4.3.1 对数的概念-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

4.3.1对数的概念【学习目标】课程标准学科素养1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).1、直观想象2、数学运算3、数学抽象【自主学习】1.对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是.2.常用对数与自然对数3.对数的基本性质(1)负数和零对数.(2)loga1＝(a>0，且a≠1).(3)logaa＝(a>0，且a≠1).【小试牛刀】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)logaN是loga与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()2．把指数式ab＝N化为对数式是()A．logba＝NB．logaN＝bC．logNb＝aD．logNa＝b3.若log3eq\f(2x－3,3)＝1，则x＝________；若log3(2x－1)＝0，则x＝________.【经典例题】题型一指数式与对数式的互化指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.例1根据对数定义，将下列指数式写成对数式：①3x＝eq\f(1,27)；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝64；③log16eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)；④ln10＝x.[跟踪训练]1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)43＝64；(2)lna＝b；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)＝n；(4)lg1000＝3.题型二利用指数式与对数式的互化求变量的值方法:①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.②利用幂的运算性质和指数的性质计算.例2利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.(1)log2x＝－eq\f(1,2)；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2.[跟踪训练]2(1)求下列各式的值.①log981＝________.②log0.41＝________.③lne2＝________.(2)求下列各式中x的值.①log64x＝－eq\f(2,3)；②logx8＝6；③lg100＝x；④－lne2＝x.题型三对数基本性质的应用利用对数性质求值的方法：(1)性质loga1＝0logaa＝1(a>0，且a≠1).(2)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．例3求下列式子值。(1)2log23＋2log31－3log77＋3ln1＝________.(2)9＝________；[跟踪训练]3化简求值(1)71－log75；(2)100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lg9－lg2))；(3)alogab·logbc(a，b为不等于1的正数，c>0).例4求下列各式中的x的值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；[跟踪训练]4求下列各式中的x的值．(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.【当堂达标】1．对于下列说法：(1)零和负数没有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以10为底的对数叫做自然对数；(4)以e为底的对数叫做常用对数．其中错误说法的个数为()A．1B．2C．3D．42．将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝9写成对数式，正确的是()A．log9eq\f(1,3)＝－2B．log9＝－2C．log(－2)＝9D．log9(－2)＝eq\f(1,3)3.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为()A.a>eq\f(1,2)且a≠1 B.0<a<eq\f(1,2)C.a>0且a≠1 D.a<eq\f(1,2)4．3－27－lg0.01＋lne3等于()A．14B．0C．1D．65.方程lg(2x－3)＝1的解为________.6.在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________；7.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.(1)2－3＝eq\f(1,8)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq\s\up12(a)＝b；(3)lgeq\f(1,1000)＝－3；(4)ln10＝x.8.计算下列各式：(1)2lne＋lg1＋3log32；(2)3log34－lg10＋2ln1.【参考答案】【自主学习】a>0，且a≠1没有01【小试牛刀】1.(1)×(2)×(3)√2.B解析：根据对数定义知ab＝N⇔logaN＝b.3.61解析若log3eq\f(2x－3,3)＝1，则eq\f(2x－3,3)＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1.【经典例题】例1解析(1)①log3eq\f(1,27)＝x；②log64＝x；③16＝eq\f(1,2)；④ex＝10.[跟踪训练]1解(1)因为43＝64，所以log464＝3；(2)因为lna＝b，所以eb＝a；(3)因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)＝n，所以logeq\f(1,2)n＝m；(4)因为lg1000＝3，所以103＝1000.例2解(1)由log2x＝－eq\f(1,2)，得2－eq\f(1,2)＝x，∴x＝eq\f(\r(2),2).(2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5.[跟踪训练]2(1)①2②0③2解析①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设lne2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即lne2＝2.(2)解①由log64x＝－eq\f(2,3)得x＝64－eq\f(2,3)＝43×(－eq\f(2,3))＝4－2＝eq\f(1,16)；②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8eq\f(1,6)＝23×eq\f(1,6)＝eq\r(2)；③由lg100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；④由－lne2＝x，得lne2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2.例3(1)0解析原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.(2)4解析9＝(9)＝3＝4.[跟踪训练]3解(1)原式＝7×7－log75＝eq\f(7,7log75)＝eq\f(7,5).(2)原式＝100eq\f(1,2)lg9×100－lg2＝10lg9×eq\f(1,100lg2)＝9×eq\f(1,102lg2)＝9×eq\f(1,10lg4)＝eq\f(9,4).(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.例4解析(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.[跟踪训练]4解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0得log7(log2x)＝1，所以log2x＝7，所以x＝27＝128.(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.【当堂达标】C解析：只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N⇔x＝logaN，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．2.B解析：根据对数的定义，得log9＝－2，故选B.3.B解析由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a＋1>0，,a>0，,a≠1，))解得0<a<eq\f(1,2).B解析：3log34－27eq\f(2,3)－lg0.01＋lne3＝4－eq\r(3,272)－lgeq\f(1,100)＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.5.eq\f(13,2)解析由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝eq\f(13,2).6.(2，3)∪(3，4)解析由题意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x>0，,x－2>0，,x－2≠1，))解得2<x<4且x≠3.7.解(1)由2－3＝eq\f(1,8)可得log2eq\f(1,8)＝－3；(2)由eq\b\