湖南省株洲市渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题（解析版）

第页，共页第14页，共14页高二上学期期末联考试题卷（本试卷共6页，19题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意.故选：C2.若，则（）A.0 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据复数的模的公式即可求解.【详解】.故选：C.3.已知向量，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为向量，，，则，解得.故选：C4.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.30 B.55 C.80 D.110【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的项的性质，由条件求得，再根据等差数列求和公式化简计算即得.【详解】因是等差数列，故，解得，则.故选：B.5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.必要条件 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的概念直接判断即可.【详解】当时，，故充分性成立，当时，或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A6.如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先表示出，根据可求出结果.【详解】因为，，所以.故选：C.7.设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】分析】求出，.进而根据三点共线得出，即可列出方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，.因为三点共线，所以存在唯一实数，使得，所以，解得，所以.故选：D.8.已知数列的通项公式为，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】应用错位相减法及等比数列前n项和求.【详解】由题设，则，两式作差，有，所以.故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全题选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面．下列命题中，正确的命题是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则【答案】AD【解析】【分析】根据线面平行、垂直关系，面面平行、垂直关系，逐项判定.详解】选项，若，过做一平面，使得，则，又因为，所以，从而有，选项正确；选项，若，则，此时，所以选项不正确；选项，若，，则可能平行、相交或异面，所以选项不正确；选项，如下图所示，过直线分别做两个相交的平面，平面分别与交于，且，，，同理可证，，所以选项正确.故选:AD.【点睛】本题考查线线平行与垂直、线面垂直、面面平行命题的判定，熟练掌握有关性质定理是解题的关键，属于中档题.10.如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（）A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减【答案】BC【解析】【分析】根据图象确定的区间符号，进而判断的区间单调性，即可得答案.【详解】由图知：上，上，所以在上单调递减，在上单调递增.所以在、上不单调，在、上分别单调递减、单调递增.故选：BC11.若数列为等差数列，为其前项和，，，，则下列说法正确的有（）A.公差 B.C. D.使的最小正整数为【答案】ABD【解析】【分析】推导出，，，可判断A选项；利用等差数列的求和公式可判断B选项；利用等差数列的基本性质和作差法可判断C选项；由可得出，结合数列的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，，，则，，，所以，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，则，C错；对于D选项，因为，，由，可得，则，因为，所以数列单调递减，由可得，所以，使的最小正整数为，D对.故选：ABD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.若是公比为等比数列，且，则_________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件求出的值，由此可得出的值.【详解】因为是公比为的等比数列，，可得，所以，.故答案为：.13.曲线在点处的切线的倾斜角为_______．【答案】【解析】【分析】求出函数在1处的导数值，再利用导数的几何意义求出切线的倾斜角.【详解】设曲线在点处的切线的倾斜角为，则该切线的斜率，由求导得，则有，即，而，所以，故答案为：14.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为__________．【答案】##【解析】【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】因为，所以，所以函数在区间上单调递增，即在上恒成立，显然，所以问题转化为在上恒成立，设，所以，所以在上单调递增，所以，故，所以的最小值为：.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.记的内角、、的对边分别为、、，已知，，.（1）求的值.（2）若是锐角三角形，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得出的值；（2）解法一：利用同角三角函数的基本关系求出、，由结合两角和的正弦公式可求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积；解法二：利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用余弦定理可得出关于的方程，求出的值，再利用三角形的面积公式即可求得的面积.【小问1详解】因为的内角、、的对边分别为、、，，，，由正弦定理的得.【小问2详解】解法一：因为为锐角三角形，由得，同理可得，所以，，所以，.解法二：因为为锐角三角形，由可得，由余弦定理得，即，整理可得，因为，解得，故.16.已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式及等比中项的性质列方程求基本量，即可得通项公式；（2）由（1）得，应用等比数列前n项和公式求.小问1详解】设等差数列是公差为，且，且，∴，，又成等比数列，则，∴，即，即，解得或（舍），∴.【小问2详解】由（1）得，则，又，则，又，所以.17.如图，在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，，点是的中点，，且面.（1）证明：面；（2）若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，推导出，利用线面垂直的性质可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】连接，因为是等腰直角三角形斜边的中线，所以，，因为面，面，则，因为，、平面，所以，平面.【小问2详解】因为面，，以为原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，.则、、、O0,0,0、，，，，，设平面的一个法向量为m=x则，取，可得，设平面的一个法向量为n=x则，取，可得，所以，.因此，平面与平面的夹角的余弦值为.18.某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm.（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？【答案】（1）6，（分）（2）2，最小利润为（分）【解析】【分析】（1）设每瓶饮料的利润为（分），由题意列出其解析式，通过求导判断其单调性，即得及此时瓶子的半径；（2）由（1）分析，易得及此时瓶子的半径.【小问1详解】设每瓶饮料的利润为（分），由题可知，则，由，可得，或（舍）当时，；当时，，故在0,2上单调递减；在上单调递增由上分析，当时，利润最大，，故当时，利润最大，此时最大利润为（分）【小问2详解】由上分析，当时，利润最小，，故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为.19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.【小问1详解】当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.【小问2详解】解法一：因为的定义域为R，且，若，则对任意x∈R恒成立，可知在R上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小