5.1 导数的概念及其意义-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)第五章：一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义【考点梳理】大重点一：变化率问题和导数的概念考点一：瞬时速度的定义(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).考点二函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．考点三函数在某点处的导数如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).大重点二：导数的几何意义考点四导数的几何意义1．割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．考点五导函数的定义从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).规律总结：区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数【题型归纳】题型一：函数的平均变化率1．（2021·全国·高二课时练习）函数f(x)＝2x在x＝1附近(即从1到1＋Δx之间)的平均变化率是（）A．2＋Δx B．2－Δx C．2 D．(Δx)2＋22．（2021·江苏·高二专题练习）若函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则（）A． B．C． D．与的大小关系与的取值有关3．（2021·江苏·高二课时练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（）A． B．C． D．题型二：瞬时变化率理解4．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，则用平均变化率估计在处的瞬时变化率为（）A．1 B．2C．3 D．45．（2021·全国·高二课时练习）已知物体做自由落体的运动方程为，且无限趋近于0时，无限趋近于9.8m/s．那么关于9.8m/s正确的说法是（）．A．物体在0~1s这一段时间内的速度B．物体在这一段时间内的速度C．物体在1s这一时刻的速度D．物体从1s到这一段时间内的平均速度6．（2021·全国·高二课时练习）一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为（）A．4 B．5 C．6 D．7题型三：导数（导函数）的理解7．（2021·江苏·高二专题练习）设在处可导，则（）．A． B．C． D．8．（2021·江苏·高二专题练习）函数在处的导数可表示为，即（）．A． B．C． D．9．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数，则的值为（）A． B． C．10 D．20题型四：导数定义中的极限的简单计算10．（2021·江苏·高二课时练习）若，则（）A．－4 B．4C．－1 D．111．（2021·重庆市万州清泉中学高二月考）已知函数在处的导数为1，则（）A．0 B． C．1 D．212．（2021·陕西阎良·高二期末（理））设函数的导函数为，若，则等于（）A．-2 B．-1 C．2 D．1题型五：利用导数几何意义求切线方程13．（2021·江西·黎川县第一中学高二期末（理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．14．（2021·全国·高二单元测试）已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．15．（2021·全国·高二单元测试）若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（）A．24 B．32 C．64 D．86题型六：已知切线（斜率）求参数16．（2021·全国·高二课时练习）若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（）A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－117．（2021·全国·高二课时练习）已知函数(，，且)的图像在点处的切线方程为，则（）A． B． C． D．18．（2021·全国·高二专题练习）若曲线（）在处的切线与直线平行，则（）A． B． C． D．2题型七：求切点坐标19．（2021·广东·东莞市光明中学高二月考）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（）A． B． C．或 D．以上都不对20．（2021·广西·玉林市育才中学高二开学考试（理））曲线在P0处的切线垂直于直线，则P0的坐标为（）A． B．C．或 D．或21．（2020·江苏如皋·高二月考）已知函数在处的切线方程为，则实数的值为（）A． B． C．1 D．题型八：过某点的曲线的切线22．（2020·全国·高二课时练习）已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（）A． B．C．或 D．或23．（2021·全国·高二单元测试）曲线在某点处的切线的斜率为，则该切线的方程为（）A． B．C． D．24．（2020·江苏省平潮高级中学高二月考）已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为（）A． B．C． D．【双基达标】一、单选题25．（2021·广西河池·高二月考（理））在导数定义中“当时，”，（）A．恒取正值 B．恒取正值或恒去取负值C．有时可取 D．可取正值可取负值，但不能取零26．（2021·福建省漳州第一中学高二月考）设为可导函数，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为（）A．2 B． C．1 D．27．（2021·全国·高二课时练习）以正弦曲线上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（）A． B． C． D．28．（2021·江苏·高二专题练习）设函数在附近有定义，且有，其中a，b为常数，则（）A． B． C． D．29．（2021·江苏·高二专题练习）函数，自变量x由改变到（k为常数）时，函数的改变量为（）．A． B．C． D．30．（2021·全国·高二单元测试）已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（）A．f'（xA）＞f'（xB）B．f'（xA）＝f'（xB）C．f'（xA）＜f'（xB）D．f'（xA）与f'（xB）大小不能确定31．（2021·全国·高二单元测试）设函数，则曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x+1 D．y＝x﹣132．（2021·全国·高二单元测试）若点P在曲线上，且该曲线在点P处的切线的倾斜角为150°，则点P的横坐标为（）A． B． C． D．33．（2021·全国·高二单元测试）已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前n项和为，则的值为()A． B． C． D．