4.4 对数函数透课堂-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第一册）

2021-2021学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)第四章指数函数与对数函数4.4对数函数【知识导学】考点一：对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．考点二：对数函数的图象和性质对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称考点三:不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴．考点四：反函数的概念一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．(1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．(3)互为反函数两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．单调区间不一定相同．规律与方法：常见函数模型的增长差异函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随x的增大匀速上升增长速度y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长增长后果会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax【考题透析】透析题组一：对数函数的概念与解析式1．（2021·上海·高一专题）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（）A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x2．（2021·全国·高一）给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2020·重庆市第二十九中学校高一月考）已知，与的图象关于原点对称，则（）A． B．C．2 D．0透析题组二：对数函数的定义域（复合型对数函数）4．（2021·全国·高一课时练习）函数的定义域为（）A． B．C． D．5．（2018·天津河东·高一期中）使式子有意义的的范围是（）A．且 B．C． D．6．（2021·全国·高一专题练习）已知函数，则的定义域为（）A． B． C． D．透析题组三：对数函数的值域问题7．（2021·广东清远·高一期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．（2021·山西太原·高一期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．9．（2020·黑龙江·哈尔滨三中高一月考）函数的值域为（）A． B． C． D．透析题组四：对数函数的图像问题10．（2020·全国·高一课时练习）已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是（）A．(0，5) B．(1，4) C．(2，4) D．(2，5)11．（2020·广东·深圳实验学校高中部高一月考）若函数（其中a，b为常数）的图象如图所示，则函数的大致图象是（）A．B．C．D．12．（2021·湖南湘西·高一期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C． D．透析题组五：对数函数的单调性问题（复合函数、求参数）13．（2021·全国·高一课时练习）若，则a，b应该满足的条件是（）A． B．C． D．14．（2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一）设函数，下列结论中正确是（）A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减15．（2021·江西·奉新县第一中学高一月考）函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．透析题型六：对数函数的单调性比较大小16．（2021·云南省楚雄天人中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．17．（2021·全国·高一课时练习）四个数2.40.8,3.60.8，log0.34.2,log0.40.5的大小关系为（）A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.34.2B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.40.5C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.34.2D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.218．（2021·甘肃·张掖市第二中学高一期中）已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，设，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．透析题组七：对数函数的单调性解不等式19．（2021·福建·厦门外国语学校高一月考）已知函数则不等式的解集为（）A． B．C． D．20．（2019·广西大学附属中学高一期中）设函数，则使得成立的x的取值范围是（）A． B．C． D．21．（2021·广东珠海·高一期末）已知是定义在上的奇函数，对任意的正数，有不等式成立，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．透析题组八：反函数问题22．（2021·全国·高一课时练习）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）A． B．C． D．23．（2021·全国·高一课时练习）函数的反函数的图象为（）A．B．C． D．24．（2021·江西省兴国县第三中学高一月考）已知函数f(x)=log2x的反函数为g(x)，且有g(a)g(b)=16，若a>0，b>0，则的最小值为（）A．9 B． C．4 D．5透析题组九：指数函数与对数函数的综合25．（2019·湖南·临澧县第一中学高一期末）已知函数，若，则（）A． B． C． D．26．（2020·全国·高一课时练习）如果方程的两个根为，那么的值为A． B． C． D．-627．（2018·安徽·定远县育才学校高一开学考试）设，则不等式的解集为A． B． C． D．【考点同练】一、单选题28．（2021·江苏·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．429．（2021·全国·高一课时练习）函数的定义域为（）A． B． C． D．30．（2021·甘肃·庆阳第六中学高一期末）若函数的定义域为，则的取值范围是（）A． B． C． D．31．（2021·河北·深州长江中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．32．（2021·河北安平中学高一月考）设是定义域为的偶函数，若，都有，则大小关系正确的为（）A． B．C． D．33．（2021·湖南娄星·高一期中）已知函数，则的a的取值范围是（）A． B． C． D．34．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象为（）A． B． C． D．35．（2021·全国·高一单元测试）已知，则“”是“”的（）A．充分而不必可条件 B．必要而不充分他件：C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件36．（2021·江西省吉水县第二中学高一期中）已知函数，则不等式的解集是（）A． B．C． D．37．（2021·浙江·高一单元测试）声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：）.下列选项中错误的是（）A．闻阈的声强级为B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）C．