3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4

第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础过关练题组一给角求值1.(2018吉林长春外国语学校高一下月考)cos24°cos36°-sin24°sin36°的值为()A.0 B.12 C.32 2.(2019江苏高一期末)计算sin95°cos50°-cos95°·sin50°的结果为()A.-22 B.12 C.223.1-A.33 B.3 C.1 D.4.在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量OP绕点O按逆时针方向旋转3π4后得到向量OQ,则点QA.(-72,-2) B.(-72,2)C.(-46,-2) D.(-46,2)5.cos-17π4-sinA.2 B.-2 C.0 D.26.(2019湖南师大附中高一期中)tan57°-tan12°题组二给值求角7.已知α,β为锐角,且cosα=1010,cosβ=55,则α+βA.2π3 B.3π4 C.8.(2018辽宁省实验中学高一期中)已知tanα,tanβ是方程x2+33x+4=0的两根,且α,β∈π2,3π2A.4π3 C.4π3或7π3 9.若(tanα-1)(tanβ-1)=2,求α+β的值.10.(2019吉林省实验中学高三月考(理))已知方程x2+3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tanα、tanβ,且α,β∈-π2,π2题组三给值求值11.若cosα=-45,α是第三象限角,则sinαA.-7210 B.7210 C.-12.(2020吉林长春外国语学校高一下月考)已知α,β是锐角,且sinα=513,cosβ=45,则sin(α+β)A.3365 B.1665 C.566513.(2019湖南师大附中高二期中)在△ABC中,已知cosA=513,cosB=45,则cos(A+B)A.-1665 B.-C.1665或5665 14.(2018广西马山金伦中学高一下期末)角α的终边经过点(2,-1),则tanα+πA.-12 B.12 C.-1315.已知α为钝角,且sinα+π12=13,求16.(2018安徽高一期末)若cos(α+60°)=-45,30°<α<120°,求sinα的值17.(2020重庆一中高一上期末)已知sinα+π6=35,α∈π2,18.(2019浙江衢州高一下期末)已知sin(30°+α)=35,60°<α<150°,求cos(30°+α)与cosα的值19.(2019山西师大附中高一二诊)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=233,求tanA·tanB20.(2020湖南隆回一中高一上期末)已知点P(4,3)为角α终边上的一点.(1)求sinα的值;(2)求sinα+π能力提升练一、选择题1.(★★☆)在△ABC中,如果sinA=2sinCcosB,那么这个三角形是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形2.(2020上海行知中学高一调研,★★☆)下列四个命题,其中是假命题的是()A.不存在无穷多个角α和β,使得sin(α+β)=sinα·cosβ-cosαsinβB.存在这样的角α和β,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβC.对任意角α和β,都有cos(α+β)=cosαcosβ-sinα·sinβD.不存在这样的角α和β,使得sin(α+β)≠sinαcosβ+cosαsinβ3.(★★☆)tan10°A.-1 B.1 C.3 D.-3二、填空题4.(2020上海交通大学附中高一月考,★★☆)小瑗在解试题:“已知锐角α与β的值,求α+β的正弦值”时,误将两角和的正弦公式错记成了“sin(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ”,解得的结果为6+24,发现与标准答案一致,那么原题中的锐角α的值为5.(2019安徽高考模拟,★★☆)(1+tan20°)·(1+tan25°)=.

三、解答题6.(2019上海金山中学高一下期中,★★☆)如图所示,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈π6,π2.将角α的终边按逆时针方向旋转π3,交单位圆于点B.若点A的横坐标为17.(2020吉林长春十一中高一上期末,★★☆)设cosα=-55,tanβ=13,π<α<3π(1)求sin(α-β)的值;(2)求α-β的值.8.(2019上海七宝中学高一下期中,★★☆)已知π<α<3π2,π<β<3π2,sinα=-55,cos(1)α-β的值;(2)tan(2α-β)的值.9.(★★★)已知△ABC中,B=60°,且1cosA+1cosC=-2cosB,