【高分突破】一：单选题34．（2021·江苏·高二课时练习）曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－1，1)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)35．（2021·全国·高二课时练习）一物体的运动满足曲线方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′（5）＝42(m/s)，其实际意义是（）A．物体5s内共走过42mB．物体每5s运动42mC．物体从开始运动到第5s运动的平均速度是42m/sD．物体以t＝5s时的瞬时速度运动的话，每经过1s，物体运动的路程为42m36．（2021·全国·高二课时练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（）A． B．C． D．37．（2021·全国·高二课时练习）已知函数f(x)可导，且满足，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为（）A．－1 B．－2 C．1 D．238．（2021·重庆·高二月考）已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线，则当时，的最小值为（）A． B． C． D．二、多选题39．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，下列说法正确的是（）A．叫作函数值的增量B．叫作函数在上的平均变化率C．在处的导数记为D．在处的导数记为40．（2021·全国·高二课时练习）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（）A． B．C． D．41．（2021·江苏·高二专题练习）如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（）A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度42．（2021·江苏·高二课时练习）下列说法正确的是（）A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线B．若曲线在点处有切线，则必存在C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在43．（2021·全国·高二专题练习）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（）A． B．C． D．44．（2021·广东·佛山市南海区罗村高级中学高二月考）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（）A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.三、填空题45．（2021·广东·广州市协和中学高二期中）曲线在点处的切线方程为________________.46．（2021·全国·高二课时练习）某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时原油温度（单位：℃）为，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为______.47．（2021·江苏·高二专题练习）若函数在处的导数是8，则________．48．（2021·全国·高二课时练习）下面说法正确的是______（填序号）.①若不存在，则曲线在点处没有切线；②若曲线在点处有切线，则必存在；③若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在；④若曲线在点处没有切线，则有可能存在.四、解答题49．（2021·江苏·高二课时练习）一物体的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数为.求：（1）物体在内的平均速度；（2）物体的初速度；（3）物体在时的瞬时速度.50．（2021·广西河池·高二月考（理））已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数过点处的切线方程.51．（2021·全国·高二课时练习）在曲线E：上求出满足下列条件的点P的坐标．（1）在点P处曲线E的切线平行于直线；（2）在点P处曲线E的切线的倾斜角是135°．【答案详解】1．C【分析】根据函数解析式直接计算即可.【详解】Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－2＝2Δx.所以故选：C2．A【分析】直接代入函数平均变化率公式进行化简得到，表达式，由题意知，即可得判断，大小关系.【详解】，．由题意知，所以，故选：A．3．A【分析】结合图象，利用平均变化率的定义求解.【详解】因为，，，由图象知，所以．故选：A4．C【分析】由平均变化率的定义可得，从而可得答案.【详解】函数在上的平均变化率为，取，得，故估计在处的瞬时变化率为3.故选：C.5．C【分析】结合导数定义式知，应表示的是在1这一时刻的瞬时速度.【详解】由平均速度的概念，表示的是这一段时间内的平均速度，其极限值即，表示这一时刻的瞬时速度．故选：C6．C【分析】写出平均变化率求其极限即可求解.【详解】由题意，＝(Δt＋6)＝6.故选：C7．C【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】解：∵在处可导，∴，故选：C.8．C【分析】结合导数定义直接选择即可.【详解】是的另一种记法，根据导数的定义可知C正确．故选：C9．D【分析】根据导数的定义可得，再用求导公式可得，代入即可得解.【详解】因为，所以，所以.故选：D10．C【分析】利用导数的定义直接求解【详解】因为，所以．故选：C11．B【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解.【详解】因为函数在处的导数为1，则.故选：B.【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．12．D【分析】根据题意，由极限的运算性质和导数的定义可得，即可得到答案.【详解】根据题意，，又由，则.故选：D.13．C【分析】求出函数的导函数即可求出，再根据点斜式求出切线方程；【详解】解：∵的导数为，∴．∵，∴曲线在点处的切线方程为，即．故选：C．14．A【分析】求导根据导函数的奇偶性得到，再计算切线得到答案.【详解】依题意，，由导函数为偶函数，得，故，，所以，，故曲线在点处的切线方程为，即.故选：A.15．C【分析】根据导数的几何意义可求切线斜率即可求出切线方程，由直线求出截距可得三角形面积.【详解】∵，∴，∴曲线在点处的切线斜率，∴切线方程为.令，得；令，得.∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，∴.故选：C16．A【分析】先用导数的定义解出函数在x=0处的导数，进而结合导数的几何意义求得答案.【详解】由题意可知k＝，又(0，b)在切线上，解得：b＝1.故选：A.17．D【分析】先对函数求导，利用导数的几何意义并结合给定条件列出方程组求解即得.【详解】由求导得：，而函数的图像在点处的切线方程为，，因点在直线上，即，于是得，因此有：，解得，所以.