4.5 函数的应用(二)-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

4.5函数的应用(二)【考点梳理】考点一：函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．知识点二：函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．重难点技巧：用二分法求方程的近似解考点三：二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．考点四：用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．重难点技巧：函数模型的应用考点五：函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)考点六：应用函数模型解决问题的基本过程1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；3．求模——求解数学模型，得出数学模型；4．还原——将数学结论还原为实际问题．【题型归纳】题型一：函数零点存在定理1．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高一）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高一）已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（

）A． B．C． D．题型二：函数的零点分布问题（参数）4．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高一阶段练习）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知函数的零点位于区间（）内，则（

）A．1 B．2C． D．46．（2022·上海市大同中学高一期中）已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．题型三：用二分法求函数f(x)零点近似值7．（2021·甘肃·高台县第一中学高一期中）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：x00.50.531250.56250.6250.7510.0660.2150.5121.099由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（

）A．0.625 B． C．0.5625 D．0.0668．（2022·湖北省武昌实验中学高一期末）已知函数的部分函数值如下表所示那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（

）A． B． C． D．9．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）设，现用二分法求关于的方程在区间内的近似解，已知，则方程的根落在区间（

）内A． B．C． D．不能确定题型四：函数与方程的综合问题10．（2022·吉林·东北师大附中高一期中）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，如果关于x的方程恰有7个不同的实数根，那么的值等于（

）A．2 B．-2 C．1 D．-111．（2022·湖南·长沙一中高一期末）已知函数（），．若，在上有三个零点，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．12．（2022·河南·襄城高中高一阶段练习）已知函数，若函数有4个零点，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．题型五：应用函数模型（对数函数与指数函数）13．（2022·河南南阳·高一期中）放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（

）．A． B． C． D．14．（2022·浙江师范大学附属中学高一期中）在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（

）A． B． C． D．15．（2022·四川泸州·高一期末）在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律.指数增长率与、近似满足，其中为病毒基本再生数，为两代间传染所需的平均时间，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（

）（参考数据：）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天题型六：函数的应用综合16．（2022·云南师大附中高一期中）第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西､C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.(1)写出2022年利润（万元）关于年产量（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）(2)求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？17．（2022·浙江温州·高一期中）已知．(1)当时，解不等式；(2)若，且函数的图像与直线有3个不同的交点，求实数a的取值范围．(3)在（2）的条件下，假设3个交点的横坐标分别为，，，且，若恒成立，求实数t的取值范围．18．（2022·江苏省射阳中学高一期中）已知定义在区间上的函数.(1)求函数的零点；(2)若方程有四个不相等的实数根，，证明：；(3)设函数，，若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.【双基达标】一、单选题19．（2022·四川四川·高一期中）已知关于的方程的两个不相等的实根均在区间内，则的取值范围为（

）A． B．C． D．20．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）已知函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表：123456123.5621.45-7.8211.45-53.76-128.88则函数在区间上的零点至少有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个21．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习）根据表中数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（

）x01230.3712.277.3920.0912345A． B． C． D．22．（2022·山东·招远市第二中学高一阶段练习）已知实数，关于x的方程有两个实根，，且，则实数a，b，，的大小关系为（

）A． B．C． D．23．（2022·浙江大学附属中学高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（

）A．闻阈的声强级为0dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍24．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．25．（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（

）A．B．C．D．26．（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（）A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值C．没有达到对误差的要求，应该接着计算D．没有达到对误差的要求，应该接着计算27．（2022·广东·红岭中学高一期中）定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．28．（2022·江苏省射阳中学高一阶段练习）命题：关于的方程有两个相异负根；命题.若这两个命题有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．29．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，，的零点分别为，，，以下说法正确的是（

）A． B． C． D．30．（2022·全国·高一单元测试）已知函数（且）在上单调递减，若的图象与直线有两个交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【高分突破】31．（2022·福建福州·高一期末）已知函数，若存在实数，满足且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．32．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）已知函数，则函数的零点个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7多选题33．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）已知函数是偶函数，且当时，，关于的方程的根，下列说法正确的有（

）A．当时，方程有4个不等实根B．当时，方程有6个不等实根C．当时，方程有4个不等实根D．当时，方程有6个不等实根34．（2022·重庆·西南大学附中高一期中），其中表示x，y，z中的最小者，下列说法正确的是（

