2.7.1 抛物线的标准方程 题组训练-2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章

2.7抛物线及其方程2.7.1抛物线的标准方程基础过关练题组一抛物线的定义及轨迹问题1.(2020山西临汾一中月考)在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.若点M(x,y)满足x2+yA.直线 B.圆C.椭圆 D.抛物线3.(2020四川成都七中高二期中)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为()A.抛物线 B.双曲线C.椭圆 D.圆4.若动点P到定点F(1,1)的距离与它到直线l:3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.直线题组二抛物线的标准方程5.若抛物线的焦点坐标为(0,-3),则抛物线的标准方程是()A.y2=-6x B.y2=-12xC.x2=-6y D.x2=-12y6.(2020安徽蚌埠高二月考)若点(3,5)在抛物线y2=mx(m≠0)的准线上,则该抛物线的标准方程为()A.y2=12x B.y2=20xC.y2=-12x D.y2=-20x7.(2020浙江余姚高二期末)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x25-y2A.(1,2) B.(3,-6)C.(2,-2) D.(1,6)8.(2020山东省实验中学高二期中)已知d为抛物线y=2px2(p>0)的焦点到其准线的距离,则pd的值等于()A.12p2 B.p2 C.12 9.若抛物线C:y=ax2经过点(4,2),则抛物线的焦点坐标为.

10.(2020广东茂名高二期中)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为.

11.(2020重庆酉阳一中高二月考)动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,且与直线l:x=1相切,求动圆的圆心P的轨迹方程.12.若抛物线y2=(m+1)x的焦点到点(0,-4)的距离等于5,求实数m的值.能力提升练题组一抛物线定义的应用1.(2020黑龙江哈尔滨六中高二期中,)过焦点为F的抛物线y2=12x上一点M向其准线作垂线,垂足为N,若|NF|=10,则|MF|=()A.163 B.253 C.2832.(2020广西南宁三中高二月考,)已知点F是抛物线y=2x2的焦点,M,N是该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|=174,则线段MN的中点的纵坐标为()A.32 B.2 C.523.(2020四川成都外国语学校高二期中,)抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=45|PQ|,则|QF|=()A.3 B.4 C.5 D.64.(2020广东肇庆高二期中,)已知点A(3,0),点P在抛物线y2=4x上,过点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,|PB|=|PA|,则cos∠APB的值为()A.12 B.13 C.-125.(2020山东潍坊一中高二月考,)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三个不同的点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=.

6.(2020山西太原高二期中,)已知点F为抛物线y2=-8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值是.