答案全解全析第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础过关练1.Bcos24°cos36°-sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=12.故选2.Csin95°cos50°-cos95°sin50°=sin(95°-50°)=sin45°=223.A1-tan15°1+tan15°=tan454.A因为点O(0,0),P(6,8),所以OP=(6,8),设OP=(10cosθ,10sinθ),则cosθ=35,sinθ=45.设Q(x,y),则x=10cosθ+3π4=10cosθcos3π4-sinθsin3π4=-72,y=10sinθ+3π4=10sinθcos3π4+cosθsin3π4=-2,所以点Q5.Acos-17π4-sin-17π4=cos17π4+sin17π4=222cos17π=2sinπ4cos17π4+cosπ4=2sinπ4+17π4=2sin9π26.答案1解析原式=tan=1+tan12=(1+tan127.B因为α,β为锐角,且cosα=1010,cosβ=55,所以sinα=31010,sin所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-22,由α,β为锐角,可得0<α+β<π,故α+β=3π48.A∵tanα,tanβ是方程x2+33x+4=0的两根,∴tanα+tanβ=-33,tanαtanβ=4,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-∵α,β∈π2,3π2∴α,β∈π2,π,则α+β∈(π,2π),∴α+β=4π3.9.解析∵(tanα-1)(tanβ-1)=2,∴tanαtanβ-tanα-tanβ+1=2,∴tanα+tanβ=tanαtanβ-1,∴tanα+tanβ∴α+β=kπ-π4,k∈Z10.解析∵方程x2+3ax+3a+1=0的两根分别为tanα、tanβ,∴tanα+tanβ=-3a,tanαtanβ=3a+1,∴tan(α+β)=tanα+tan又∵α,β∈-πtanα+tanβ=-3a<0,tanαtanβ=3a+1>0,∴tanα<0,tanβ<0,∴α,β∈-π∴α+β∈(-π,0),又tan(α+β)=1,∴α+β=-3π11.A因为cosα=-45,α是第三象限角,所以sinα=-35,由两角和的正弦公式可得sinα+π4=sinαcosπ4+cosαsinπ4=-35×22+-45×22=-12.C因为α,β是锐角,且sinα=513,cosβ=45,所以cosα=1213,sin所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=513×45+1213×35=13.A在△ABC中,cosA=513,cosB=4∴sinA=1-513sinB=1-45∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=513×45-1213×35=-14.D∵角α的终边经过点(2,-1),∴由三角函数的定义,可知tanα=-12∴tanα+π4=tanα=-12+11-15.解析∵α是钝角,且sinα+π12=13,∴cosα+π12=-223∴cosα+5π12=cosα+π12+π3=cosα+π12cosπ3-sinα+π12·sinπ3=-223×12-13×3216.解析因为cos(α+60°)=-45所以sin(α+60°)=1-cos所以sinα=sin[(α+60°)-60°]=sin(α+60°)cos60°-cos(α+60°)sin60°=35×12+45×317.解析因为α∈π2,π,所以α+π6∈2π3,7π6,所以cosα+π6由sinα+π6=35,可得cosα+π6=-45,所以tanα+π6=sin(α+π6所以tanα-π12=tanα+π6-π4=tan(=-318.解析∵60°<α<150°,∴90°<30°+α<180°,∵sin(30°+α)=35∴cos(30°+α)=-1=-1-(3∴cosα=cos[(30°+α)-30°]=cos(30°+α)cos30°+sin(30°+α)·sin30°=-45×32+35×19.解析tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanAtanB=-23320.解析(1)由题意得sinα=342+(2)由题意得cosα=45∴sinα+π4=sinαcosπ4+cosαsinπ4=35×22+45×能力提升练一、选择题1.C∵A+B+C=π,∴A=π-(B+C).结合已知可得sin(B+C)=2sinCcosB⇒sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB⇒sinBcosC-cosBsinC=0⇒sin(B-C)=0.∵0<B<π,0<C<π,∴-π<B-C<π,∴B-C=0,∴B=C.又无法判断其是不是锐角、直角、等边三角形,故△ABC为等腰三角形.2.A对于选项A,当β=0时,sin(α+β)=sinα=sinα·1-cosα·0=sinα,此时α任意,故A为假命题;对于选项B,当α=0时,cos(α+β)=cosβ=1·cosβ+0·sinβ=cosβ,故B为真命题;对于选项C,为两角和的余弦公式的正确表达,故C为真命题;对于选项D,原命题的逆否命题为当sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ时,存在这样的角α和β,由两角和的正弦公式可知这是正确的,故为真命题,则原命题为真命题.故选A.3.D∵tan60°=tan(10°+50°)=tan10°∴tan10°+tan50°=tan60°-tan60°tan10°·tan50°,∴原式=tan60=tan60=-tan60°=-3.二、填空题4.答案π3,π4解析因为sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ+sinαsinβ,所以sinαcosβ-cosαcosβ=sinαsinβ-cosα·sinβ,所以(sinα-cosα)(sinβ-cosβ)=0,又因为α与β为锐角,所以α=π4或β=π当α=π4时,sinπ4+β=6+24,当β=π4时,sinα+π4=6+24,综上可知,锐角α的可能值为π3,π4,故答案为π3,π4,5.答案2解析因为(1+tan20°)·(1+tan25°)=1+tan25°+tan20°+tan20°tan25°,且tan45°=tan(25°+20°)=tan25°所以tan25°+tan20°=1-tan20°tan25°,所以(1+tan20°)·(1+tan25°)=1+1-tan20°tan25°+tan20°tan25°=2.三、解答题6.解析设A(x1,y1),B(x2,y2).由三角函数的定义,得x1=cosα=13,x2=cosα+π3.因为α∈π6,π2,cosα=13,所以sinα=1-cos2α=223.所以x2=cosα+π3=12cos即点B的横坐标为1-7.解析(1)因为π<α<3π2,cosα=-55,所以sinα=-255.又0<β<π2,tanβ=13,所以sin所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=-255×31010+5(2)因为0<β<π2,所以-π又π<α<3π2,所以π2因为sin(α-β)=-22,所以α-β=58.解析(1)∵π<α<3π2,π<β<∴cosα<0,sinβ<0,-π2<α-β<π又sinα=-55,cosβ=-10∴cosα=-255,sinβ=-∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=-55×-1010=210-325又-π2<α