）A．函数为偶函数B．若有7个根，则C．当时，有D．当时，35．（2022·江苏·南京市第一中学高一期中）已知函数，若恰有3个零点，则的可能值为（

）A．0 B． C．1 D．236．（2022·全国·高一课时练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（

）A．的零点在区间内 B．的零点在区间内C．精确到0.1的近似值为1.4 D．精确到0.1的近似值为1.537．（2022·广东·北京师范大学广州实验学校高一期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A． B．的最大值为C．有两个零点 D．的解集为38．（2022·吉林·东北师大附中高一期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数m的取值可以是（

）A．3 B．4 C． D．三、填空题39．（2022·北京市昌平区第二中学高一期中）已知函数的两个零点分别为和，则的值为______．40．（2022·云南师大附中高一期中）爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（其中，是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为___________.41．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数的值可以为______．42．（2022·浙江·高一阶段练习）已知函数，若存在互不相等的实数，满足，则的取值范围是__________．43．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）若，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：若，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，则___________.44．（2022·湖南·周南中学高一）给出以下四个命题：①函数的零点是；②函数与为同一个函数；③函数的定义域为R，则a的取值范围为；④若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为{5，10}的“孪生函数”共有4个．其中正确的命题有________．（写出所有正确命题的序号）解答题45．（2022·江苏省射阳中学高一期中）已知函数.(1)将函数写成分段函数的形式，并画出图象；(2)利用图象回答：当为何值时，方程有一解？两解？三解？46．（2022·广东·高一期中）某医疗器械工厂计划在2022年利用新技术生产某款电子仪器，通过分析，生产此款电子仪器全年需投入固定成本200万元，每生产（千部）电子仪器，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每1千部电子仪器售价500万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完．(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；（利润＝销售额－成本）(2)2022年产量为多少千部时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?47．（2022·重庆·西南大学附中高一期中）已知函数.(1)函数在上的最小值为，求函数的表达式；(2)若.关于x的方程有两个不等的实根，求实数k的取值范围.48．（2022·陕西·交大附中高一期中）已知为R上的奇函数，当时，．(1)求；(2)求的解析式；(3)关于x的方程有3个不同的实数根，求实数k的取值范围．49．（2022·北京·101中学高一期中）经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：，服用药物后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度与时满足关系式：，现假定某患者餐后立刻服用药物N，且血液中微量元素总浓度等于为与的和．(1)求4小时内血液中微量元素总浓度的最高值；(2)若餐后4小时内，血液中微量元素总浓度不低于4的累积时长不少于2.5小时，则认定该药物治疗有效，否则调整治疗方案．请你判断是否需要调整治疗方案．50．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一阶段练习）已知函数（，且）．(1)已知，若函数在上有零点，求的最小值；(2)若对恒成立，求a的取值范围．51．（2022·江苏·宿迁市第一高级中学高一阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.(1)求二次函数的不动点；(2)若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值．(3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.【答案详解】1．C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；【详解】解：因为与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，又，，，即，所以的零点位于内；故选：C2．C【分析】先判断出在上单调递增，利用零点存在定理直接判断.【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增.