3.2.1 单调性与最大(小)值-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第一册）

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值【考点梳理】重难点：单调性考点一：增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．考点二：二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．重难点：函数的最大(小)值考点一函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标考点二求函数最值的常用方法1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．【题型归纳】题型一：函数单调性的判定与证明1．（2021·高平市第一中学校高一开学考试）已知函数，且＝3.（1）求a的值；（2）判断函数f(x)在[1，+∞)上的单调性，并证明．2．（2020·金华市云富高级中学高一月考）（1）求证：y=-x²+1在区间[0，+∞)上为减函数.（2）画出函数y=-x²+2|x|+3的图像，并指出函数的单调区间.3．（2021·上海高一专题练习）已知函数．证明：函数在上严格增函数.题型二：根据函数的单调性求参数范围4．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）若函数，在上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．（2021·全国高一单元测试）已知函数，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．6．（2021·全国）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．题型三：复合函数的单调性7．（2021·全国）函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．8．（2021·全国）以下函数在其定义域上为增函数的是（）A． B．C． D．9．（2020·黑龙江鹤岗一中）函数的单调递增区间是（）A． B．，C． D．题型四：根据函数的单调性解不等式10．（2020·沧源佤族自治县民族中学高一月考）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．（2020·淮北市树人高级中学高一期中）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．12．（2020·江苏省板浦高级中学高一月考）已知奇函数在上单调递增的，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．．题型五：根据函数的单调性求值域13．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）函数在区间上的最小值是（）A． B． C．1 D．-114．（2021·全国高一单元测试）若“，，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（）A．， B．， C．， D．，15．（2021·上海高一专题练习）已知函数，则f(x)的最大值为（）．A． B． C．1 D．2题型六：根据函数的值域求参数范围16．（2021·浙江）若函数在区间上的最大值为，则实数（）A． B． C． D．或17．（2020·宜城市第三高级中学）函数在[1，2]上的最大值与最小值的差为3，则实数为（）A．3 B．-3 C．0 D．3或-318．（2020·湖北）已知函数有最小值，则的取值范围是（）A． B． C． D．题型七：函数不等式恒成立问题19．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．20．（2021·全国高一单元测试）设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．21．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）若函数对任意有恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【双基达标】一、单选题22．（2019·云南省楚雄天人中学高一月考）函数，，则的值域为（）A． B．C． D．23．（2021·沧源佤族自治县民族中学高一期末）已知函数的最小值为2，则a的取值范围是（）A． B． C． D．24．（2020·内蒙古杭锦后旗奋斗中学）若函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．25．（2020·杭州之江高级中学高一期中）函数中，有（）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减26．（2021·全国高一专题练习）已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是（）A．最大值为3，最小值为－1 B．最小值为－1，无最大值C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值27．