5.1 三角函数的定义（精讲）（教师版）

5.1三角函数的定义（精讲）一．任意角1.定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．分类：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角；,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．4.象限角与轴线角易错点：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同二．弧度制1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．2．公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2易错点：利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．三．任意角的三角函数三角函数正弦函数余弦函数正切函数定义设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．把r＝|OP|sinα＝eq\f(y,r)cosα＝eq\f(x,r)tanα＝eq\f(y,x)定义域RR函数值在各象限的符号一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－一．判断象限角的方法1.图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．2.转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．二．三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．三．三角函数的定义1，已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2.已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3.已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意应对a的符号分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．考法一任意角【例1-1】（2023春·青海）下列命题中正确的是（

）A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角C．终边相同的角的弧度制表示相差D．终边相同的角的弧度都相同【答案】A【解析】如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系，故A正确，B错误，终边相同的角的弧度制表示相差的整数倍，故C错误，D错误；故选：A【例1-2】（2023·山东德州）亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为.故选：B.【例1-3】（2023春·辽宁）下列与终边相同角的集合中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为角度值和弧度制不能混用，故A、B错误；因为，故C正确；对于选项D：因为，则与终边不相同，故D错误；故选：C.【一隅三反】1．（2023春·上海闵行）下列说法正确是（

）A．角60和角600是终边相同的角B．第三象限角的集合为C．终边在轴上角的集合为D．第二象限角大于第一象限角【答案】C【解析】，与终边不相，故A错误；第三象限角的集合为，故B错误；终边在轴上角的集合为，即，即，故C正确；是第二象限角，第一象限角，，故D错误；故选：C.2．（2023春·广东清远）（多选）下列说法正确的是（

）A． B．第一象限的角是锐角C．1弧度的角比1°的角大 D．锐角是第一象限的角【答案】ACD【解析】对于A：，A正确；对于B：第一象限的角不一定是锐角，比如，B错误；对于C：1°的角为弧度，比1弧度的角小，C正确；对于D：根据象限角的定义，可得D正确.故选：ACD.3．（2023·海南）设，且的终边与角的终边相同，则__________.【答案】【解析】由题意，，则，，所以，，故.故答案为：考法二扇形的弧长与面积【例2-1】（2023·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为cm，则扇形的面积为______cm2．【答案】．【解析】扇形的圆心角为144°，半径为，所以扇形的面积为．故答案为：．【例2-2】（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【解析】设扇形的半径为，圆心角为，则，所以，则扇形的周长为，当且仅当，即时，取等号，此时，所以周长最小时半径的值为.故选：C.【例2-3】（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（

）（参考数值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m【答案】D【解析】由题意，前轮转动了圈，所以A，B两点之间的距离约为，故选：D.【一隅三反】1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（

）（精确到）

A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，弦(m)，矢(m)，则弧田面积=()，所以弧田面积约是.故选：A2．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）一个表面积为的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为的扇形，设该扇形面积为，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆锥母线长，底面圆半径，，所以，圆锥表面积，扇形面积，所以.故选：D3．（2023·全国·模拟预测）通用技术课上，张老师要求同学们从一个半径为的圆形纸片上剪出一个扇形，制作成一个圆锥形无盖漏斗，当它的容积最大时，扇形圆心角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设扇形的圆心角为，圆锥底面半径为，则扇形的弧长为，圆锥底面周长，解得：，由勾股定理得圆锥的高：，容积，方法一：设，则，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当，即时，容积最大；方法二：由三元均值不等式（当且仅当时取等号）得：（当且仅当，即时取等号），即当扇形圆心角的大小为时，容积最大.故选：C．考法三三角函数的定义【例3-1】（2023·上海·统考模拟预测）已知为角α终边上一点，则=______．【答案】【解析】为角α终边上一点，，则，，.故答案为：【例3-2】．（2023·四川·校联考模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，则原式.故选：B.【例3-3】（2023·全国·高三对口高考）如果点P在角的终边上，且，则点P的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函数定义知：，，所以，，即P的坐标是.故选：B【例3-4】．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中学校考阶段练习）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意可知，作出图示如下：根据题意可得，，作轴且垂足为；利用三角函数定义可得，；又点在第四象限，所以点的坐标为.故选：C【一隅三反】1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，若的终边与圆交于点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意知，故，所以，故选：A．2．（2023·河南开封·统考三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函数定义可知：，又α是第二象限角，故，所以.故选：B3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】

设，则，，因，则，故，，故选：B4．（2023秋·山东菏泽）单位圆上一点从出发，顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】点从出发，顺时针方向运动弧长到达点，所以，所以点的横坐标是，纵坐标是，即.故选：D考法四三角函数值的正负判断【例4-1】（2023春·安徽）已知角的顶点与原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，是第几象限角（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】因为，所以是第二象限角.故选：B.【例4-2】（2023·浙江杭州）若，且，则角是第（

）象限角．A．二 B．三 C．一或三 D．二或四【答案】D解析】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角所以为第三象限角，即，，为第二或第四象限角.故选：D.【例4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C解析】因为角第二象限角，所以，所以，当是偶数时，设，则，此时为第一象限角；当是奇数时，设，则，此时为第三象限角.；综上所述：为第一象限角或第三象限角，因为，所以，所以为第三象限角．故选：C．【一隅三反】1．（2023春·辽宁）点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为，则为第三象限角，可得，所以位于第四象限.故选：D.2．（2023·广东）若满足，则的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由可知的终边在第三象限或第四象限，又，则的终边在第三象限.故选：C.3．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）坐标平面内点的坐标为，则点位于第（

）象限.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】，，则点位于第二象限，故选：B4．（2023·四川成都）若是第三象限角，则下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为是第三象限角，，A正确；，B错误；，C错误；，D错误.故选：A.5．（2023·全国·高三对口高考）已知角的终边落在直线上，则__________.【答案】【解析】由角的终边落在直线上，可得角的终边位于第二象限，可得，所以.故答案为：.考法五三角函数线的应用【例5-1】（2023·天津）设，使且同时成立的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由正弦曲线得：时，由余弦曲线得：时，，因为，所以且同时成立的x的取值范围是故选：D【例5-2】．（2023·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是A． B．C． D．【答案】C【解析】如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线、余弦线、正切线，很容易地观察出，即.故选C.【例5-3】．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】因为在上单调递增，,所以，而，，故选C.【一隅三反】1．（2023·上海）的大小关系为A． B． C． D．【答案】A【解析】单位圆中，，，故选A.2．（2023·湖北黄冈）关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲:是第三象限角，乙：.丙:，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】由，所以乙和丁的判断只有一个正确，且，若丁的判断正确，即，则，此时丙的判断错误，不符合题意；若乙的判断正确，即，此时满足，且，此时甲、丙都正确，符合题意.故选：D.3．（2023·广西·校联考模拟预测）的值所在的范围是（

）A