当时，，，，.由零点存在定理可得：函数的零点所在的区间是.故选：C3．D【分析】利用函数的单调性及零点存在定理即得.【详解】∵函数为增函数，又，∴，由，得，即，∵在单调递增，又，∴，∴.故选：D.4．D【分析】分类讨论和两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即可.【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.故选：D.5．D【分析】利用零点存在定理可得，即求.【详解】∵在定义域上单调递增，，，∴，，且是唯一的，所以整数，∴.故选：D．6．C【分析】分析、的性质，将问题化为与（）有4个交点，进而只需保证与（）相交求参数范围即可.【详解】由开口向上且对称轴为，而恒过点，所以的图象只需将函数值为负的部分翻折到x轴上方，对应关于对称，当时图象在x轴上方，当时图象为x轴，当时图象在x轴下方，所以要使与有4个交点，则.综上，与的示意图象如下图：当左侧与在上相交有4个交点，或在两侧与各有2个交点，由图知：只需保证与（）相交即可，令，则，故，所以或.故选：C7．C【分析】按照二分法的方法流程进行计算，根据的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．【详解】由题意得在区间上单调递增，设方程的解的近似值为，由表格得，所以,因为，所以方程的近似解可取为0.5625．故选：C.8．B【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.【详解】函数在R上单调递增，由数表知：，由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，所以函数的一个零点的近似值为.故选：B9．B【分析】根据零点存在性定理结合已知条件分析判断即可.【详解】因为，，且的图象在上连续，所以在上至少存在一个零点，因为，所以在上存在零点，因为，所以在上存在零点，所以方程的根落在区间内，故选：B10．A【分析】画出偶函数在R上的图象，数形结合得到的解得情况，从而确定关于的方程要有两个不同的解，且，由韦达定理得到的值，进而求出的值.【详解】当时，，且当时，，又为R上的偶函数，则函数图象如下所示：当时，有2个解，当时，有4个解，当时，有6个解，当时，有3个解，当时，无解，要想关于x的方程恰有7个根，则关于的方程要有两个不同的解，设出，则，由韦达定理得：，，解得：，故.故选：A11．A【分析】分，，讨论可得，可得1为的一个零点，函数在上有两个零点，然后利用二次函数的性质即得.【详解】①当时，因为，所以1为一个零点，又，因为，所以，所以，所以1为的一个零点．②当时，，，所以在上无零点．③当时，，在上无零点，所以．在上的零点个数是在上的零点个数，因为，．函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点，所以，，又，即时，在上有两个零点；综上，a的取值范围为.故选：A.12．C【分析】将问题转化为方程有4个根，当时，可得是方程的根，当时，可得然后画出函数图象，根据图象求解即可【详解】的零点即方程的根，当时，容易验证为方程的根．当时，由，可得画出函数的图象，如图所示．当有4个零点时，直线与函数的图象有3个交点，由图可得或．故选：C13．A【分析】根据题意列出方程组，指数式化为对数式，结合对数运算法则，求出，结合，得到.【详解】由题可得，则，即．因为，所以．故选：A14．A【分析】由题意，列出不等式，利用对数的运算性质求出，代入不等式中求解，即可得到答案．【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，所以，即，因为，所以，解得，则地疫苗的接种率至少为．故选：A．15．B【分析】代入已知数据求出，即可求出的解析式，进而可以求解．【详解】解：由，，可得，所以，则，设题中所求病例增加至倍所需天数为天，所以，，即，所以，所以累计感染病例数增加至的4倍，至少需要天；故选：B．16．(1)；(2)当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.【分析】（1）由题可得，进而结合条件可得利润（万元）关于年产量（千件）的函数；（2）根据二次函数的性质及基本不等式分段求函数的最值即得.【详解】（1）由题意知，当时，，所以，当时，；当时，，所以；（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，所以当时，有最大值，最大值为1500；当时，由基本不等式，得，当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为1550；因为，所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.17．(1)；(2)；(3).【分析】（1）由题可得或，进而即得；（2）根据分类讨论可得函数的解析式，然后利用数形结合即得；（3）由题可得，分，讨论，结合条件求的取值范围即得.【详解】（1）当时，，又∵，∴或，∴不等式的解集为；（2）由题设得，可得函数的大致图象，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，要使函数的图像与直线有3个不同的交点，则，所以，解得，又，所以，a的取值范围为；（3）由（2）可知，当时，，为方程的两根，则，即，又在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在单调递增，，（ⅰ）当，即时，是方程的较小根，，在上单调递减，则，∴；（ⅱ）当，即时，是方程的正根，∴，∴，则，综上，．