（2021·全国高一专题练习）设偶函数f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，则（）A．<f(-1)<f(2) B．f(2)<<f(-1)C．f(2)<f(-1)< D．f(-1)<<f(2)28．（2021·全国高一专题练习）甲：函数是上的单调递减函数；乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件29．（2021·全国高一课前预习）当时，，则的取值范围为（）A． B． C． D．30．（2021·全国高一专题练习）已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（）A． B．C． D．【高分突破】一：单选题31．（2021·全国）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A．，， B．C．，， D．，，32．（2021·全国高一单元测试）函数在区间上单调递增，则的取值范围是有（）A． B． C． D．33．（2021·全国高一专题练习）已知函数的定义域为，则不等式的解集为（）A． B． C． D．34．（2021·全国高一专题练习）已知函数在上为增函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．35．（2021·全国高一专题练习）已知函数则不等式的解集为（）A． B．C． D．36．（2021·全国高一专题练习）在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．二、多选题37．（2021·全国高一课时练习）下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”的是（）A．f（x）＝－ B．f（x）＝－3x＋1C．f（x）＝x2＋4x＋3 D．f（x）＝x－38．（2021·全国高一专题练习）已知函数（），，（），则下列结论正确的是（）A．，恒成立，则实数的取值范围是B．，恒成立，则实数的取值范围是C．，，则实数的取值范围是D．，，39．（2021·全国高一单元测试）给出下列命题，其中错误的命题是（）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为；B．函数的单调递减区间是；C．已知函数是定义域上减函数，若，则；D．两个函数，表示的是同一函数.40．（2021·全国高一课时练习）函数的定义域为，对任意的，都满足，下列结论正确的是（）A．函数在上是单调递减函数 B．C．的解为 D．三、填空题41．（2020·金华市云富高级中学高一月考）函数y=+的最大值为__________.42．（2021·浙江杭州市·学军中学高一竞赛）若函数的定义域为R，则a的取值范围是_____________．43．（2021·全国高一课时练习）函数的值域为______44．（2021·广东潮州·高一期末）已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．45．（2020·杭州之江高级中学高一期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是___________．四、解答题46．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）已知函数（1）证明函数在区间上的单调性；（2）若函数在区间上的最大值为，最小值为，求的值.47．（2019·罗平县第二中学高一期中）设函数.（1）用函数单调性定义证明：函数在区间上是单调递减函数；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.48．（2019·长沙市南雅中学高一月考）设函数.（1）若对于一切实数x，恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于，恒成立，求实数m的取值范围.49．（2021·全国高一专题练习）定义在上的函数满足，且当时，．（1）求；（2）证明在上单调递减；（3）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案详解】1．【详解】(1)函数中，因=3，则，解得，所以a的值是；(2)由(1)知：，f(x)在[1，+∞)上的单调递增，，且，，因，则，且，即有，，所以f(x)在[1，+∞)上的单调递增.2．【详解】（1）证明：设任意0x<x2，则y−y=x−x=(x−x)(x+x)>0，∴y>y，∴函数y=−x²+1在区间[0，+∞)上是减函数.（2）作出函数图象如图所示：增区间为：(−∞，−1)，(0，1)，减区间为：(−1，0)，(1，+∞).3．任取，所以，因为，所以，所以，所以，所以函数在上严格增函数.4．D【详解】因为的对称轴为且开口向上，且在上是减函数，所以，所以，故选：D.5．C【详解】解：若是上的增函数，则应满足，解得，即.故选：C6．B【详解】，依题意有，即，所以实数的取值范围是．故选：B.7．D【详解】由得或，即函数的定义域为，又二次函数的图象的对称轴方程为，所以函数（）在区间上单调递减，在区间上单调递增，又函数为增函数，所以的单调递减区间为．故选：D8．B【详解】解：对于A选项，，由于反比例函数为减函数，故为减函数，A选项错误；对于B选项，的对称轴为，开口向上，故为增函数，B选项正确；对于C选项，由于上是减函数，故由复合函数的单调性得为定义域上的减函数，C选项错误；对于D选项，为减函数，故D选项错误.