数一元二次方程的两个虚数根，且满足方程．(1)求和．(2)写出一个以和为根的实系数一元二次方程．【答案】(1)，(2)（答案不唯一）【解析】(1)因为是实系数一元二次方程的两个虚数根，则互为共轭复数，设，，代入中，得，整理得，，解得，，；(2)；，以和为根的实系数一元二次方程可以为．3．（2022春·江西上饶·高一校联考期末）已知复数，其中i为虚数单位.(1)若z是纯虚数，求实数m的值；(2)若，z是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数的值.【答案】(1)；(2)【解析】(1)因为复数是纯虚数，所以解得：.(2)当时，.因为z是关于x的实系数方程的一个复数根，所以z的共轭复数也是实系数方程的根，所以，，解得：，，故.考点五复数的综合运用【例5-1】（2022春·山东临沂·高一统考期末）（多选）已知复数：满足，则（

）A． B．z的虚部为C．z的共轭复数为 D．z是方程的一个根【答案】AD【解析】因为，所以，对A：，故选项A正确；对B：z的虚部为，故选项B错误；对C：z的共轭复数为，故选项C错误；对D：因为方程的根为，所以z是方程的一个根，故选项D正确.故选：AD.【例5-2】（2022春·上海闵行·高一闵行中学校考阶段练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若是虚数，则都是虚数.A．①④ B．② C．②③ D．①②③【答案】C【解析】为复数，①若，因为没有大小（虚部为0，即为实数时除外），故是错误的，②若，设，则，由，得，所以，正确，③若，则，正确，④若是虚数，不一定都是虚数，比如，而是虚数，故错误，故②③正确，故选：C.【一隅三反】1．（2022春·广东广州·高一校联考期中）（多选）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（

）A． B．复数的虚部为C．若复数为纯虚数，则 D．若为复数，则为实数【答案】AD【解析】A：，故A正确；B：对于复数的虚部为-1，故B错误；C：由复数z为纯虚数，设()，则，所以，故C错误；D：设复数()，则，所以，故D正确.故选：AD2．（2022·高一单元测试）（多选）下列关于复数的命题中，正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【解析】对于A：因为，则，则，所以，故A正确；对于B：若，则，故B正确；对于C：令，，，由，所以，所以，则，同理可得，所以，故C正确；对于D：令，，则，但是、，所以，故D错误；故选：ABC3．（2023·高一课时练习）已知复平