7.(2020甘肃武威高二月考,)如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,点A到抛物线准线的距离等于5,过点A作AB垂直于y轴,垂足为点B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)过点M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.8.(2020吉林通化一中高二月考,)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.题组二抛物线的方程及应用9.(2020河南濮阳高二月考,)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|MO|=|MF|=32,O为坐标原点,则OM·MF=()A.94 B.74 C.-9410.(2020河北景县中学高二期中,)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为43,则抛物线方程为()A.y2=6x B.y2=8xC.y2=16x D.y2=15211.(2020安徽蚌埠高二月考,)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过P作PA⊥l于点A,当∠AFO=30°(O为坐标原点)时,|PF|=()A.43 B.83 C.212.(多选)(2020山东省实验中学高二月考,)已知抛物线C:x2=3y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,其中点A在第一象限,若弦AB的长为4,则()A.直线l的倾斜角为30°或150°B.|AF|-|BF|=4C.|AF||D.S△AOB=9答案全解全析基础过关练1.B若点P的轨迹为抛物线,则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,且该定点在该定直线上,则点P的轨迹就不是抛物线,故应为必要不充分条件.2.D依题意,动点M到点(0,0)的距离等于其到定直线3x+4y-1=0的距离,且点(0,0)不在直线3x+4y-1=0上,因此动点M的轨迹是抛物线.3.A由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是抛物线.4.D设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得(x-15.D依题意,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),又p2=3,所以p=6,2p=12,故抛物线的标准方程为x26.C由于点(3,5)在抛物线y2=mx(m≠0)的准线上,所以准线方程必为x=3,因此m<0,且-m4=3,故m=-12,即抛物线的标准方程为y27.B双曲线x25-y24=1的右焦点为(3,0),所以抛物线y8.D抛物线方程可化为x2=12py,所以d=14p,故pd=p·9.答案(0,2)解析依题意有2=a·42,所以a=18,因此抛物线方程为x210.答案4解析依题意,有Fp2,0,设My022p11.解析设动圆P的半径为r,由题意可得定圆A的圆心A(-2,0),半径为1,所以|PA|=r+1.因为动圆P与直线l:x=1相切,所以圆心P到直线l的距离d=r,所以|PA|=d+1,即P到A(-2,0)的距离比P到直线l的距离大1,因此P到A(-2,0)的距离与到直线x=2的距离相等,故P的轨迹是以A为焦点,x=2为准线的抛物线,易知其方程为y2=-8x.12.解析当m+1>0,即m>-1时,2p=m+1,p2=m+14依题意有m+1当m+1<0,即m<-1时,2p=-(m+1),p2=-m+14依题意有m+1综上,m的值为11或-13.能力提升练1.B记准线与x轴的交点为A,因为|AF|=6,|NF|=10,所以|AN|=8,即点M的纵坐标为8或-8,设点M的横坐标为xM,则xM=6412=163,故|MF|=1632.B抛物线的标准方程为x2=12y,设线段MN的中点为Q(x0,y0),过M,N,Q作准线的垂线,垂足分别为M1,N1,Q1,则有|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|=2|QQ1|=174,所以|QQ1|=178,因此y0+18=3.C设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得,|QF|=d,∵|PF|=45不妨设Q在第四象限,则直线PF的斜率为-(5d)∵F(2,0),∴直线PF的方程为y=-26(x-2),与y2=8x联立可得3x2-13x+12=0,解得x=3或x=434.D易知抛物线的焦点F(1,0),由过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,可得|PB|=|PF|,又|PB|=|PA|,故|PA|=|PF|,所以P的坐标为(2,±22),可得|AB|=26,由余弦定理可得cos∠APB=|PB|2+|5.答案6解析易知F(1,0),因为FA+FB+FC=0,所以点F为△ABC的重心,设A,B,C三点的横坐标分别为xA,xB,xC,则xA+xB+xC3=1,故|FA|+|FB|+|6.答案213解析由|AF|=4及抛物线的定义可得A到准线的距离为4,所以A点横坐标为-2,因此A(-2,±4).又原点关于准线的对称点B的坐标为(4,0),所以|PA|+|PO|的最小值为|AB|=36+16=213.7.解析(1)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,于是4+p所以抛物线的方程为y2=4x.(2)由题意得A(4,4),B(0,4),M(0,2).又F(1,0),所以kAF=43,则直线FA的方程为y=4因为MN⊥FA,所以kMN=-34,则直线MN的方程为y=-3解方程组y=-34x+28.解析(1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.由平面几何知识知,当F,P,A三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|=5,即|PA|+d的最小值为5.(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±23,因为23>2,所以点B在抛物线的内部.过B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小值为4.9.D易知Fp2,0,不妨设M(m,2pm).因为|MO|=|MF|=32,所以m2+2pm=94且m+p2=32,又p>0,所以m=1210.B依题意有Fp2,0,所以|MF|=4×p2=2p,设M(x0,y0),由抛物线的定义知M点的横坐标x0=2p-p2=3p2,因此其纵坐标y0满足y02=2p·3p2=3p2,故|y0|=3p,又△MFO的面积为4311.A设l与y轴交于点B,在Rt△ABF中,∠AFB=30°,|BF|=2,所以|AB|=23设P(x0,y0),则x0=±233,于是y0=13,从而|PF|=|P