如果声强变为原来的倍，对应声强级也变为原来的倍D．声强级增加，则声强变为原来的倍.二、多选题38．（2021·湖南长沙·高一期末）设函数，下列四个命题正确的是（）A．函数为偶函数B．若，其中，，，则C．函数在（1，2）上为单调递增函数D．若，则39．（2021·全国·高一专题练习）函数，下列说法正确的是（）A．的定义域为B．在定义域内单调递増C．不等式的解集为D．函数的图象关于直线对称40．（2020·安徽·淮北市树人高级中学高一月考）已知函数，，若存在，使得，则的取值可以是（）A．－4 B．－2 C．2 D．341．（2021·全国·高一专题练习）设函数，则（）A． B．C． D．三、填空题42．（2021·江苏·高一课时练习）函数的定义域为__________.43．（2021·全国·高一单元测试）设，，，则a，b，c的大小关系是____________.44．（2021·全国·高一课时练习）解不等式.45．（2021·江苏省如东高级中学高一月考）若，则m2n=_____46．（2021·云南昭阳·高一期末）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．四、解答题47．（2021·云南·昭通市昭阳区第二中学高一期末）已知函数，．（1）若过定点，求的定义域；（2）若值域为，求的取值范围．48．（2021·安徽·合肥百花中学高一期末）设且，函数的图像过点．（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的最大值．49．（2021·江苏·海安高级中学高一月考）已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围.50．（2021·河南洛阳·高一期末）函数对于任意实数，有，当时，．（1）求证：在上是增函数；（2）若，对任意实数恒成立，求实数的取值范围．51．（2021·全国·高一单元测试）已知是偶函数，是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断的单调性，并简要说明理由；（3）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案精讲】1．A【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图像过点M(125，3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.故选：A.2．A【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.3．D【详解】设，则，所以，即，设是图象上任一点，它关于原点的对称点在函数图象上，所以，即，所以，．故选：D．4．C【详解】函数的定义域，需满足，解得：或.故选：C5．A【详解】由对数的定义可知：，∴且．故选：A．6．B【详解】由函数的定义域满足：解得：或故的定义域为故选：B7．A【详解】由题可知，函数的值域包含，当时，符合题意；当时，则，解得；当时，显然不符合题意，故实数的取值范围是．故选：A.8．D【详解】令，由于函数的值域为，所以，函数的值域包含.①当时，函数的值域为，合乎题意；②当时，若函数的值域包含，则，解得或.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.9．D【详解】解：因为在上递增，所以，即，因为在上递减，所以，所以函数的值域为，故选：D10．C【详解】解：令x－1＝1，即x＝2．则f(x)＝4．即函数图象恒过定点Q(2，4)．故选：C．11．D【详解】由题意，根据函数的图象，可得，根据指数函数的图象与性质，结合图象变换向上移动个单位，可得函数的图象只有选项D符合.故选：D.12．D【详解】因为，，是减函数，是增函数，只有D满足．故选：D．13．C【详解】因为，所以，，根据对数函数的单调性可知，，故选：C14．D【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，所以为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，排除B；当时，，因为在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，故选项D正确.故选：D.15．C【详解】由，解得或.当时，为减函数，而的底数为，所以为增区间.当时，为增函数，而的底数为，所以为减区间.故选C.16．D【详解】依题意，所以.故选：D17．D【详解】∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.∵log0.34.2<log0.31＝log0.41<log0.40.5<log0.40.4，∴log0.34.2<0<log0.40.5<1，∴3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2.故选：D.18．A【详解】因为是上的偶函数，且在上是减函数，所以在上是增函数，由，因为，，所以，所以，所以，即．故选：A．19．D【详解】当时，不等式即，可得，解得：；当时，不等式即，即，所以，解得：或（舍），所以，综上所述：不等式的解集为，故选：D.20．B【详解】函数的定义域为，，可得是偶函数，所以等价于当时，因为单调递增，单调递减，所以为单调递增函数，所以，即，整理可得，解得：或，所以使得成立的x的取值范围是，故选：B21．D由函数的奇偶性得，由可知在上的单调递增，可得在上的单调递增，根据单调性及可把化为或,解得:或，，即不等式的解集是.故选：D22．D因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，则，因此，.故选：D.23．D【详解】由得，可得，故函数的反函数的解析式为，而函数的图象可由函数的图象向下平移个单位得到.故选：D.24．B【详解】由条件可知，，，，当，即时等号成立，因为，解得：，，所以的最小值是.故选：B25．B【详解】，，则，得，解得.故选：B.26．C【详解】则故即或或，则的值为故选：C27．B【解析】由函数，则，且即，解得且，所以不等式的解集为，即，故选B.28．B【详解】因为函数在区间单调递减，所以当x=0时取得最大值：.故选：B29．B【分析】由对数真数大于0可得．【详解】由题意，，即，解得，即函数定义域为．故选：B30．C【详解】∵函数的定义域为，所以恒成立，当时，显然不合题意，当时，则∴综上所述故选：C.31．B【详解】解：因为，，且函数为增函数，所以，又，所以.故选：B.32．D【详解】因为若，都有，所以在上单调递增；因为是定义域为的偶函数，所以，因为，所以，而在上单调递增，所以，故，即故选：D.33．D【详解】由题意，若，则不等式可化为，解得，若，则不等式可化为，解得，故a的取值范围是.故选：D.34．D【详解】由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A、B．又x＞0时f(x)＝ln(x＋1)，排除C.故选：D．35．C【详解】解析：由题，因为，所以，即或，所以或，即等价于，即是"的充分必要条件，故选：C.36．B解：当时，，即，则，所以，又，所以；当时，，即，则，所以，综上所述：不等式的解集是.故选：B.37．C因为，时，，带入公式得，A：时，，故A正确；B：由题意，即，因此，解得，故B正确；C：当变为时，代入有，故C错误；D：设声强变为原来的倍，则，解得，故D正确；故选：C.38．BC【详解】A选项，的定义域为，所以是非奇非偶函数，A错误.B选项，由于，，，所以，B正确.C选项，，由，的开口向下，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可知函数在（1，2）上为单调递增函数.C正确.D选项，，，所以，即，由于，，所以不成立，D错误.故选：BC39．AD【详解】要使函数有意义，则，故A正确；，令，易知其在上单调递减，所以在上单调递减，故B不正确；由于在上单调递减，所以对于，有，故C不正确；令，解得，所以关于直线对称，故D正确.故选：AD40．AB【详解】当时，，即，则的值域为，当时，，则的值域为，若存在，使得，则，若，则或，解得或.所以当时，的取值范围为.故选：AB41．AB【详解】解：函数，定义域为，，所以为奇函数，所以，当时，由复合函数的单调性可知单调递增，因为，所以，结合选项可知A，B正确.故选：AB.42．【详解】由题意知：，∴，所以原函数的定义域为：，故答案为：.43