18．(1)和；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）解方程，即可求得函数的零点；（2）作出函数的图象，将方程四个不相等的实数根问题转化为函数图象交点问题，数形结合，利用二次方程根与系数的关系，证明结论；（3）求出时，的范围，求出，的范围，根据题意可将原问题转化为集合间的子集问题，列出相应不等式，求得答案.【详解】（1）由题意可知，令，即，解得，故函数在内的零点为和；（2）证明：作出函数的图象，方程有四个不相等的实数根，，即为图象与的四个交点的横坐标，方程即，，即，不妨设的四个根为，当即时，为即的两根，则，当时，为即的两根，则，故；（3）设，当时，，当时，，对任意的，总存在，使得，则，故且，解得，即的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的零点以及关于方程的根的相关等式的证明和恒成立问题，综合性强，计算量大，解答时涉及到数形结合和转化思想，解答的关键是解决恒成立问题时转化为集合的包含关系解决.19．C【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程实根分布，列式求解作答.【详解】因关于的方程的两个不相等的实根均在区间内，则有，解得，所以的取值范围为.故选：C20．B【分析】由零点存在性定理得到函数零点至少有3个.【详解】因为函数的图像是连续不断的，且，由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，因为，故由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，因为，故由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，综上：函数在区间上的零点至少有3个.故选：B21．C【分析】求出方程对应得函数，然后利用表格分别求出，，，，然后利用零点存在定理判断即可.【详解】令，则，，，，，得，由零点存在定理可知：函数的存在零点位于区间内，即方程的一个根所在区间为．故选：C22．C【分析】令、，结合函数间的平移关系及与x轴交点，判断交点横坐标的大小.【详解】由，令，，则，所以，为与x轴交点横坐标，且，将向下移动1个单位得到，且与x轴交点横坐标且，所以.故选：C23．C【分析】根据题设可得，令求声强级判断A；将、代入求声强范围判断B；对对应声强级作商、对应声强作商判断C、D.【详解】由题意，则，故，当时，dB，A正确；若，即，则；若，即，则，故歌唱家唱歌时的声强范围（单位：），B正确；将对应的声强级作商为，C错误；将对应声强作商为，D正确.故选：C24．A【分析】化简题设条件可得，则或，依题意可知函数的图象与两直线，共有个不同的交点，数形结合，列式即可求解【详解】由题意得，则或．函数的图象如图所示，因为关于的方程有个不同的实数根，所以或，解得，所以实数的取值范围为．故选：A25．C【分析】先判断图像对应的是否函数，再判断它们是不是变号零点，逐项判断可得答案.【详解】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，对于A，函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点.故选：C．26．C【分析】由零点存在定理可知在内有零点，采用二分法可确定结果.【详解】，在内有零点；，没有达到对误差的要求，应该继续计算.故选：C.27．B【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.【详解】因为当时，，所以，又因为函数满足，所以函数的部分图像如下，由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误.故选：B.28．C【分析】先分别将命题及命题作为真命题求出的取值范围，命题及命题作为假命题的取值范围为命题及命题作为真命题求出的的取值范围的补集，然后根据命题一真一假列出不等式组即可得到答案.【详解】若命题：关于的方程有两个相异负根为真命题，则解得；若命题为真命题，则，解得；又因为这两个命题有且仅有一个为真命题，所以或，解得或，即的取值范围为.故选：C.29．A【分析】将问题可转化为直线与，，的交点横坐标范围，应用数形结合思想，即指对幂函数的性质判断的范围.【详解】由题设，，，，所以问题可转化为直线与，，的图象的交点问题，函数图象如下．由图知．故选：A．30．B【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出的大致范围，再根据为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程解的个数，推出的取值范围.【详解】因为（且）是上的单调递减函数，所以，即，所以，画出的大致图象和直线，如图所示．由图可知，在上的图象与直线有且仅有一个交点，故在上，的图象与直线同样有且仅有一个交点．联立与得，整理得，则此方程在上有且仅有一个解，设，当时，显然方程在上有且仅有一个解，所以；当时，此时方程在上无解；当时，要使方程在上有且仅有一个解，则且，此时方程组无解．综上所述，实数的取值范围为．故选：B．31．B【分析】分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，得到，得，则所求式子即关于的函数求值域问题，根据复合函数求值域的方法求出值域即可．【详解】分别画出与的图象，如图所示所以，，得，则，令，，得，又，对称轴为，所以在上单调递增，由于则的取值范围为；故选：B32．