故选：B.9．B【详解】由，可知函数开口向上，对称轴，且．因为函数在区间，上单调递减，所以原函数的单调递增区间，．故选:B．10．C【详解】∵函数是定义在上的减函数，且，∴，解得，故选：C．11．A【详解】因为是偶函数，所以，所以等价于，因为在区间上单调递增，所以，即，解得：，所以原不等式的解集为，故选：A.12．D【详解】因为奇函数在上单调递增的，且，所以奇函数在上单调递增的，且，所以有：（1）当时，因为，所以当时，，当时，，当时，由，当时，由，所以，（2）当时，因为，所以当时，，当时，，因此由，综上所述：由，故选：D13．A【详解】∵函数在上为减函数，∴.故选：A.14．C【详解】解：若“，，使得成立”是假命题，即“，，使得成立”是假命题，故，，恒成立，令，，，所以是增函数（增函数+增函数=增函数），所以，，故选：C．15．D【详解】因为在上单减，所以在上单减，即在上单减，所以f(x)的最大值为.故选：D16．B【详解】函数，即，，当时，不成立；当，即时，在递减，可得为最大值，即，解得成立；当，即时，在递增，可得为最大值，即，解得不成立；综上可得．故选：．17．D【详解】解：①当时，，不符合题意；②当时，在上递增，则，解得；③当时，在上递减，则，解得．综上，得，故选：D．18．C【详解】如图所示可得：或，解得：，故选：C.19．A【详解】对任意，恒成立，即恒成立，即知．设，，则，．∵，∴，∴，∴，故的取值范围是．故选：A.20．D【详解】由题意，对于任意，都有成立，所以即对于任意恒成立，所以只需的最大值与最小值的差小于2即可，当时，在上单调递减，则，解得，不合题意；当时，在上单调递增，则，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，则，所以，综上，.故选：D.21．A【详解】由题意，函数对任意有（1）当时，成立；（2）当时，函数为二次函数，若满足对任意有，则综上：故选：A22．D【详解】因为函数，在上递增，所以的值域为，故选：D23．D【详解】由作出图象，如图，由图象可得要取得最小值2，则；∵在区间上单调递减，则时，取得最小值为2，即，可得，∴a的取值范围为故选：D24．B【详解】函数的单调递减区间是，依题意得，于是得，解得，所以实数的取值范围是.故选：B25．D【详解】解：函数的图象向左平移1个单位可得函数的图象，因为函数在和上单调递减，则函数在和上单调递减．故选：D．26．D【详解】由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；由f(x)<g(x)，得x<0，或x>3，所以易得F(x)无最大值，无最小值．故选：D27．B【详解】因函数f(x)为偶函数，于是有f(-x)=f(x)，从而得f(2)=f(-2)，又f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，且-2<<-1，所以f(2)=f(-2)<<f(-1).故选：B28．A【详解】函数是R上的单调递减函数，则，由减函数定义知，此命题是真命题，即命题：“若甲则乙”是真命题；反之，，则函数是上的单调递减函数，条件与减函数定义不符，即命题：“若乙则甲”是假命题，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A29．A【详解】解：不等式可化为．当时，，可得；当时，，；当时，，可得．综上，的取值范围为．故选：A．30．C【详解】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.所以实数的取值范围为.故选：C.31．C【详解】解：根据题意，函数，若在区间上单调递减，必有，解可得：或，即的取值范围为，，，故选：C．32．D【详解】解：因为函数，开口向下，对称轴为，依题意，解得，即故选：D33．C【详解】因为，可知在上单调递减，所以不等式成立，即.故选：C.34．D【详解】因为函数在上为增函数，则不等式对恒成立，即对恒成立，所以对恒成立，令，当，则，所以，故的取值范围为.故选：D35．A【详解】易得函数在R上单调递增，则由可得，解得，故不等式的解集为.故选：A．36．D【详解】由，则即，所以恒成立，在上的最小值为，所以，整理可得，解得，实数的最大值为，故选：D37．ACD因为“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”所以不妨设0<x1<x2,都有,所以f（x）为（0，＋∞）上的增函数.对于A：f（x）＝－在（0，＋∞）上为增函数,故A正确;对于B：f（x）＝－3x＋1在（0，＋∞）上为减函数,故B错误;对于C：f（x）＝x2＋4x＋3对称轴为x=-2,开口向上,所以在（0，＋∞）上为增函数,故C正确;对于D：f（x）＝x－,因为在（0，＋∞）上为增函数,在（0，＋∞）上为增函数,所以f（x）＝x－在（0，＋∞）上为增函数,故D正确;故选:ACD38．AC【详解】在A中，因为是减函数，所以当时，函数取得最小值，最小值为，因此，A正确；在B中，因为减函数，所以当时，函数取得最大值，最大值为，因此，B错误；在C中，，所以当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域为，由有解，知，C正确；在D中，等价于的值域是的值域的子集，而的值域是，的值域，D错误.故选：AC39．ABD函数的定义域为，则函数中，，即，函数的定义域为，故A错误；函数图象不连