故选：D18．A【分析】求出函数导数，根据题意可得曲线在处的导数值为2，即可求出.【详解】由可得，又曲线在处的切线与直线平行，且直线的斜率为2，则，解得.故选：A.19．C【分析】根据的导函数为，又由其过P点的切线与直线平行性可知，求得切点P的横坐标，代回曲线方程求得的值，可得答案.【详解】解：由题意可知：函数的导函数为过P点的切线与直线平行，解得当时，，此时切线方程为，即；当时，，此时切线方程为，即.所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14）故选:C20．C【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.【详解】曲线在P0处的切线垂直于直线，所以切线的斜率为4，依题意，令，解得，，故点的坐标为和，故选：C21．A【分析】求得，利用导数的几何意义，求得，得到，再求得切点代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，函数，则，可得，即切线的斜率，所以，解得，所以，当时，，即切点代入函数，可得，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.22．C【分析】设切点为则切线方程为，将点代入解，即可求切线方程.【详解】设切点为，则，切线斜率为所以切线方程为，因为过点则解得或，所以切线方程为或故选：C23．D【分析】先求导得，再令解得，再求出切点坐标，之后再利用切线方程的公式求解即可.【详解】解：求导得，根据题意得，解得（舍去）或，可得切点的坐标为，所以该切线的方程为，整理得.故选：D.【点睛】本题考查已知切线斜率，求切线方程问题，考查导数的几何意义，是基础题.24．B【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，进而可求得直线的斜率.【详解】设切点坐标为，，，直线的斜率为，所以，直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得，解得，因此，直线的斜率为.故选：B.【点睛】本题考查利用切线过点求切线的斜率，考查计算能力，属于基础题.25．D【分析】根据题意，由导数的定义分析可得答案．【详解】解：根据题意，当时，，的值可取正值和负数，但不能取0；

故选：D．26．D【分析】由导数的定义及导数的几何意义即可求解.【详解】解：由导数的几何意义，点处的切线斜率为，因为时，，所以，所以在点处的切线斜率为，故选：D.27．A【分析】先对函数求导，再利用余弦函数的性质可求得切线的斜率的范围，然后结合正切函数的图象与性质，即可求得直线的倾斜角的范围．【详解】设，直线的倾斜角为，.∵，∴，则在点处的切线斜率为，∵，∴，即，∵，∴倾斜角的范围是.故选：A.28．C【分析】利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率，再判断当时，无限趋近于哪一常数，该常数即为所求函数在该点处的导数.【详解】因为，所以，则，即.故选：C.29．D【分析】根据定义求解即可.【详解】解：由变化率的关系，.故选：D．30．A【分析】根据题意，由图象可得f（x）在x＝xA处切线的斜率大于在x＝xB处切线的斜率，由导数的几何意义分析可得答案．【详解】根据题意，由图象可得f（x）在x＝xA处切线的斜率大于在x＝xB处切线的斜率，则有f'（xA）＞f'（xB）；故选：A31．D【分析】由导数的几何意义得：曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为，y﹣0＝x﹣1，即y＝x﹣1，得解．【详解】解：因为，所以f′（x）＝lnx+1，所以f′（1）＝1，即曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为，y﹣0＝x﹣1，即y＝x﹣1，故选：D．32．D【分析】根据导数的几何意义求斜率，再由倾斜角求斜率，建立方程求解即可.【详解】设点的横坐标为，因为，所以．因为切线的倾斜角为150°，所以切线的斜率为，即，所以．故选：D33．A【分析】首先利用导数的定义求出导函数在一点处的导数，然后结合导函数的几何意义求出参数，进而求出，从而可得到通项公式，然后利用裂项相消法求即可.【详解】因为，所以．因为函数的图象在点处的切线的斜率为3，所以，解得，所以，，所以．故选:A．34．C【分析】结合导数的概念求出，进而可以求出结果.【详解】上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为＝＝＝<1，即k<1.故选：C.35．D【分析】根据瞬时速度的定义即可得出选项.【详解】由导数的物理意义知，s′（5）＝42(m/s)表示物体在t＝5s时的瞬时速度．故选：D.36．B【分析】根据平均速度的几何意义对进行分析，由此确定正确选项.【详解】设直线的斜率分别为，则，，，由题中图象知，即.故选:B37．B【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，，所以.故选：B.38．D【分析】先由两曲线经过点P，求得a，再由在点P处有公切线构造关于b、c的方程，从而求得b、c，最后代入中利用均值定理求得答案.【详解】由题意即设，，因为，，所以，，又因为两曲线在点P处有公切线，所以，所以，所以(当且仅当时等号成立)故选：D39．ABD【分析】由函数值的增量的意义判断A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD.【详解】A中，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；B中，称为函数在到之间的平均变化率，B正确；由导数的定义知函数在处的导数记为，故C错误，D正确.故选：ABD40．AB【分析】根据导数的几何意义可得，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出.【详解】由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，即.故选：AB41．CD【分析】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误．瞬时速度为切线斜率，故B错误．在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为，，所以，故C正确．同理D正确．故选：CD42．AC【分析】由的意义判断各个选项即可.【详解】，不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为，故AC正确.故选：AC.43．AD【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．【详解】解：因为，故选项A正确；因为，故选项B错误；因为，故选项C错误；因为，故选项D正确．故选：AD．44．AC【分析】由关系图提供的数据结合平均变化率的定义进行判断．【详解】在时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A正确；在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，但两曲线在此时的切线斜率不相同，因此瞬时变化率不相同，B错误；在两个时刻，甲、乙两