B【分析】令，，则，分别作出函数和直线的图象，得到，，再分别作出函数和直线的图象，得到方程和方程的根的个数，进而得到函数的零点个数.【详解】令，，则，即，分别作出函数和直线的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为，，则，，对于，分别作出函数和直线的图象，如图所示，由图象可得，当时，即方程有两个不相等的根，当时，函数和直线有三个交点，即方程有三个不相等的根，综上可得的实根个数为，即函数的零点个数是5.故选：B.33．BC【分析】结合函数奇偶性以及时解析式，作出函数图象，将关于的方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，求得答案.【详解】由题意函数是偶函数，且当时，，可作出函数的图象如图示：则关于的方程的根，即转化为函数的图象与直线的交点问题，当时，即与的图象有三个交点，方程有3个不等实根，A错误；当时，与的图象有6个交点，方程有6个不等实根，B正确；当时，与的图象有4个交点，方程有4个不等实根，C正确；当时，与的图象有4个或2个或0个交点，方程有有4个或2个或0个实根，D错误；故选：BC.【点睛】本题考查了函数的奇偶性的以及分段函数的应用，考查了方程的根的个数的确定，解答时要注意函数图象的应用以及数形结合的思想方法，解答的关键是将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题.34．ACD【分析】A选项，画出的图象，得到，从而根据函数奇偶性定义进行判断；B选项，在同一坐标系内画出与的图象，数形结合得到，B错误；C选项，将与的图象画在同一坐标系内，数形结合得到答案；D选项，观察图象得到当时，，令，由题意可知：，故.【详解】在同一直角坐标系中，作出的函数图象，如图所示：则的图象如下：从图象可知：，当时，，当时，，故，故为偶函数，A正确；在同一坐标系内画出与的图象，显然当经过点时，即时，两函数图象有5个交点，数形结合，要想有7个根，则，B错误；当时，，故，令，解得：，将与的图象画在同一坐标系内，数形结合可得：当时，有，C正确；从的图象可以看出，当时，，即当时，，令，由题意可知：，故，D正确.故选：ACD35．AD【分析】画出函数的图象，通过的取值，结合的范围，判断函数的零点个数，然后推出实数的取值范围．【详解】分别作出函数与的图象，由图知，时，函数与无交点，时，函数与有三个交点，故．当，时，函数与有一个交点，当，时，函数与有两个交点，当时，若与，相切，则由得：或（舍，切点在x轴下方，因此当，时，函数与有两个交点，当，时，函数与有三个交点，当，时，函数与有四个交点，所以当时，函数与恰有3个交点．综上，恰有3个零点，的取值范围是或．故选：AD．36．BC【分析】根据二分法基本原理判断即可.【详解】解：易知是增函数，因为，，所以零点在内，所以A错误，B正确，又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．故选：BC.37．ACD【分析】由分段函数定义计算函数值判断A，分类讨论求函数的最大值判断B，解方程判断C，解不等式判断D．【详解】，，A正确；时，，时，是减函数，，所以无最大值，B错；时，满足题意，时，，，满足题意，C正确；时，由得，时，由，，综上的解为，D正确．故选：ACD．38．ABC【分析】根据题意利用图象变换画出函数的图象，结合图象可求出的取值范围，从而可得答案.【详解】因为函数的定义域为R，满足，且当时，，所以当时，，当时，，函数部分图象如图所示，由，得，解得或，因为对任意，都有，所以由图可知，故选：ABC39．18【分析】根据函数零点的定义以及韦达定理可得结果.【详解】因为函数的两个零点分别为和，所以和是的两个实根，所以，，所以.故答案为：18.40．25%【分析】由题可得，然后根据关系式即得.【详解】由题，得当时，；当时，，即，解得，所以；所以当时，，即废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为25%.故答案为：25%.41．（答案不唯一）【分析】直接利用二次函数的性质和函数的零点的关系求出的取值范围，进一步确定的值．【详解】由于函数，若在上单调递增，则，故，由于，整理得，解得或，故满足的条件的取值范围为，故的值可以为：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．42．【分析】作出函数的图象，不妨设，数形结合可得，求出，即可求得答案.【详解】作出函数的图象如图，若存在互不相等的实数，满足，不妨设，如图示，则，由于，令，则，故，则，即，故答案为：43．【分析】由题意将化成三个根得形式，再利用待定系数法求出三个根之间得关系，最终求出结果.【详解】由题意可得：，由待定系数法可得：则，所以，故答案为：.44．③【分析】对①，由零点的定于判断；对②，由定义域不同判断即可；对③，等价于恒成立，对a分类讨论即可；对④，根据“孪生函数”定义，列举出函数的可能定义域即可.【详解】对①，函数的零点是-1，①错；对②，函数定义域为，函数定义域为，不是同一个函数，②错；对③，当时，，定义域为R，符合题意；当时，则，得，解得．综上，a的取值范围是．③对；对④，，值域为，时，由时，，时，用列举法得函数的定义域可能为：，，，，，，，，，，，，，，，3，，，，，，，3，，即9个“孪生函数”，④错.故答案为：③．45．(1)，图象见解析；(2)当或时，一解；当或时，两解；当时，三解.【分析】（1）分两种情况，去掉绝对值符号，可得分段函数形式的解析式，结合二次函数图象作出该函数图象，即得答案；（2）将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题